Determinarea Conductivitatii Termice A Metalelor

Determinarea Conductivitatii Termice A Metalelor

Generalitati:

Caldura se propaga prin diferite corpuri mai mult sau mai putin usor, unele corpuri fiind mai bune, altele mai rele conducatoare de caldura. Prin definitie, conductivitatea termica (k) a unei substante este numeric egala cu cantitatea de caldura care trece in unitatea de timp prin unitatea de suprafata, cand temperatura variaza cu un grad pe unitatea de timp prin unitatea de lungime.

Procesul propagarii caldurii este descris de legea lui Fourier:

,(1)

unde dQ este cantitatea de caldura ce trece prin suprafata dS in timpul dt, iar este gradientul de temperatura.

Fenomenul conductibilitatii termice poate fi studiat atat in regim variabil cat si in regim permanent (stationar). In regimul variabil, temperatura in diferite puncte ale corpului variaza cu timpul. In regimul stationar (permanent), temperatura corpului intr-un punct oarecare nu mai variaza. In acest caz, cantitatea de caldura care vine intr-un element de volum este egala cu cea care pleaca din acel element.

Teoria metodei:

Pentru determinarea conductivitatii termice a metalelor se construiesc doua bare identice, una din metalul de cercetat si alta dintr-un metal a carui conductivitate termica se cunoaste (de exemplu, cupru k=0,90 ).

Barele se incalzesc la un capat (la aceeasi temperatura) pana se ajunge la regim permanent, cand temperatura nu mai variaza in diferite puncte ale barelor. Integrand ecuatia lui Fourier pentru o bara in regim permanent, obtinem urmatoarea lege de variatie a temperaturii de-a lungul barei:

unde Q este excesul de temperatura a barei fata de mediul ambiant, in punctul unde se produce incalzirea, Q este valoarea excesului de temperatura a barei la distanta X de origine, iar e este baza logaritmilor naturali. In aceasta relatie s-a facut urmatoare notatie:

unde a este coeficientul de schimb de caldura al barei cu mediul (aerul) exterior (a este numeric egal cu cantitatea de caldura schimbata cu exteriorul, in unitatea de timp, printr-o unitate de suprafata, cand intre corp si mediul exterior exista o diferenta de temperatura de un grad),      k (kappa) este conductivitatea termica a metalului, P si S sunt perimetrul si aria sectiunii barei.

Pentru a deduce formula (2), sa consideram o bara suficient de lunga, asa incat la capatul A (figura 1) ea are temperatura Q a sursei calde, iar la capatul B are temperatura mediului ambiant. Caldura se propaga de la A la B. Consideram o sectiune S₁ la distanta X de sursa calda (A) si o alta sectiune vecina S₂ la distanta X+dX. Daca temperatura in sectiunea S₁ este Q fata de mediul ambiant si gradientul termic este:

in sectiunea S₂ temperatura va fi:

iar gradientul:

Cand se atinge un regim permanent, din cantitatea de caldura dQ₁ care vine de la sursa calda si intra prin sectiunea S₁ in care volumul delimitat de cele doua sectiuni S₁ si S₂ (volumul de hasurat), o parte dQ₂ iese prin S₂ si se propaga mai departe in bara catre capatul B, iar o alta parte dQ₃ trece in mediul exterior prin suprafata laterala a portiunii hasurate (pentru propagarea pe o singura directie: . Prin urmare: dQ₁=dQ₂+dQ₃ (4).

Conform legii lui Fourier (1) avem:

si conform legii lui Newton a schimbului de caldura solid-fluid, avem:

dQ₃= aS₁, P-perimetrul sectiunii. (6)

Introducand in (4) avem, dupa reduceri evidente:

sau

unde a² este dat de (3).

(7) este cunoscuta ecuatie a propagarii caldurii. Cautam solutii de forma (C-constanta, r-constanta). Introducand in (7) gasim dupa simplificari evidente urmatoarea conditie:

r²-a²=0 sau r=. (8)

Ecuatia fiind liniara, solutia generala va fi o suprapunere a celor doua solutii gasite:

(9)

(A, B - constante).

Constantele A si B se determina din conditiile la limita. Pentru X=0 avem Q Q si inlocuind in (9) gasim Q =A+B. Presupunand bara folosita foarte lunga (X ) punem conditia: pentru X, Q=0, adica , de unde rezulta ca B trebuie sa fie nul. Atunci ecuatia de distributie a temperaturilor in bara va fi de forma:

adica o distributie exponentiala a temperaturilor in bara in functie de distanta X de la sursa calda. (Q - excesul de temperatura fata de temperatura mediului).

In metoda Wiedemann si Frantz se foloseste teorema celor trei sectiuni echidistante A, B, C situate la distantele X-d, X si X+d, de la capatul barei. Se constata ca atunci cand distanta d dintre sectiuni se mentine neschimbata, raportul ramane constant cand diferenta X variaza. Intr-adevar:

de unde rezulta imediat ca:

deci independent de X. Notand:

obtinem de aici prin rezolvare:

Daca vom lua doua bare, taiate cu aceleasi dimensiuni si innegrite identic la exterior, pentru a avea acelasi coeficient de schimb de caldura cu exteriorul, vom putea scrie:

Pentru prima bara: ;

Pentru a doua bara:      .

Ridicand la patrat si facand raportul lor, obtinem:

Cunoscand pe k putem calcula de aici pe k'.

Descrierea aparatului:

Doua bare, una din cupru si cealalta din materialul de studiat (fier), avand aceeasi sectiune si innegrite identic la exterior, sunt fixate in pozitie verticala paralele una cu cealalta. Capatul de sus al fiecarei bare intra in cate un cuptor electric. Rezistentele incalzitoare ale celor doua cuptoare sunt identice, astfel incat capetele de sus ale barelor sunt incalzite la aceeasi temperatura.

Barele au o serie de gauri echidistante in care se introduc termocuple Cupru-Constantan, cate 6 termocuple pentru fiecare bara. Capetele termocuplelor sunt conectate la un inregistrator de temperatura cu 12 canale.

Modul de lucru

1. Se controleaza daca toate termocuplele sunt introduse complet in gaurile din bara. Se fixeaza hartia la inregistrator, apoi se introduce cordonul acestuia in priza la 220 V.
2. Se inregistreaza timp de 5 minute temperatura initiala a barelor. Pentru aceasta, se pune intrerupatorul inregistratorului in pozitia de inregistrare (pozitia cea mai de sus). Cele 12 temperaturi ale barelor inregistrate pe hartie trebuie sa fie egale intre ele si egale cu temperatura mediului ambiant.
3. Se conecteaza cuptoarele la retea si se continua inregistrarea temperaturilor. Rezistentele incalzitoare ale celor doua cuptoare sunt legate in serie, iar capetele libere sunt conectate la 220 V. Cand temperaturile raman constante (curbele devin paralele intre ele si cu axa timpului) s-a atins regimul stationar. Se citesc temperaturile respective t^¢ , t^¢ , pentru prima bara si t^¢¢ , t^¢¢ pentru a doua bara.

Calculul rezultatelor:

Notam cu Q si Q diferentele de temperatura aratate de termocuple, adica excesele de temperatura fata de temperatura mediului ambiant.

Vom face diferite combinatii posibile ale diferentelor de temperatura luate pentru trei termocuple echidistante. Cu sase termocuple putem face urmatoarele trei tipuri de combinatii

A)    Termocuplele echidistante imediat vecine

(4 combinatii)

C)Termocuplele echidistante mai departate

(2 combinatii)

B)    In sfarsit, o singura combinatie

(1 combinatie)

Pentru fiecare tip A), B), C) de combinatii se va face separat media valorilor pentru n si n cu care se va calcula apoi k'

Deoarece n si n' sunt apropiate ca valoare de 1 si experienta nu este prea precisa, putem face un calcul de aproximatie, simplificand apreciabil formula de calcul. In acest scop notam

n=1+h, n'=1+h'; (14)

unde h si n' sunt relativ mici fata de 1, deci putem neglija puterile lor superioare. Avem evident

unde am neglijat h²<<2h. Folosind dezvoltarea in serie

unde in cazul nostru punem , gasim

(15)

folosind aceasta aproximatie in (13) vom avea

(16)

relatie dupa care putem calcula pe k , separat pentru cele 3 tipuri de combinatii A), B), C) amintite mai sus (valorile medii corespuzatoare). Pentru cupru .

Observatie Din (11) se vede ca n>1,de aceea in alcatuirea valorilor medii si se vor exclude eventualele valori subunitare care sunt evident gresite se vor calcula cu 3 sau 4 cifre semnificative.

Calculul erorilor

Avand patru combinatii de tipul A) putem lua in acest caz pentru erorile absolute si erorile patratice medii

(N (17)

Atunci pentru k vom calcula eroarea statistica dupa formula

(18)

unde erorile relative sunt

etc.

fiind dat de (17).

Rezultatele se trec in tabelele