OPTICA: Aspecte fundamentale ale fenomenului de dispersie si polarizare

OPTICA

Aspecte fundamentale ale fenomenului de dispersie

Dispersia luminii consta in dependenta indicelui de refractie n al unui mediu material (substanta) de pulsatia w (legata de frecventa f prin relatia w pf) sau de lungimea de unda l a luminii care strabate acel mediu. Relatiile de forma n = n(l) sau n = n(w) se numesc relatiii de dispersie.

Aspectele calitative ale relatiei de dispersie pot fi stabilite pornindu-se de la un model clasic al interactiei radiatiei cu substanta. O astfel de abordare este relativ simpla din punct de vedere matematic, avand in schimb dezavantajul de a nu putea explica toate aspectele legate de dispersia si absorbtia luminii in medii dielectrice. Un studiu riguros si complet implica insa utilizarea unor relatii din fizica cuantica, un capitol care se studiaza ulterior celui de optica.

Se considera o unda electromagnetica de o anumita pulsatie (sau frecventa unghiulara w, care interactioneaza cu molecula de substanta (in cazul de fata, reprezentata de un material transparent, respectiv sticla). Moleculele substantei pot fi reprezentate sub forma unui ansamblu de dipoli electrici, fiecare dipol fiind format dintr-o pereche de sarcini egale si de semn contrar (q si -q) aflate la distanta r una de cealalta. Sarcinile pozitive pot corespunde nucleului sau nucleelor implicate, iar sarcina negativa poate corespunde centrelor norului sau norilor electronici ai atomilor din cadrul moleculei. Sub influenta campului exterior, sarcinile electrice se deplaseaza, conform legii lui Coulomb F = qE; ca urmare, sarcinile electrice ce compun un dipol tind sa se deplaseze in directii contrare (ele avand semne diferite). Astfel distanta r dintre ele va varia.

Fiecare dipol creeaza la randul sau un anumit camp electric. Aceasta inseamna ca proprietatile electrice ale mediului respectiv sunt influentate, pentru multe materiale, denumite materiale neliniare (permitivitatea electrica e este modificata). Ca urmare, viteza v de propagare a undei, determinata de proprietatile de material ale mediului prin relatia:

v² = 1/ (em (1)

va fi modificata.

Viteza de propagare a undei electromagnetice intr-un anumit mediu se mai poate scrie:

v = c/n (2)

unde c este viteza luminii in vid, iar n este indicele de refractie al mediului, care poate lua doar valori supraunitare, intrucat viteza luminii intr-un anumit mediu nu poate depasi viteza considerata maxima posibila in natura, cea a luminii in vid (egala cu 3.10⁸m/s). Ca urmare, prin egalarea expresiilor (1) si (2), rezulta ca indicele de refractie va fi influentat direct de modificarile permitivitatii electrice e. Asa cum s-a aratat, aceasta permitivitate este influentata adeseori de intensitatea undei incidente (pentru medii neliniare), si astfel vor fi influentate si proprietatile de refractie ale materialului respectiv.

Dar proprietatile electrice, prin campul creat in interiorul substantei sub actiunea campului undei electromagnetice receptionate, sunt influentate si de frecventa oscilatiilor campului electric E receptionat (respectiv de frecventa luminii incidente). Dipolii considerati au la randul lor o anumita frecventa proprie de oscilatie, denumita frecventa de rezonanta. Daca frecventa campului exterior se apropie in sens crescator de aceasta frecventa, atunci amplitudinea oscilatiilor dipolului creste, ele tinzand sa fie orientate pe directia campului exterior; campul creat de dipoli va fi mare si va tinde sa intareasca acest camp exterior, influentand corespunzator proprietatile electrice ale mediului (permitivitatea e). Daca insa frecventa campului exterior depaseste cu putin aceasta frecventa de rezonanta, atunci amplitudinea oscilatiilor dipolului se va mentine ridicata, insa ele vor tinde acum sa fie orientate in sens contrar campului exterior, dupa cum rezulta din ecuatia de miscare:

m d²r/dt² + k r = F = qE = qE₀ sin(wt) (3)

ce poate fi scrisa si sub forma:

d²r / dt² + (k/m) r = d²r / dt² + w_k r = q/mE₀ sin(wt) (4)

unde w_k = k / m

Se incearca solutii de forma r = r₀ sin(wt).

Ca urmare, campul creat de dipoli va fi scazut din campul exterior, iar proprietatile electrice (permitivitatea e) vor fi influentate in acest sens. Ulterior, pe masura ce frecventa campului exterior creste, tinzand sa se departeze de aceasta zona de rezonanta, proprietatile electrice vor tinde sa se indeparteze si ele de la valoarea de minim atinsa, incepand sa creasca. Permitivitatea e va creste, viteza de propagare va scadea, ceea ce inseamna ca indicele de refractie va creste pe masura pe w creste. Aceasta este zona in care sunt situate frecventele din spectrul vizibil al luminii in raport cu frecventa de rezonanta a dipolilor moleculari ai sticlei, fiind denumita zona de dispersie normala (n creste cu w). Intrucat portiunea pe care indicele de refractie scade este extrem de mica (fiind situata in imediata vecinatate a frecventei de rezonanta, asa cum s-a aratat), rezulta ca, in general se poate considera ca pe un interval de frecvente dat, indicele de refractie creste cu frecventa radiatiei incidente.

Detalii teoretice ale fenomenului de dispersie

Consideram lumina drept unda electromagnetica de pulsatie w si molecula substantei drept un ansamblu de k oscilatori de masa m_k si sarcina q_k. Campul electric al undei electromagnetice determina oscilatii fortate ale oscilatorilor, de elongatie r_k. La nivelul moleculei acest fenomen implica aparitia unui moment electric dipolar de marime p_e = q_k r_k , iar la nivelul intregului corp, considerat omogen si izotrop, o polarizatie P determinata de suma acestor momente dipolare elementare.

In cazul unor oscilatii amortizate ale dipolilor considerati, elongatiile r_k se obtin din ecuatii de forma:

m_k d²r_k / dt² + 2a_k dr_k / dt + b_k r_k = q_k E₀ exp[iwt] (5)

Incercand pentru r_k solutii de forma

r_k = r_0k exp[iwt] (6)

si notand (b_k / m_k)^1/2 cu w_k (frecventa de rezonanta) si pe (a/m_k) prin d_k (constanta de amortizare) , rezulta pentru r_0k (amplitudinea elongatiilor) o expresie de forma:

r_0k = (q_k E₀ / m_k) [ 1 / (w_0k w + 2 i d_k w (7)

Intrucat permeabilitatea magnetica m este aproximativ egala cu m pentru substantele dielectrice, rezulta

n² = c² / v² = (e m e m e_r m_r e_r (8)

iar e_r este definit prin relatiile

e_r = 1 + P / (e E) = 1 + (S p_e) / (e E) = 1 + (S q_k r_k) / (e E) =

S q_k r_0k) / (e E₀) (9)

unde r_0k a fost obtinut anterior, sub forma unei marimi complexe. Rezulta astfel ca si marimile e_r, respectiv n², sunt marimi complexe. Scriind pe n sub forma n = n_r + i k , (unde n_r corespunde partii reale, deci indicelui de refractie observat in realitate, iar k corespunde partii imaginare, caracterizand fenomenele de absorbtie, asa cum se poate arata), rezulta prin identificarea partilor reala si imaginara in cei doi membri ai ecuatiei de mai sus o expresie pentru n_r de forma

n_r = 1 + Nq²(w_k w ) / 2me w_k w d w (10)

(pentru cazul simplificat al existentei a N oscilatori identici), graficul n_r(w) si k w fiind de forma din figura 1:

Fig. 1

Dispozitiv de observare caracteristic pentru fenomenul de dispersie

In baza fenomenului de dispersie, o prisma din material transparent (sticla) pe care un fascicul optic este incident dupa o alta directie decat cea normala, refracta radiatiile de diverse frecvente ce compun fasciculul incident dupa directii diferite, intrucat indicele de refractie este dependent de frecventa unghiulara w. In consecinta, directiile dupa care vor iesi aceste radiatii din prisma vor fi la randul lor diferite. Daca sursa de radiatii are un spectru discontinuu de radiatii, fiecare cu o anumita lungime de unda (linii spectrale), atunci prisma va separa fasciculul intr-un numar finit de fascicule, observandu-se un numar finit de linii (cazul lampilor bazate pe descarcari in gaze). Fizica cuantica va arata ca spectrul radiatiilor emise de o substanta este o caracteristica a acesteia, fiind un mijloc sigur de identificare a substantei respective.

Daca sursa de radiatie este insa o sursa termica (radiatia fiind generata de oscilatiile atomilor din retele), atunci frecventele radiatiei emise apartin unui spectru continuu si, la iesirea din prisma, poate fi observat cu ochiul liber intreg spectrul vizibil. In cazul in care o astfel de radiatie trece printr-o substanta mai rece, atunci, conform legii lui Kirchhoff, aceasta va absorbi acele radiatii pe care le-ar putea emite in conditii de incandescenta. In acest caz, fasciculul care iese din substanta absorbanta va avea anumite domenii de frecventa eliminate din spectrul vizibil.

Dupa trecerea prin prisma, acest fascicul va prezenta, in intervalele de frecventa eliminate, benzi negre pe fundalul spectrului vizibil, intrucat pentru frecventele respective nu exista radiatie incidenta pe prisma. In concluzie, un fascicul optic incident pe o prisma de sticla dupa o directie diferita de cea normala si format din radiatii de frecvente diferite, va fi descompus in fascicule optice ce se propaga in directii diferite, fiecare corespunzand radiatiei de o anumita frecventa din fasciculul incident.

Pentru studiul fenomenului se foloseste un dispozitiv denumit spectroscopul cu prisma de sticla, ale carui componente sunt indicate in figura de mai jos.

Fig. 2

Spectroscopul este constituit din urmatoarele elemente (fig. 2): prisma optica P, colimatorul C_1, care consta dintr-o fanta dreptunghiulara reglabila F, plasata in focarul unei lentile L₁, luneta L cu ajutorul careia se face observarea spectrului si colimatorul C_2, format dintr-o scara micrometrica si o lentila L₂ care proiecteaza imaginea M a scarii micrometrice pe o fata a prismei P, iar aceasta o reflecta in campul vizual al lunetei.

Aspecte fundamentale ale fenomenului de polarizare.

Conform teoriei clasice a electromagnetismului, lumina este o unda electromagnetica transversala, in care vectorii E (intensitatea campului electric) si B (inductia magnetica) sunt reciproc perpendiculari si perpendiculari pe directia de propagare. Daca acesti vectori E si B isi pastreaza o anumita directie de oscilatie pe parcursul propagarii (cum este indicat in figura 3), atunci unda se considera a fi liniar polarizata (existand directii privilegiate, similare ca importanta cu axa polilor din cazul rotatiei pamantului).

Fig. 3

Planul ce contine vectorul E       si directia de propagare a undei, indicata de obicei prin vectorul k, vector egal in modul cu 2p l si de orientare identica cu directia de propagare a undei, este denumit plan de oscilatie.

In general, lumina emisa de sursele clasice obisnuite (soarele, becul cu incandescenta) este o lumina nepolarizata. Amandoua sursele mentionate sunt surse termice, radiatia fiind emisa de atomii aflati in vibratie (pentru cazul becului) sau in urma unor reactii nucleare (cazul soarelui), neexistand directii privilegiate. Se poate obtine insa relativ usor o lumina polarizata prin fenomenul de dubla refractie ce apare in anumite materiale. Dupa cum ii arata si numele, acest fenomen consta in existenta a doi indici de refractie diferiti (n₁, n₂), pentru o directie de propagare data in interiorul cristalului. Teoria electromagnetica macroscopica a luminii (relatiile lui Maxwell) arata faptul ca in cele doua unde (ce se propaga cu vitezele v₁ = c/n₁ si respectiv v₂ = c/n₂) vectorii E₁ si E₂ oscileaza in directii reciproc perpendiculare. Ca urmare, un fascicul de lumina naturala (fara o directie anumita de oscilatie a vectorului E - intensitatea campului electric) ce cade pe un astfel de material va fi impartit in doua fascicule polarizate (cu directii de oscilatie ale vectorului E bine-definite si reciproc perpendiculare). Acest aspect poate fi observat in figura 4, unde apar:

-raza ordinara, avand viteza constanta v₀ = c/n₀, n₀ fiind numit indice de refractie ordinar sau obisnuit;

-raza extraordinara, cu viteza v_e = c/n_e, dependenta de unghiul facut de directia de propagare cu axa optica a cristalului, unde n_e este indicele de refractie extraordinar.

Cristalele cu aceasta proprietate se numesc cristale birefringente (exemplu calcita, cuartul, gheata).

Fig. 4

Ulterior este necesara separarea celor doua unde obtinute, caracterizate fiecare prin viteze diferite, deci si prin indici de refractie diferiti. In acest sens pot fi utilizate prisme ce separa componentele in spatiu dupa indicii de refractie caracteristici fiecarei componente.

O varianta mai simpla consta in utilizarea proprietatii de dicroism a anumitor cristale birefringente (de exemplu turmalina). Aceasta proprietate consta in absorbtia selectiva a uneia din undele polarizate obtinute, in raport cu cealalta.

Cristalele dicroice se folosesc pentru realizarea unor materiale polarizante, numite comercial polaroizi. Acesti polaroizi transmit numai acele oscilatii pentru care vectorul E oscileaza paralel cu o directie anumita, preferentiala, absorbind oscilatiile pentru care E oscileaza perpendicular pe acesta directie preferentiala.

In figura 5 este reprezentat planul de vibratie al unui tren de unda oarecare incident pe un polaroid. Vectorul intensitate camp electric E poate fi inlocuit prin cele doua componente ale sale E_x = i E sin (perpendiculara pe directia de polarizare a cristalului) si E_y = j E cosQ (paralela cu aceasta directie), unde vectorii i si j sunt versorii axelor Ox si, respectiv, Oy. Dintre aceste doua componente, numai componenta E_y va fi transmisa, cealalta componenta fiind absorbita.

Fig. 5

II.5. Dispozitiv de observare caracteristic pentru starea de polarizare

Ochiul uman nu poate observa direct starea de polarizare a luminii, intrucat el este sensibil doar la lungimea de unda (ce determina culoarea luminii) si la intensitatea luminii, direct proportionala cu E². Din acest motiv, montajul experimental folosit pentru studiul polarizarii luminii emise de sursele termice de radiatie trebuie sa mai contina inca un polaroid, numit analizor, datorita rolului sau de analizare a luminii polarizate de primul, care poarta numele de polarizor, conform figurii 6.

Fig. 6

Elementul B reprezinta sursa optica (de obicei un bec cu incandescenta) iar P reprezinta polarizorul ce lasa sa treaca din lumina incidenta (nepolarizata) doar acele componente ale lui E paralele cu axa de polarizare a materialului. Ca urmare, dinspre polarizor spre analizorul A se propaga o unda liniar polarizata, vectorul E₀ osciland dupa o directie bine definita (directia axei de polarizare a polarizorului P). Axa de polarizare a polarizorului este de obicei fixa, insa cea a analizorului poate fi rotita, intrucat astfel poate fi identificata directia de polarizare a luminii incidente pe el. In functie de unghiul Q dintre axa analizorului si directia vectorului E₀ (identica cu cea a axei polarizorului P) va rezulta o proiectie a acestui vector pe axa analizorului egala cu:

E = E₀ cosQ (11)

aceasta fiind componenta luminii ce se propaga prin analizor si ulterior spre elementul de fotodetectie F. Intensitatea I a luminii este de forma:

I = aE² (12)

unde a este o constanta de proportionalitate. Inlocuind pe E cu E₀cosQ, rezulta pentru dependenta intensitatii I in functie de unghiul Q o expresie de forma

I = aE₀² cos²Q (13)

unde aE₀² este o constanta. Maximul intensitatii I_max se obtine pentru cos²Q (cand Q = 0), rezultand:

I_max = aE₀²      (14)

Inlocuind in expresia generala a lui I pe aE² cu I_max, rezulta ca se poate scrie:

I = I_max cos²Q (15)

Aceasta relatie exprima legea lui Malus, descoperita de Etienne Malus in 1809, in urma efectuarii unor experiente de polarizare prin reflexie a luminii.

Substante optic active

Mai exista o categorie de substante care au proprietatea de a roti directia vectorului E, deci si planul de oscilatie si de polarizare a luminii, pe masura ce unda electromagnetica se propaga prin materialul respectiv. Acest fenomen se numeste polarizare rotatorie (vezi figura 7) sau activitate optica.

Figura 7

Exemple de substante optic active sunt cuartul, lactoza, zaharoza, precum si unele gaze. Unele din aceste substante rotesc planul de oscilatie spre stanga, fiind denumite levogire, iar altele rotesc planul de oscilatie spre dreapta, fiind denumite dextrogire.

In cazul solutiilor optic active (substante optic active dizolvate in apa), valoarea unghiului de rotatie a a planului de oscilatie depinde direct proportional de concentratia de substanta optic activa si de distanta l pe care lumina polarizata o parcurge prin solutie, si invers proportional de lungimea de unda l a radiatiei incidente, fiind de asemenea dependent de temperatura de lucru. Rezulta o relatie de forma:

a a]_T^l c l (16)

unde c este concentratia solutiei optic active, l este lungimea stratului de solutie parcurs, iar [a]_T^l se numeste putere rotatorie sau rotatie specifica si reprezinta valoarea unghiului de rotatie a pentru c si l egale cu unitatea (fiind o constanta de material dependenta de lungimea de unda si de temperatura).

Din relatia de mai sus rezulta posibilitatea de determinare a concentratiei c prin masurarea unghiului a, cunoscand-se distanta l si constanta de material [a]_T^l. Pentru aceasta folosim relatia

(17)

Pentru a se putea masura unghiul a este necesar sa obtinem o unda liniar polarizata. In acest sens putem utiliza un prim nicol, cu rolul de a transforma lumina nepolarizata, obtinuta de la o sursa obisnuita (bec cu incandescenta), intr-o unda polarizata, avand un vector E orientat pe directia privilegiata a nicolului, si un al doilea nicol cu rolul de a identifica noua orientare a vectorului E la iesirea din substanta optic activa. Se roteste directia privilegiata a celui de-al doilea nicol pana se obtine un maxim de intensitate pentru unda ce iese din al doilea nicol, aceasta insemnand ca in acel moment directia privilegiata a celui de-al doilea nicol coincide cu aceasta noua orientare a vectorului E, lumina fiind transmisa mai departe prin al doilea nicol spre ochiul uman sau spre sistemul de fotodetectie. Dezavantajul unei astfel de metode (ce utilizeaza practic o singura unda polarizata) consta in faptul ca ea necesita un sistem precis de fotodetectie, astfel incat pozitia de maxim sa poata fi determinata cu acuratete. In practica este insa de dorit sa se determine cu rapiditate noua directie a vectorului E si ulterior concentratia solutiei, folosind pe cat posibil ochiul uman pe post de observator. Intrucat ochiul uman este extrem de sensibil la diferentele de intensitate luminoasa dintre doua regiuni adiacente, rezulta ca este necesara utilizarea a doua unde polarizate, urmand ca noua directie a vectorului E (unghiul a de rotatie a planului de polarizare de catre substanta optic activa) sa fie determinata pentru o pozitie in care intensitatea luminoasa a doua regiuni alaturate din campul vizual (in fiecare sosind una din cele doua unde polarizate) sa fie identice. Detalii privind o astfel de varianta vor fi prezentate in paragraful urmator.

Dispozitiv de observare caracteristic

Pentru a evidentia calitativ aspectele discutate teoretic se foloseste un dispozitiv optic denumit polarimetru circular. Schema acestuia este prezentata in figura 8.

Figura 8

Sursa de lumina este un bec cu incandescenta prevazut cu filtru (intrucat constanta de material [a]_T^l depinde de lungimea de unda, este necesar ca aceasta lungime de unda sa fie mentinuta constanta astfel incat unghiul a rezultat sa nu fie influentat decat de concentratia c de substanta activa, lungimea l a parcursului fiind cunoscuta). De asemenea, se poate utiliza o lampa cu descarcari in gaze de la care este preluata doar o componenta nepolarizata cu o anumita lungime de unda (o linie spectrala). Fanta F are rolul de a selecta un fascicul foarte ingust, centrat pe axul de simetrie al nicolului polarizor.

y

Acest nicol polarizor P are rolul de a lasa sa se propage mai departe doar undele al caror vector intensitate a campului electric E oscileaza in planul sectiunii sale principale. Amplitudinea si directia undei luminoase emergente din polarizorul P sunt indicate in figura 9 prin notatia OP.

Directia principala a analizorului

E

q q

O'

x

P'

P

O

Figura 9

Regiunea centrala a fasciculului de lumina trece ulterior prin lama semiunda L , realizata dintr-un material birefringent. Pentru aceasta lama, directiile celor doua axe sunt indicate in figura 4 prin notatiile Ox si Oy. Lama descompune lumina polarizata pe directia OP in doua unde cu amplitudini diferite: OO' este amplitudinea undei ordinare, iar OE este amplitudinea undei extraordinare. Denumirea de lama semiunda (sau lama l/2) provine din faptul ca latimea sa este aleasa astfel incat diferenta de faza dintre cele doua unde introdusa de parcursul prin lama sa fie de p (ceea ce corepunde, grafic, diferentei de faza introdusa de un parcurs egal cu l/2 pentru o singura unda). Din acest motiv, la iesirea din lama respectiva, la momentul de timp cand una din cele doua unde va avea un vector E_y^' de amplitudine maxima si de acelasi sens ca la intrarea in lama (egal cu E_x), cealalta unda va avea un vector E_x^' tot de amplitudine maxima, dar de sens contrar celui existent la intrarea in lama (egal cu -E_x). Prin compunerea vectoriala a undelor E_y^' si E_x^' la iesirea din lama, se obtine o unda liniar polarizata, avand vectorul E^' orientat pe directia OP^', ce se va propaga apoi spre observator. Lama semiunda acopera, asa cum s-a indicat, numai partea centrala a fasciculului luminos. Astfel spre observator se va propaga in zona centrala (notata cu a in figura 4) o unda cu directia si amplitudinea determinate de segmentul OP' (din figura 9 iar in zonele laterale (notate prin b in figura 10) se va propaga o unda cu directia si amplitudinea determinate de segmentul OP din figura 9.

Figura 10

In cazul in care mediul activ optic (un tub cu solutie de substanta optic activa de lungime cunoscuta) lipseste, aceste doua unde vor intra in prisma Nicol ce joaca rolul de analizor.

Daca directia privilegiata (principala) a analizorului coincide cu directia Ox, atunci proiectiile amplitudinilor OP si OP' (ce corespund fizic intensitatii campului electric egale si simetrice fata de axa Oy) pe directia principala a analizorului (axa Ox) au aceeasi valoare in modul, si astfel intensitatile luminoase in zonele a si b , proportionale cu patratele acestor module ale amplitudinii, vor fi deasemenea egale. Observatorul va percepe astfel cle doua zone ca avand acelasi grad de iluminare.

Atunci cand se introduce mediul optic activ (tubul T umplut cu solutie din substanta activa dizolvata in apa, de obicei), acesta va roti cu un acelasi unghi a atat planul de oscilatie al luminii ce trece prin lama (de amplitudine OP') si este observata in zona centrala a, cat si planul de oscilatie al luminii ce trece pe langa lama (de amplitudine OP) si este observata in cele doua zone laterale b. In aceasta situatie proiectiile celor doua amplitudini pe directia principala a nicolului analizor vor fi diferite in modul, si astfel vor diferi si intensitatile luminii observate de ochiul uman in cele doua regiuni adiacente.

Pentru a se aduce din nou cele doua zone la aceeasi stare de iluminare (cand intensitatile luminii sunt egale) este necesar a se efectua o rotatie a directiei principale (privilegiate) a analizorului cu un acelasi unghi a cu care au fost rotiti vectorii OP si OP', astfel incat proiectiile celor doi vectori pe noua axa sa fie din nou egale. Rotind nicolul analizor pana se obtine din nou o egalizare a iluminarii celor doua regiuni si masurand unghiul cu care s-a rotit aceasta directie fata de orientarea anterioara, se determina unghiul a. Apoi, cunoscand constanta de material [a_T^l] si lungimea tubului l, se poate afla concentratia c de substanta optic activa.