APLICATII LINIARE PE SPATII VECTORIALE.

OPERATORI SIMETRICI,ORTOGONALI SI AFINI PE Rⁿ

Obiective : insusirea de catre studenti a notiunii de aplicatie liniara, operator liniar,nucleu si imagine a unei aplicatii liniare,operator simetric,ortogonal si afin pe Rⁿ

Continut :

Definitie si operatii cu aplicatii liniare pe spatii vectoriale

Subspatii invariante ale unui operator liniar

Nucleul si imaginea unei aplicatii liniare

Transformarea unei baze din Rⁿ printr-un operator liniar

Schimbarea matricii unui operator la schimbarea bazei

Operatori simetrici ,ortogonali si afini pe Rⁿ

6.1 Operatoro simetrici pe Rⁿ

6.2 Operatori ortogonali pe Rⁿ

6.3 Operatori afini pe Rⁿ

7 Rezumat

8 Intrebari

Bibliografie

Cuvinte cheie : aplicatie liniara,operator liniar,nucleu,imagine a unei aplicatii liniare,

operator injectiv,surjectiv,bijectiv,operator simetric,ortogonal si afin.

Definitie si operatii cu aplicatii liniare pe spatii vectoriale

O aplicatie liniara este o functie A : Rⁿ R^m cu Y = A (X) astfel ca:

A (αX'+βX'')=α A (X')+β A (X'')

pentru orice X' , X'' din Rⁿ si pentru orice α , β din R .

Daca este baza standard in Rⁿ cu matricea bazei E, fie matricea de tip care are coloanele A (E₁),.,A (E_n) :

A_E = (a_ij) = A (E₁),.,A (E_n) ]

Avem :

A(E₁) = a₁₁E₁+.+a_m1E_m

A(E_n )= a_1nE₁+.+a_mnE_m

adica matricial :

A(E) = E.A_E

Avem:

(3)

deoarece deci conform relatiei (1) avem :

Y=A (X) =x₁ A (E₁) +.+ x_n A (E_n)

se numeste matricea aplicatiei liniare A si se noteaza de obicei cu A (baza E se subantelege).

Aplicatia liniara A^T: R^m Rⁿ cu matricea A^T, se numeste aplicatie transpusa lui A.

Aplicatiile liniare A se mai numesc si morfisme de spatii vectoriale iar multimea lor se noteaza cu Hom( Rⁿ , R^m).

Cazuri particulare :

a) Pentru m = n aplicatia liniara se numeste operator liniar pe Rⁿ sau endomorfism pe Rⁿ iar Hom( Rⁿ , R^m) se va nota cu End( Rⁿ ).

Daca matricea patratica A a operatorului liniar A este nesingulara (det(A) este nenul si rang(A)=n ) atunci operatorul liniar A este izomorfism si reciproc.

Pentru operatori liniari A pe Rⁿ , proprietatile lui A de a fi injectiv,surjectiv si bijectiv ,sunt echivalente.

Pentru m=1 aplicatia liniara A : Rⁿ → R se numeste forma liniara pe Rⁿ

si se noteaza cu f .

In acest caz matricea A a formei liniare f se reduce la vectorul-linie

A = ( a₁,.,a_n ) deci forma liniara capata forma :

y = f(X) = a₁x₁ +. + a_nx_n = A*X care apartine lui R .

Cum X = x₁E₁ +. +x_nE_n avem y = f(X) = x₁.f(E₁) +. + x_n.f(E_n)

a₁= f(E₁) ,.,a_n = f(E_n) se numesc forme liniare de coordonate si ele formeaza o baza in spatiul vectorial al formelor liniare f pe Rⁿ ,numit spatiul dual al lui Rⁿ si notat ( Rⁿ )*. Evident dim(( Rⁿ )*) = dim(( Rⁿ ))=n.

Dualul dualului ( Rⁿ )* , notat cu ( Rⁿ )** este izomorf cu Rⁿ prin corespondenta

X → X** definita astfel :

X**(f) = f(X) pentru orice f din ( Rⁿ )*.

Operatii cu aplicatii liniare

Adunarea : ( A + B )(X) = A (X) + B (X)

Inmultirea cu scalari : (α A )(X) = α A (X)

Fata de aceste operatii , multimea aplicatiilor liniare Hom( Rⁿ , R^m) formeaza un spatiu vectorial peste R de dimensiune m.n ,izomorf cu spatiul vectorial al matricilor dreptunghiulare de tip mxn peste R prin izomorfismul A → A .

Compunerea : daca A IHom( Rⁿ , R^m) si B IHom( R^m , R^p) atunci B o A IHom( Rⁿ , R^p) se defineste astfel :

(B o A )(X) = B ( A (X))

si are ca matrice pe A.B

Fata de operatiile 1) si 3) End(Rⁿ ) formeaza un inel cu elementul-unitate I(X)=X .

Pentru A IEnd(Rⁿ ) definim : A^k = A^k o A

Fie aplicatia liniara A : Rⁿ → R^m cu matricea A de tip m x n .

Norma aplicatiei liniare A este :

|| A || = s u p || A (X) ||

||x||<=1

Sunt indeplinite axiomele normei :

|| A ||>0 ; || A ||=0 daca ti numai daca A = O

|| λA || = || A ||

|| A + B|| || A || + || B ||

Proprietati :

|| A (X)|| || A ||. || X ||

Pentru orice valoare proprie λ a lui A avem | λ | . || X || = || λ . X || =

|| A(X) || || A || . || X || deci | λ | <= || A ||

Daca A : Rⁿ → R^m si B : R^m → R^p sunt aplicatii liniare , avem :

|| B o A || || B ||. || A ||

Subspatii invariante ale unui operator liniar

Fie o baza de vectori coloana in Rⁿ si fie L subspatiul vectorial al lui Rⁿ cu baza .

Fie A : Rⁿ → Rⁿ un operator liniar cu matricea operatorului liniar A_F in baza

Subspatiul vectorial L se numeste invariant fata de operatorul A daca pentru orice XI L avem A (X) IL .

Avem :

A (F₁) = a₁₁F₁+.+ a_r1F_r+0.F_r+1+.+0.F_n

A (F_r) = a_1rF₁+.+ a_rrF_r+0.F_r+1+.+0.F_n

A (F_r+1) = a_1,r+1F₁+.......+a_n,r+1 .F_n

A (F_n) = a_1nF₁+.......+a_nn .F_n

deci matricial (vezi relatia (2) ):

A (F) = F. A_F

unde :

Exemple

Operatorul liniar A : R³ →R³ cu matricea :

invariaza un subspatiu bidimensional L in R³ (plan care trece prin O).

Operatorul liniar A : R³ → R³ cu matricea:

invariaza un subspatiu unidimensional L in R³ (dreapta care trece prin O ).

Se arata ca in Rⁿ exista subspatiile L₁,., L_n-1 incluse unul in altul ,cu

bazele de vectori :

deci dim(L_j)=j (1 j n-1) .

Aceste subspatii sunt invariante fata de un operator liniar dat A : Rⁿ→Rⁿ , deci acest operator are fata de baza lui Rⁿ de mai sus ,matricea superior triunghiulara :

Daca R ⁿ = L₁ L₂ si Dim(L₁) = r ; Dim (L₂ ) = n - r iar L₁ , L₂ sunt invariante fata de operatorul liniar A : Rⁿ→Rⁿ , reunind baza a lui L₁ cu baza a lui L₂ , obtinem baza a lui Rⁿ iar matricea A_F a operatorului A in raport cu baza va avea forma :

Exemplu

Operatorul liniar A : R³→R³ cu matricea :

invariaza subspatiul bidimensional L₁ in R³ (plan care trece prin O) si invariaza subspatiul unidimensional L₂ in R³ (dreapta care trece prin O).

Nucleul si imaginea unei aplicatii liniare

Aplicatiei liniare A cu matricea A , i se asociaza doua subspatii liniare invariante fata de aplicatia liniara A.

Nucleul lui A este: Ker( A )=

Avem dim[Ker(A)]=n - rang(A). dim[Ker(A)]se numeste defectul operatorului liniar A.

Daca m=1 , A devine forma liniara f , rang(A)=1 deci dim[Ker(f)]=n - 1 .

Imaginea lui A este: Im( A )=

Avem dim[Im(A)]= rang(A). dim[Im(A)] se numeste rangul operatorului A.

Daca Ker( A )=, A este aplicatie injectiva iar daca Im(A )=R^m, A este aplicatie surjectiva.

Operatorului liniar A^T, transpus lui A i se asociaza alte doua subspatii liniare:

Nucleul lui A^T:

dim[Ker(A^T)]=m - rang(A)

Imaginea lui A^T:

dim[Im(A^T)]= rang(A)

Subspatiile Ker(A) si Im( A ^T) ale lui Rⁿ sunt subspatii ortogonale unul pe celalalt:

In mod analog, subspatiile Ker( A^T ) si Im( A ) ale lui R^m sunt subspatii ortogonale unul pe celalalt:

Teorema 1(Prima teorema de izomorfism)

Avem :

Rⁿ / Ker( A ) si Im ( A ) sunt spatii vectoriale izomorfe intre ele cu dimensiunea rang(A)

2) R^m / Ker( A^T ) si Im ( A^T ) sunt spatii vectoriale izomorfe intre ele cu dimensiunea rang(A)

Demonstratie

Fie functia f: Rⁿ / Ker( A ) → Im ( A ) data de relatia : f( b + Ker( A ))= =A (b) unde b nu apartine lui Ker(A).

Definitia lui f nu depinde de b deoarece b⁽¹⁾ + Ker(A) = b⁽²⁾ + Ker(A) ↔ b⁽²⁾ - b⁽¹⁾ apartine lui Ker(A) ↔ A ( b⁽²⁾ - b⁽¹⁾ ) = 0 ↔ A (b⁽¹⁾ )= A ( b⁽²⁾) ↔ f( b⁽¹⁾ ) = f( b⁽²⁾) .

f este injectiva : f( b⁽¹⁾ ) = f( b⁽²⁾) implica b⁽¹⁾ + Ker(A) = b⁽²⁾ + Ker(A) care implica b⁽¹⁾ = b⁽²⁾ .

f este surjectiva : Pentru orice Y din Im (A) exista X in Rⁿ cu A (X)=Y deci exista

Y + Ker ( A ) in Rⁿ / Ker ( A ) .

Punctul 2) se demonstreaza in mod analog. Q.E.D.

Pentru , Ker( A ) si Im( A ) sunt subspatii vectoriale ale lui Rⁿ.

A : Rⁿ Rⁿ se numeste automorfism al lui Rⁿ daca sau

In acest caz Ker( A )=; Im( A )=Rⁿ.

Daca A : Rⁿ → R^m cu , A de tip si B : R^p → R^m cu , B de tip avem Im(A )+ Im(B )=Im[ A│B] ca subspatii ale lui R^m.

Daca in plus , atunci subspatiul al lui R^m este izomorf cu subspatiul al lui R^n+p.

Pentru a gasi pe Ker(A ) si Im(A ) vom proceda astfel:

Fie matricea A de tip a operatorului liniar A : Rⁿ R^m cu

Presupunem ca minorul principal ocupa primele r linii si primele r coloane.

Fie F submatricea minorului principal: cu . Avem

iar K este submatrice de tip .

Dupa pivotare in matricea extinsa , aceasta capata forma:

De aici rezulta:

O baza in Ker( A ) este formata cu coloanele matricii: de tip .

deci Y_s = H.F^-1.Y_p de unde :

O valoare XIRⁿ pentru este:

Fie matricea extinsa de tip :

unde ; . Dupa pivotare, aceasta matrice extinsa capata forma:

De aici rezulta:

O baza in Ker( A^T ) este formata cu coloanele matricii: de tip .

.

deci X_s =(F^-1.G)^T.X_p de unde :

O valoare YIR^m pentru care este

Vectorii-coloana din matricile U₁,V₂ sunt ortogonali doi cate doi ceace confirma relatia:

Vectorii-coloana din matricile U₁,V₂ sunt ortogonali doi cate doi ceace confirma relatia:

Exemplu

Fie operatorul liniar A : R⁴ R⁴ cu matricea

Se cere :

Ker( A ), Im( A )

Ker( A^T ), Im( A^T )

Solutie:

O baza in Ker( A ) este

Avem rang(A)=2 deci dim[Ker( A )=n - rang(A)=2

dim[Im( A )]=rang(A)=2

Un vector XIR⁴ cu este:

Pentru matricea avem calcule similare:

O baza in Ker( A^T) este

Avem rang(A^T)=2 deci dim[Ker(A^T)]=m - rang(A^T)=2

dim[Im(A^T)]= rang(A^T)=2

Un vector YIR⁴ cu este:

Operatorul liniar care aplica o baza in alta din Rⁿ

Fie si fie bazele din Rⁿ : cu matricea F respectiv cu matricea G (; )

Operatorul liniar A care transforma baza F in baza G, are matricea A data de relatia de unde:

Teorema 2

Proprietati

Matricea A este nesingulara

In adevar,

A este matrice ortogonala daca si numai daca .

In adevar, din rezulta si . Relatia implica adica si reciproc.

Daca matricea A transforma baza F in baza G, atunci matricea A^-1 transforma baza G in baza F.

In adevar, din rezulta

Daca matricea A transforma baza G in baza H, atunci matricea care transforma baza F in baza H va fi C = B∙A.

In adevar, din si B = H∙G-1 rezulta calculul lui s-a facut in sectiunea 2.6, folosind relatia: .

In particular, matricea operatorului A care aplica baza standard E in baza F este A = F iar matricea operatorului A care aplica baza standard E in baza G este A = G. Schematic avem:

Exemplu

Fie bazele: ; . Sa se calculeze matricea A a opratorului A : R³ → R³ care aplica baza F in baza G.

Solutie

In sectiunea 2.6 pentru matricile din enunt, am gasit prin pivotare asupra lui si : . Se verifica faptul ca ; ; .

Fie subspatiul r-dimensional U Rⁿ cu baza de tip si subspatiul r-dimensional V Rⁿ cu baza de tip . Operatorul liniar A care aplica subspatiul liniar U pe subspatiul liniar V, are matricea A nesingulara de ordin n data de relatia: .

Pentru a gasi pe A, completam baza cu vectori liniar independenti de deci obtinem o baza F in Rⁿ si completam cu vectori liniar independenti de deci obtinem baza G in Rⁿ .

Avem deci si aplicam metoda pivotarii din sectiunea 2.6 .

Exemplu

Fie U R³ subspatiul bidimensional cu baza si V R³ subspatiul bidimensional cu baza . Pentru a gasi matricea A a operatorului A care aplica subspatiul U in subspatiul V, completam pe la cu si completam pe la cu .

In sectiunea 2.6 am gasit:

Se verifica faptul ca si deci .

Schimbarea matricii unui oprator liniar la schimbarea bazei

Fie bazele F, G din Rⁿ cu matricile de trecere . Schimbarea matricii operatorului liniar A la schimbarea bazei, se face dupa relatia:

In adevar, avem si . Pe de alta parte si asa ca de unde: adica . Calculul matricii se face cu programul MATASEM .

In particular, trecand de la baza standard E la baza F cu matricea de trecere , matricea operatorului liniar A se transforma dupa relatia: . In mod analog, la trecerea de la baza standard E la baza G cu matricea de trecere , matricea operatorului liniar A se transforma dupa relatia: .

Shematic avem:

Exemplu

Fie bazele ; cu matricea de trecere de la F la G data de relatia:

a)      Fie operatorul A : R³ R³ cu matricea . Se cere matricea a operatorului A in baza F.

b)      Cunoscand matricea a operatorului A in baza F si matricea de trecere S, sa se afle matricea a operatorului in baza G.

Solutie

deci

asa ca

Operatori simetrici , ortogonali si afini pe Rⁿ

6.1 Operatori simetrici pe Rⁿ

Un operator liniar A : Rⁿ Rⁿ se numeste simetric daca pentru orice X,X' IRⁿ avem:

Teorema 3

Daca operatorul simetric A are in baza ortogonala F din Rⁿ , matricea A_F, aceasta este simetrica.

Demonstratie

Fie . Avem deoarece . Rezulta relatia:

Avem si deci relatia (1) devine:

Conform relatiei (2) avem: .

Relatia (3) devine: , adica deci .

Q.E.D.

6.2 Operatori ortogonali pe Rⁿ

Teorema 4

Un operator ortogonal conserva produsele scalare, normele si distantele.

Demonstratie

Avem deoarece , baza A (F)=G fiind ortonormala. Rezulta:

Conform relatiei (2) de mai sus avem , deci operatorul ortogonal A conserva produsele scalare:

Mai departe, pentru X = X' relatia (5) devine:

(6)

deci operatorul ortogonal A conserva normele.

Avem:

deci operatorul ortogonal A conserva distantele. Q.E.D.

Teorema 5

Matricea A a operatorului ortogonal A este matrice ortogonala.

Demonstratie

Avem deci conform relatiei (2) de mai sus avem: .

Conform relatiei (4) avem: , rezulta asa ca deci A este matrice ortogonala. Q.E.D.

6.3 Operatori afini pe Rⁿ

Un operator A Rⁿ Rⁿ se numeste afin daca are forma : Y = A.X + X⁽⁰⁾ unde A este o matrice patratica nesingulara de ordin n ( det(A) este nenul) iar X⁽⁰⁾ este un vector-coloana fixat din Rⁿ .

Pentru X⁽⁰⁾ = 0 operatorul afin devine liniar.

Multimea operatorilor afini pe Rⁿ formeaza un grup fata de compunerea operatorilor, numit grupul afin al lui Rⁿ .

O multime de vectori P inclusa in Rⁿ este o multime de puncte fixe fata de operatorul afin A daca A (P)=P.

Operatorul afin A este izometric daca conserva distantele intre vectori : pentru orice X' , X'' din Rⁿ si Y'=A . X'+X⁽⁰⁾ ; Y''= A . X''+ X⁽⁰⁾ avem

d(X',X'')=d(Y',Y'') adica || X''- X' Y''- Y'

Orice operator ortogonal este izometric(teorema 4).

Operatorul afin A este involutiv daca A o A = I .

Orice operator afin pe Rⁿ conserva varietatile liniare din Rⁿ :

Orice varietate r-dimensionala in Rⁿ este solutia sistemului liniar neomogen de forma D . X = b cu rang(D)=r care are solutia X=U.X_S+X_B

unde U este matrice de tip n x (n - r) si rang r ,X_S este vector-coloana cu n - r componente variabile(parametrii varietatii liniare) iar X_B este un vector-coloana bazic din Rⁿ cu r componente bazice nenule (vezi teorema 2.1 si sectiunea 5.1 ).

Rezulta Y=A.X +X⁽⁰⁾ = (A.U).X_S +(A.X_B+ x⁽⁰⁾) deci Y este vector-coloana al unei alte varietati liniare r-dimensionale din Rⁿ .

Exemplu Orice operator afin pe R³ transforma dreptele in drepte si planele in plane .

Operatorii izometrici si in particular cei ortogonali pe R³ conserva:

Paralelismul si perpendicularitatea dreptelor si planelor;

Unghiul unei drepte cu un plan deci paralelismul si perpendicularitatea unei drepte cu un plan .

Cazuri particulare in R³

Translatia

Se obtine din operatorul afin pe R³ pentru A = E.

X⁽⁰⁾ se numeste vectorul translatiei.

Translatia este un operator neliniar izometric:

|| Y'' - Y' || = || (X'' + x⁽⁰⁾) - (X'+ x⁽⁰⁾ || = || X'' - X' ||

2) Simetria fata de O (simetria centrala)

Se obtine din operatorul afin pe R³ pentru X⁽⁰⁾ = 0 si

Simetria centrala este un operator liniar ortogonal involutiv cu un punct fix O.

3) Simetria fata de OX (simetria axiala)

Se obtine din operatorul afin pe R³ pentru X⁽⁰⁾ = 0 si

Simetria axiala este un operator liniar ortogonal involutiv co o dreapta fixa OX .

4) Simetria fata de planul OXY (simetria planara)

Se obtine din operatorul afin pe R³ pentru X⁽⁰⁾ = 0 si

Simetria planara este un operator liniar ortogonal involutiv cu un plan fix OXY .

Rotatia fata de O in planul OXY (rotatie centrala)

Se obtine din operatorul afin pe R³ pentru X⁽⁰⁾ = 0 si

Rotatia centrala este un operator liniar ortogonal cu un punct fix O .

Rotatia fata de OX (rotatie axiala)

Se obtine din operatorul afin pe R³ pentru X⁽⁰⁾ = 0 si

Rotatia axiala este un operator liniar ortogonal cu o dreapta fixa OX .

Omotetia fata de O

Se obtine din operatorul afin pe R³ pentru X⁽⁰⁾ = 0 si

k se numeste modulul omotetiei .

Omotetia este un operator liniar cu un punct fix O .

Exista si alti operatori afini care rezulta prin compunerea operatorilor 1) - 7) :

8) Asemanarea

Se obtine din compunerea unei traslatii,rotatii , omotetii si eventual simetrii.

9) Miscarea

Se obtine din compunerea unei translatii si rotatii.

10) Miscarea elicoidala

Se obtine prin compunerea unei rotatii axiale si o translatie in care vectorul translatiei este

paralel cu axa de rotatie.

Observam ca operatorii afini de la punctele 1)-3) , 5)-7) formeaza grupuri fata de comunerea operatorilor.

Exceptie face simetria planara de la punctul 4) care nu formeaza grup fata de compunerea simetriilor planare.

7 Rezumat

In acest capitol se definesc notiunile de aplicatie liniara si operator liniar pe Rⁿ , se prezinta operatiile cu acestea si norma unei aplicatii liniare.

In continuare se prezinta subspatiile invariante ale unui operator liniar, subspatiile invariante fundamentale Ker si Im pentru aplicatia liniara A si aplicatia liniara transpusa A^T . Aceste subspatii descompun spatiul vectorial de definitie Rⁿ al lui A si spatiul vectorial de valori R^m al lui A in sume directe.

Capitolul se incheie cu notiunile de operator simetric, ortogonal si afin pe Rⁿ cu aplicatii in geometria spatiului euclidian R³ .

Intrebari

Ce este o aplicatie liniara si ce operatii se pot face cu aplicatii liniare ?

Cum se descompun spatiul de definitie Rⁿ si spatiul de valori R^m al unei aplicatii liniare A in raport cu subspatiile Ker si Im ?

Ce proprietati au operatorii simetrici si ortogonali pe Rⁿ ?

Cum se clasifica operatorii afini pe Rⁿ ?

9 Bibliografie

Stanasila O. " Analiza liniara si geometrie "Vol. I - II,Editura ALL ,2000 - 2001

Cenusa Gh. si col." Matematici pentru economisti " Editura CISON,2000

Cenusa Gh. si col." Matematici pentru economisti - culegerede probleme" Editura CISON,2000

4. Ene D. " Matematici (I) " Editura CERES , 2004

5. Gogonea S. , Ene D. " Analiza numerica " Editura Cartea Universitara , 2005

6. Ene D., Gogonea S. " Metode numerice "Editura Cartea Universitara , 2005