ANALIZA SISTEMELOR LTI

Vom aminti 3 metode de studiu .

1 METODA DIRECTA

Aceasta metoda consta in rezolvarea ecuatiilor diferentiale care caracterizeaza

sistemele si avind solutia se poate studia influenta diferitilor parametrii asupra

comportarii . Ecuatia diferentiala ( sau sistemul de ecuatii diferentiale ) fiind un model

al sistemului real , solutia exacta a lor vor aproxima comportamentul sistemului . Aceasta cale este extrem de dificila pentru ca in cazuri reale rezolvarea exacta a modelelor este o sarcina foarte complexa.

Studiu de caz:

Fie sistemul de urmarire a pozitiei unghiulare

Dorim ca

Avem

- potentiometre identice

Schema sistemului :

Consideram relatiile:

adica cuplu motor =cuplu de accelerare + cuplu de frecare + cuplu rezistent

unde J - moment de inertie D - factor de forma

Modelul acestui sistem se transforma in :

Ecuatia caracteristica :

Solutia generala a ecuatiei omogene :

Observatii :

regim neamortizat de pulsatie

Pentru a obtine solutia avem nevoie de conditii initiale (conditii Cauchy). Daca consideram conditii initiale nule :

atunci solutia ecuatiei omogene este :

Sa consideram ca semnal de intrare semnalul treapta unitara (t) (rasucirea brusca a

manivelei ) . In acest caz raspunsul sistemului in cele patru cazuri enumerate arata in felul

urmator:

Pentru a putea aprecia performanta unui sistem de ordin I I . sa introducem marimi pe baza carora se poate determina acest lucru . Fie raspunsul unui sistem la (t) :

- iesirea stationara

- plaja de toleranta ; 5% variatie in jurul marimii

suprareglajul

Exista urmatoarele legaturi intre marimi :

a)

suprareglajul depinde exclusiv de factorul de amortizare (nu depinde de pulsatia proprie)

tendinta de variatie :

- practic e bine sa fie

timpul dereglare depinde atit de pulsatia proprie cit si de factorul de amortizare

o forma aproximativa :

2 METODE DE STUDIU IN DOMENIUL FRECVENTA

Studiul unor sisteme se poate efectua mai usor daca in loc de domeniul timp ( sau domeniul operatorial ) se lucreaza in domeniul frecventa.

Daca la intrarea unui sistem LTI se aplica un semnal sinusoidal de pulsatie , atunci in

domeniul de stabilitate statica la iesire apare tot un semnal sinusoidal care difera de semnalul de intrare prin amplitudine si faza .

Fie H(s) - functia de transfer a unui sistem . Daca se face inlocuirea formala s=j vom

obtine functia de frecventa a sistemului . Aceasta functie furnizeaza variatia de amplitudine respectiv de faza a semnalului de iesire relativ la semnalul de intrare.

Din variatia functiei de frecventa se poate determina comportarea sistemului atit in momentul initial cit si in starea de echilibru static.

Studiul sistemului in domeniul frecventa ( sistemul LTI unde legea superpozitiei este valabila ) se poate face aplicind la intrare semnale armonice si masurind raspunsul sistemului .

Fie

La iesire

In urma aplicarii unor semnale armonice la intrarea unor sisteme LTI se va modifica amplitudinea respectiv faza semnalelor , frecventa ramine neschimbata.

Avem urmatoarele diagrame pentru caracterizarea sistemelor lineare :

a) Caracteristica amplitududine-faza sau diagrama Nyquist .

Fie H(s) functia de transfer a sistemului . Aceasta functie se va scrie sub forma

Sa consideram :

Pentru fiecare frecventa unghiulara in spatiul obtinem cite un punct . Legind aceste puncte si marcind sensul crescator pentru obtinem diagrama Nyquist.

b) Caracteristica logaritmica de frecventa sau diagrama Bode

In practica pentru o reprezentabilitate mai buna , expresia amplitudinii se va considera

in ceea ce inseamna o reprezentare in dB.

Vom reprezenta in doua diagrame separate caracteristicile amplitudine si faza in functie de . Pentru o reprezentabilitate mai cuprinzatoare ,pe abscisa vom utiliza scara logaritmica (baza 10) a fercventei . Diagramele care reprezinta relatia si respectiv si se numesc diagrame BODE .

Observatie: Diagrama Bode a sistemelor legate in serie se obtine prin simpla insumare

a diagramelor formelor componente ,un ajutor mare in studiul sistemelor.

Observatie: Functia de frecventa a unui sistem se poate determina si pe cale experimentala . Pentru aceasta , a diferite frecvente va trebui sa masuram valoarea functiilor Ca metode amintim:

- se poate masura cu un osciloscop cu doua spoturi.

- se poate masura cu ajutorul curbelor Lissajous ( forma si pozitia lor)

- masurat prin comparatia cu un element cu decalaj de faza cunoscut

2.1 Caracteristicile si diagramele de frecventa a sistemelor elementare

Element proportional ( P )

(Nyquist & Bode )

Elemente cu inmagazinare de energie

Aceste elemente sumt caracterizate de faptul ca in echilibru static iesirea coincide cu intrarea . ( elementul proportional

a) Elementul T1

(N__B)

b) Elementul T2

Functia indiciala se poate determina daca se calculeaza transformata Laplace inversa urmatoare

Se poate observa ca raspunsul sistemului depinde de factorul de amortizare . Astfel avem urmatoarele raspunsuri:

( matlab 3*fig)

Se vede ca H(j0)=1 si . Deci functia indiciala porneste din zero si la tinde la 1.

Observatii: Pentru la cresterea lui ,iar pentru

amplitudinea poate sa aiba si tendinta crescatoare!

Diagrama Bode: intr-un caz general putem scrie:

se poate vedea

Deci pentru

(bode1)

Pentru

(bode2)

astfel rezulta:

(bode 2)

3) Elementul integrator ( I )

La iesirea unui element I semnalul creste daca la intrare apare un semnal pozitiv.

a) element integrator fara intirziere

Aceste elemente nu contin nici timp mort , nici forme de acumulare de energie.

(nyquist,bode)

b) element integrator cu cumulator de energie (I T1)

(nyquist,bode)

Observatii:

-Elementele de integrare au diagrame amplitudine-faza care porneste din cadranul I I

si parcurge atitea cadrane cite cumulatoare de energie cuprinde si pentru w ajunge in originea spatiului complex.

-Diagrama amplitudine-pulsatie (Bode) porneste cu o panta de -20dB/dec iar orice constanta de timp produce o modificare a pantei cu inca -20dB/dec.

-Diagrama faza-pulsatie (Bode) porneste de la -90 de grade si orice cumulator de energie mai adauga inca o diferenta de faza de -90 de grade in domeniul frecventelor inalte.

4) Element derivativ ( D )

Un element D are rostul sa faca ca de tendinta de variatie a unui semnal sa depinda functionarea .

a) element derivativ fara intirziere

-diagrama Nyquist

(nyquist,bode)

b) Element derivativ cu cumulator de energie (D T1)

(nyquidt,bode)

Observatii:

-Pentru elemente de tip derivativ , caracteristica amplitudine-faza porneste din origine si parcurge atitea cadrane cite cumulatoare de energie cuprinde .

-Diagrama logaritmica amplitudine-pulsatie are pe portiunea initiala inclinatia de +20dB/dec , iar fiecareconstanta de timp mai introduce inca -20dB/dec.

-Diagrama logaritmica faza-pulsatie incepe de la +90 de grade , iar fiecare element de acumulare de energie il va modifica cu -90 de grade.

(--------- END --------- Marton Lorinc