TRIUNGHIUL SFERIC DE POZITIE - Calculul azimutului in functie de latitudine

TRIUNGHIUL SFERIC DE POZITIE

Pentru rezolvarea problemelor de astronomie nautica se combina sistemul de coordonate orizontale cu sistemul de coordonate ecuatoriale.

Prin trasarea coordonatelor orizontale si cele ecuatoriale ale unui astru si prin combinarea acestora se obtine un triunghi sferic numit triunghi sferic de pozitie (v.fig.1.26).

Fig.1.26

DEFINITIA 1.19 Triunghiul sferic de pozitie este triunghiul sferic obtinut prin intersectarea meridianului observatorului, meridianului astrului si verticalul astrului.   

Triunghiul sferic de pozitie este format din (fig.1.27):

laturile:

- P_NZ colatitudinea locului l = 90s - φ;

- ZA distanta zenitala a astrului z = 90s - h;

- P_NA distanta polara a astrului p = 90s - δ;

- unghiurile:

- unghiul la zenit Z;

- unghiul la pol egal cu (12^h - t), cand astrul

este la est de meridian si cu (t - 12^h), cand astrul

este la vest de meridianul superior al locului, sau

egal cu (360⁰- t), atunci cand astrul este la est si

este egal cu t, cand astrul este la vest de

meridianul locului;

- unghiul paralactic , (unghiul la astru format de

verticalul si meridianul astrului);

varfurile:

- zenitul Z;

- polul ridicat (in fig.1.26 P_N ;

- astrul A.

Fig. 1.27 Triunghiul sferic de pozitie

Unghiurile triunghiului de pozitie pot fi mai mici sau mai mari de 90⁰. Triunghiul sferic de pozitie poate fi un triunghi dreptunghic sau oarecare. In primul caz este nevoie sa se cunoasca doua din elementele triunghiului, iar in celalalt caz este nevoie de cunoasterea a trei elemente.

Cu ajutorul triunghiului sferic de pozitie, folosind formulele fundamentale ale trigonometriei sferice, se rezolva:

calculul inaltimii si azimutul cand se cunosc latitudinea observatorului si coordonatele ecuatoriale ale astrului:

(φ, δ, P) → (h, Az)

calculul azimutului cand se cunosc declinatia, unghiul la pol si inaltimea:

(φ, δ, h) → Az

calculul unghiului la pol cand se cunosc latitudinea, declinatia si inaltimea:

(φ, δ, h) → (P)

Calculul inaltimii astrului se face cu relatia:

sin h = sin φ sin δ + cos φ cos δ cos P (1.19)

Calculul azimutului astrului se face cu relatia:

ctg Z = cos φ tg δ cosec P - sin φ ctg P (1.20)

sau cu:

sin Z = cosδ sinP sech (1.21)

Calculul unghiului la pol se face cu relatia:

ctg P = tg h cos φ cosec Z - sin φ ctg Z (1.22)

Observatia 1.8 Triunghiul sferic de pozitie este determinat de coordonatele geografice ale observatorului si de coordonatele sferice ale astrului.

Triunghiul de pozitie leaga coordonatele orare unghiul la pol si declinatia astrului δ de latitutdinea geografica φ si de coordonatele orizontale inaltimea astrului h si unghiul la zenit Z. Prin rezolvarea acestui triunghi se transforma coordonatele orizontale in coordonate orare si invers. Triunghiul de pozitie contine , φ si Z necesare in navigatie deoarece din unghiul la pol se obtine unghiul orar care da longitudinea locului l iar din unghiul la zenit se obtine azimutul astrului Az. De asemenea, mai contine si distanta zenitala obtinuta din inaltimea astrului.

Varfurile triunghiului de pozitie sunt determinate pe sfera cereasca (sfera geocentrica) de trei drepte, axa Pamantului, verticala ascendenta a locului si directia astru - centrul Pamantului, ce o strabat si trec prin centrul ei ce coincide cu centrul Pamantului.

Prin determinarea pozitiei punctului Z pe sfera cereasca se obtin coordonatele geografice ale locului.

1 Calculul inaltimii unui astru in functie de latitudine, declinatie si unghiul la pol

Calculul inaltimii unui astru in functie de latitudine, declinatie si unghiul la pol se poate face utilizand formula sinusului inaltimii, sau formula hav z.

1.1 Calculul inaltimii unui astru in functie de latitudine, declinatie si unghiul la pol prin formula sin h

In practica navigatiei astronomice inaltimea unui astru se masoara cu sextantul, caz in care aceasta se numeste inaltime observata h_o, dar se poate determina si prin calcul rezolvand triunghiul sferic de pozitie (v.fig.1.28).

Fig.1.28

Astfel, se poate obtine valoarea unei laturi, distanta zenitala z (complementul inaltimii) in functie de celelalte laturi colatitudinea locului l si distanta polara a astrului p si unghiul dintre ele (unghiul la pol P) din relatia:

cos z = cos l cos p + sin l sin p cos P (1.23)

Inlocuind distanta zenitala z, colatitudinea l si distanta polara p cu complementele lor inaltimea astrului h, latitudinea locului φ si declinatia astrului δ, se obtine relatia 1.19, cu care se calculeaza inaltimea functie de latitudine, declinatie si unghiul la pol. Latitudinea este latitudinea estimata a locului pentru care se determina inaltimea, declinatia este declinatia astrului respectiv, interpolata pentru momentul si locul dat, unghiul la pol este unghiul la pol al astrului respectiv, dedus prin calcul din ora cronometrului. Ca urmare, calculul inaltimii este precedat de calculul unghiului la pol, Deoarece coordonatele geografice ale locului sunt estimate j_est si l_est inaltimea obtinuta are o valoare estimata h_est.

Notand primul termen al relatiei (1.19) cu a pentru a= sin φ sin δ

si cel de-al doilea cu b pentru b= cos φ cos δ cos P, calculate prin logaritmi rezulta relatia de calcul a inaltimii estimate h_est:

h_est= a + b

unde: a este pozitiv cand j si d sunt de acelasi semn si negativ in caz contrar; b este pozitiv cand unghiul la pol este mai mic de 90⁰ si negativ cand unghiul la pol este mai mare de 90⁰.

Observatia 1.9 Suma (a + b) este o suma algebrica in care fiecare factor intra cu semnul sau si trebuie sa fie pozitiva, altfel inaltimea astrului ar fi negativa si deci astrul s-ar afla sub orizont.

Tipul de calcul al inaltimii estimate a unui astru

log sin j_est log cos j_est

log sin d log cos d

log cos P =

log a = log b =

a = + b =

sin h_est =

log sin h_est =

h_est =

1.2 Calculul inaltimii unui astru in functie de latitudine, declinatie si unghiul la pol utilizand formula hav z

Calculul inaltimii unui astru in functie de latitudine, declinatie si unghiul la pol utilizand formula hav z se face cu ajutorul tablelor nautice Norie's. Astfel, expresia numita haversinus a (hav a ) este:

(1.25)

ce poate fi scrisa sub forma:

(1.26)

Inlocuind rezulta relatia de calcul utilizata in in aceste table nautice pentru calculul inaltimii unui astru:

(1.27)

Algoritm de lucru

se calculeaza ; se scoate valoarea corespunzatoarehav nat x din tabla;

se calculeaza marimea astfel: daca j si d sunt de acelasi nume, se scade valoarea mai mica din cea mai mare, iar daca j si d sunt de nume contrarii, se face suma ;

se scoate havnat de ;

se face suma si se obtine havnat z;

se scoate valoarea lui z corespunzatoare si se transforma in inaltimea astrului folosind formula distantei zenitale .

Tipul de calcul al inaltimii unui astru in functie de latitudine, declinatie si unghiul la pol utilizand formula hav z

P loghav P =

j log cos j

d = log cos d

loghav x =

havnat x =

havnat =

havnat x =

z =

h =

2 Calculul azimutului in functie de latitudine, declinatie si unghiul

la pol

Calculul azimutului in functie de latitudine, declinatie si unghiul la pol se poate face cu formula ctg Z, sau cu Tablele ABC.

2.1 Calculul azimutului in functie de latitudine, declinatie si unghiul la pol prin formula ctg Z

Calculul azimutului in functie de latitudine, declinatie si unghiul la pol se face utilizand relatia ctg Z (1.20) unde se cunosc latitudinea estimata a locului, declinatia si unghiul la pol al astrului, astfel ca se pot determina din triunghiul de pozitie colatitudinea si distanta polara. Apoi se poate calcula unghiul la zenit si din acesta azimutul astrului.

Relatia (1.20) se rezolva prin logarti pe parti. Unghiul la zenit se determina semicircular (de la 0⁰ la 180⁰), se conteaza de la nord in emisfera nordica si de la sud in emisfera sudica, spre est sau spre vest, corespunzator sensului unghiului la pol si se transforma apoi in azimut.

Tipul de calcul al azimutului unui astru cu formula ctg Z

log tg d

log cos j log sin j

log cosec P = log ctg P

log x = log y =

x = + y =

ctg Z =

log ctg Z =

Z =

Az =

2.2 Calculul azimutului in functie de latitudine, declinatie si unghiul la pol cu tablele ABC

Pentru a simplifica calculul azimutului unui astru se folosesc tablele ABC calculate pe baza simplificarii relatiei (1.20) astfel:

se imparte ambii termeni ai relatiei la cos φ se inmultesc cu 10 si se obtine relatia:

10ctg Z sec φ =10 tg δ cosec P -10 tg φ ctg P (1.25)

unde:

- primul termen este A =10 tg δ cosec P

- al doilea termen este B tg φ ctg P

- suma lor este C = A + B=10 ctg Z sec

de unde:    

respectand urmatoarele reguli:

- A este pozitiv, daca latitudinea si declinatia astrului sunt de acelasi semn;

- A este negativ, daca latitudinea si declinatia astrului sunt de semne contrarii;

- B este pozitiv, daca latitudinea este nordica si unghiul la pol mai mare de 90⁰;

- B este negativ, daca latitudinea este nordica si unghiul la pol mai mic de 90⁰;

- daca latitudinea este sudica regula semnelor pentru B se inverseaza.

Regula de lucru

- se intra in tabla A cu valoarea unghiului la pol si a declinatiei astrului si se obtine valoarea termenului A;

- se intra in tabla B cu valoarea latitudinii si a unghiului la pol si se obtine valoarea termenului B;

- se face suma (A + B) si se obtine valoarea termenului C;

- se intra in tabla C cu valoarea latitudinii si a termenului C si se obtine valoarea unghiului la zenit semicircular (Z este mai mare de 90⁰, daca C este negativ si Z este mai mic de 90⁰, daca C este pozitiv);

- se transforma unghiul la zenit semicircular in azimut.

Tipul de calcul al azimutului unui astru cu Tablele ABC

din Tabla A cu P si d A =

din Tabla B cu j si P +B =

C =

din Tabla C cu j si C Z =

Az =

3 Calculul azimutului unui astru din declinatie, unghi la pol si inaltime

Calculul azimutului unui astru din declinatie, unghi la pol si inaltime se face utilizand formula cosinusurilor aplicata in triunghiul sferic de pozitie:

(1.30)

care este scrisa, pentru a putea fi rezolvata logaritmic, astfel:

(1.31)

unde sin Z rezulta intotdeauna pozitiv.

Pentru a se putea determina marimea lui Z si cadranul de orizont al unghiului la zenit cuadrantal, pentru a fi transformat in azimut, se folosesc urmatoarele reguli:

- daca declinatia astrului este mai mare decat latitudinea si de acelasi semn, unghiul la zenit se conteaza de la punctul cardinal Nord sau Sud, de acelasi semn cu latitudinea;

- daca declinatia astrului este mai mica decat latitudinea si de acelasi semn, paralelul de declinatie al astrului taie primul vertical al astrului unghiul in emisfera vizibila si unghiul la zenit se conteaza de la punctul cardinal Nord sau Sud; pentru a se putea determina punctul cardinal de la care se face contarea, se face comparatia intre inaltimea astrului si inaltimea astrului in primul vertical si dintre unghiul la pol al astrului si unghiul la pol in primul vertical, astfel: daca inaltimea astrului este mai mica decat inaltimea astrului in primul vertical, sau unghiul la pol al astrului este mai mare decat unghiul la pol in primul vertical, unghiul la zenit se conteaza de la punctul cardinal Sud sau Nord, de acelasi nume cu latitudinea; daca inaltimea astrului este mai mare decat inaltimea astrului in primul vertical, sau unghiul la pol al astrului este mai mic decat unghiul la pol in primul vertical, unghiul la zenit se conteaza de la punctul cardinal Nord sau Sud, de nume contrare cu latitudinea;

- daca declinatia este de semn contrar cu latitudinea, unghiul la zenit se conteaza de la punctul cardinal Sud sau Nord, de nume contrar cu latitudinea.

Tipul de calcul al azimutului unui astru cu formula sin Z

log cos d

log sin P

log sec h =

log sin Z =

Z =

Az =

4 Calculul unghiului la pol in functie de latitudine, inaltime si unghiul la zenit

Calculul unghiului la pol in functie de latitudine, inaltime si unghiul la zenit se poate face cu formula ctg P sau cu Tablele ABC.

4.1 Calculul unghiului la pol in functie de latitudine, inaltime si unghiul la zenit cu formula ctg P

Calculul unghiului la pol in functie de latitudine, inaltime si unghiul la zenit se face utilizand relatia ctg P (1.22) unde se cunosc latitudinea estimata a locului, inaltimea si unghiul la zenit semicircular al astrului, astfel ca se pot determina din triunghiul de pozitie distanta zenitala, colatitudinea si unghiul la zenit si apoi se poate calcula unghiul la pol.

Astfel, utilizand formula cotangentelor in care se inlocuiesc valorile cunoscute se obtine:

ctg P sin Z = ctg (90⁰-h) sin (90⁰- φ) - cos (90⁰- φ) cos Z (1.32)

care prin impartire cu sin Z se obtine relatia (1.20) ce se rezolva logaritmic pe parti.

Unghiul la pol are valori semicirculare, functie de semnul algebric al ctg P, cu sensul spre est sau spre vest, corespunzator sensului unghiului la zenit.

4.2 Calculul unghiului la pol in functie de latitudine, inaltime si unghiul la zenit cu Tablele ABC

Pentru a simplifica calculul unghiului la pol al unui astru se folosesc tablele ABC calculate pe baza simplificarii relatiei (1.22) astfel:

se impart ambii termeni ai relatiei la cos φ, se inmultesc cu 10 si se obtine relatia:

10tg h sec φ =10 tg h cosec Z -10 tg φ ctg Z (1.33)

unde:

- primul termen este A =10 tg h cosec Z

- al doilea termen este B tg φ ctg Z (1.35)

- suma lor este C = A + B=10 ctg P sec

de unde:    

respectand urmatoarele reguli:

- A este intotdeauna pozitiv;

- B este pozitiv, daca latitudinea este nordica si unghiul la zenit mai mare de 90⁰;

- B este negativ, daca latitudinea este nordica si unghiul la zenit mai mic de 90⁰;

- daca latitudinea este sudica regula semnelor pentru B se inverseaza;

- suma (A + B) = C

- unghiul la pol este mai mic de 90⁰, daca C este pozitiv;

- unghiul la pol este mai mare de 90⁰, daca C este negativ;

- sensul unghiului la pol, estic sau vestic, este acelasi cu al unghiului la zenit.

Regula de lucru

- se intra in tabla A cu valoarea unghiului la zenit si a inaltimii astrului si se obtine valoarea termenului A;

- se intra in tabla B cu valoarea unghiului la zenit si a latitudinii se obtine valoarea termenului B;

- se face suma (A + B) si se obtine valoarea termenului C;

- se intra in tabla C cu valoarea latitudinii si a termenului C si se obtine valoarea unghiului la pol.

Tipul de calcul al unghiului la pol al unui astru cu Tablele ABC

din Tabla A cu Z si h A =

din Tabla B cu Z și j +B =

C =

din Tabla C cu j si C P =

P =

4 Calculul declinatiei unui astru

Calculul declinatiei unui astru se poate face din latitudine, inaltime si unghiul la zenit, sau din latitudine, unghi la pol si unghi la zenit cu Tablele ABC.

4.1 Calculul declinatiei unui astru din latitudine, inaltime si unghiul la zenit

Calculul declinatiei unui astru din latitudine, inaltime si unghiul la zenit se face utilizand formula sinusului declinatiei:

(1.38)

Calculul practic se face prin logaritmarea pe parti, notand si .

Tipul de calcul al declinatiei unui astru

log sin j log cos j

log sin h log cos h

log cos Z =

log x = log y =

x = + y =

sin d

log sin d

d

4.2 Calculul declinatiei unui din latitudine, unghi la pol si unghi la zenit cu Tablele ABC

Calculul declinatiei unui astru din latitudine, inaltime si unghiul la zenit se face utilizand formula tangentei declinatiei:

unde: ; ; .

respectand urmatoarele reguli:

- C este pozitiv, daca unghiul la zenit este mai mic de 90⁰;

- C este negativ, daca unghiul la zenit este mai mare de 90⁰;

- B este pozitiv, daca latitudinea este nordica si unghiul la pol mai mare de 90⁰;

- B este negativ, daca latitudinea este nordica si unghiul la pol mai mic de 90⁰;

- daca latitudinea este sudica regula semnelor pentru B se inverseaza;

- semnul lui A rezulta din diferenta A = C - B;

- declinatia este de acelasi semn cu latitudinea, daca A este pozitiv;

- declinatia este de acelasi semn cu latitudinea, daca A este negativ.

Regula de lucru

- se intra in tablele C si B cu valoarea latitudinii si a unghiului la zenit si a respectiv a latitudinii si a unghiului la pol inaltimii astrului si se obtine valoarea termenilor C si B;

- se face diferenta (B - C) = A, se intra in tabla A cu valoarea unghiului la pol si a termenului A si se obtine valoarea declinatiei astrului.

Tipul de calcul al declinatiei unui astru cu Tablele ABC

din Tabla C cu j si Z C =

din Tabla B cu j si P - B =

A =

din Tabla A cu P si A d