CAMPUL MAGNETIC STATIONAR

CAMPUL MAGNETIC STATIONAR

1. Ecuatiile campului magnetic stationar

In acest regim marimile nu variaza in timp.

Din forma integrala a legilor electromagnetismului, pentru regimul stationar se desprind urmatoarele ecuatii care definesc campul magnetic stationar:

- teorema lui Ampère: U_mmG Q_SG

- legea fluxului magnetic: f_S

- legea legaturii (sau relatia constitutiva):

cu urmatoarele definitii ale marimilor integrale

In domenii de continuitate si netezime se folosesc formele locale ale primelor doua relatii, sub forma:

Din legea fluxului magnetic rezulta ca liniile vectorului inductie nu incep si nu se termina in vre-un punct din camp (deoarece fluxul magnetic printr-o suprafata inchisa care s‑ar strange in jurul acelui punct ar fi nenul). Liniile pot fi inchise, pot incepe si se pot termina la infinit sau se pot infasura asimptotic in jurul unor curbe limita sau pe anumite suprafete.

Un ansamblu de linii ale inductiei magnetice care se sprijina pe o curba inchisa constituie un tub de flux magnetic. Aplicand legea fluxului magnetic unei portiuni de tub de flux limitata de doua sectiuni S₁ si S₂ (fig. 1-1), rezulta ca tuburile de flux sunt conservative: in lungul lor fluxul magnetic are aceeasi valoare f f (deoarece prin suprafata laterala S_l a tubului fluxul magnetic este nul, vectorul inductiei fiind perpendicular pe versorul al normalei la suprafata).

La reprezentarea campului magnetic prin linii de camp se convine, de regula, ca tot campul sa fie impartit in tuburi de flux magnetic, de sectiuni suficient de mici si de flux egal cu o valoare data Df. Fiecare tub de flux se reprezinta printr-o 'linie de camp unitate', care coincide cu axa tubului. In acest caz, fluxul printr-o suprafata oarecare este egal cu numarul de linii de camp-unitate care inteapa suprafata, multiplicat cu Df

2. Conditii de trecere la suprafete de discontinuitate ale proprietatilor magnetice

La suprafata de separare a doua medii cu proprietati magnetice diferite, permeabilitatea magnetica ca functiune de punct are o discontinuitate. Conditiile de trecere se stabilesc cu ajutorul formelor integrale ale legii fluxului magnetic si teoremei lui Ampère.

Aplicand legea fluxului magnetic unei suprafete inchise S_S de forma unei prisme plate, cu bazele de arie DA si de inaltime h foarte mica (fig. 2-1), care tinde spre zero mai repede decat dimensiunile bazelor, se obtine

si deoarece , rezulta

sau

Componentele normale ale inductiei trec continuu prin orice suprafata de discontinuitate. 100 pixeli = 7+2=9 randuri lh10 pentru f7_2-1-2

Intrucat, in general, magnetizatia are valori diferite in cele doua medii, rezulta ca la trecerea prin suprafata de discontinuitate nu se conserva componenta normala a intensitatii campului magnetic

Considerand ca pe suprafata de discontinuitate nu exista o repartitie superficiala de curenti, daca se aplica teorema lui Ampère pe un mic contur dreptunghiular plan G_S, aflat in planul determinat de vectorii si care trece strans de o parte si de alta a suprafetei de discontinuitate (fig. 2-2), rezulta

unde cu s-a notat versorul tangent la suprafata, in planul conturului G_S si cu Dl - lungimea dreptunghiului. In consecinta

adica in cazul in care pe suprafata nu exista o panza de curenti se conserva componentele tangentiale ale intensitatii campului magnetic la trecerea prin suprafata de discontinuitate.

Exprimand componentele inductiei, respectiv intensitatii campului in functie de unghiurile de incidenta a si refractie a (fig. 2-3), la suprafata de separatie a doua medii magnetice liniare, cu permeabilitati magnetice diferite m si m , se stabileste teorema refractiei liniilor de camp magnetic. Se obtin succesiv expresiile

Eliminand intre aceste expresii inductiile B₁ si B₂, tinand seama de conditiile de trecere (2-1), (2-2), rezulta

Cu aceasta teorema se stabilesc regulile orientarii liniilor de camp magnetic la suprafata      corpurilor feromagnetice. Daca mediul 2 este aer (m m ) si mediul 1 este feromagnetic (m  >> m ), rezulta a >> a , incat practic a 0. De exemplu, daca m_r1 = 1000, chiar si pentru a = 89 rezulta a

Practic se poate considera ca liniile inductiei magnetice sunt perpendiculare pe suprafetele corpurilor feromagnetice. Pot interveni exceptii numai cand a p/2 in materialul feromagnetic ideal (cu m ¥), in care caz a poate avea orice valoare.

3. Potentialul magnetic vector

Conditia este satisfacuta identic daca se exprima vectorul inductiei sub forma rotorului unui vector auxiliar

intrucat     

Marimea se numeste potential magnetic vector al campului magnetic. Existenta acestei marimi este determinata de valabilitatea legii fluxului magnetic.

Daca la calculul fluxului magnetic printr-o suprafata deschisa se exprima inductia magnetica cu ajutorul potentialului magnetic vector (3-1) si se tine seama de teorema lui Stokes, rezulta succesiv

Fluxul magnetic prin suprafata S_G este egal cu integrala de linie a potentialului magnetic vector de-a lungul conturului G pe care se sprijina aceasta suprafata. Se remarca faptul ca sensul de parcurgere al conturului G (sensul elementului de arc ) la calculul integralei de linie va fi asociat sensului versorului al normalei la suprafata (care constituie sensul de referinta al fluxului magnetic) dupa regula burghiului drept (fig. 3-1).

Relatia (3-2) pune din nou in evidenta faptul ca valoarea unui flux magnetic nu depinde de forma suprafetei prin care se calculeaza acesta, ci numai de conturul pe care se sprijina acea suprafata.

Potentialul magnetic vector este un camp de vectori, care nu are o semnificatie fizica nemijlocita; folosirea sa permite insa simplificarea tratarii matematice a multor probleme fizice. Potentialul magnetic vector este univoc definit numai dupa ce se mai precizeaza , originea potentialelor (punctul in care ) si unele conditii de frontiera sau la infinit. Precizarea valorii divergentei campului constituie conditia de etalonare. Pentru campul magnetic stationar se foloseste conditia de etalonare Coulomb:

4. Ecuatiile potentialului magnetic vector

In forma locala a teoremei lui Ampère se poate inlocui inductia magnetica exprimata cu ajutorul potentialului magnetic vector, obtinand ecuatia

unde n m este reluctivitatea.

Dezvoltand membrul stang, se obtine

In medii omogene n = const si se obtine ecuatia

Insa

si daca se admite conditia de etalonare Coulomb (3-3) se obtine in final ecuatia

In medii omogene (si liniare) potentialul vector satisface ecuatia vectoriala a lui Poisson; in zonele fara curent se obtine ecuatia vectoriala a lui Laplace. Pentru rezolvarea acestor ecuatii in domenii marginite trebuie cunoscute conditiile pe frontiera.

In reperul cartezian ecuatiile vectoriale se descompun in ecuatii scalare ale componentelor

Integrala ecuatiei (4-3) in tot spatiul se stabileste trecand prin formele scalare (4-4) si are forma

unde sunt vectorii de pozitie ai punctelor de observatie si curent, iar

In cazul campului magnetic stationar plan-paralel, cu

conditia de etalonare Coulomb (3-3) este satisfacuta implicit si potentialul vector satisface ecuatia scalara a lui Poisson sau Laplace in doua dimensiuni

In cazul campului magnetic stationar plan-radial, folosind reperul cilindric si cu

conditia de etalonare Coulomb (3-3) este satisfacuta implicit si potentialul vector satisface ecuatia scalara a lui Poisson sau Laplace in doua dimensiuni

5. Formula Biot-Savart-Laplace

Aceasta formula a fost stabilita de Laplace, avand la baza rezultatele experientelor savantilor Biot si Savart. Formula poate fi regasita (sau demonstrata) cu ajutorul expresiei (4-5) particularizata pentru un circuit filiform. Pentru acest circuit exista relatia (v fig. 5-1)

si atfel se obtine expresia potentialului magnetic vector al circuitului filiform avand curentul i

iar apoi expresia intensitatii campului magnetic

Aplicatia 1. Campul magnetic al unui fir rectiliniu, parcurs de curentul i (fig. 5-3)

Punctul de observatie (in care se determina campul magnetic) aflat la distanta a de fir, impreuna cu linia axa a conductorului defineste un plan, in care se afla vectorul si elementul de arc . Vectorul intensitatii campului magnetic este perpendicular pe acest plan. Luand o coordonata z pe linia firului, cu originea la piciorul perpendicularei coborate din punctul de observatie, se calculeaza componenta scalara

Campul creat de firul rectiliniu infinit este mereu perpendicular pe planul meridian local dus prin fir si are sensul asociat sensului curentului dupa regula burghiului drept. Liniile campului magnetic sunt cercuri concentrice, cu centrul pe fir, situate in plane perpendiculare pe fir.

Aplicatia 2. Campul magnetic al unei spire circulare, in puncte situate pe axa spirei (fig. 5-4).

Spira are raza a, curentul i, iar punctul de observatie se afla la o distanta z de planul spirei. Pe curba axa a sectiunii spirei (cerc) se considera un punct curent, din care se duce vectorul de pozitie pana in punctul de observatie situat pe axa spirei. Prin punctul curent se considera elementul de arc , orientat perpedicular pe planul de sectiune, intrand. Elementul de arc este perpendicular si pe vectorul de pozitie . Vectorul elementar al campului creat de curentul elementar i este cuprins in planul de sectiune si este perpendicular pe vectorul de pozitie , in jos. Se observa ca un element de arc , asezat simetric fata de primul si iesind din planul de sectiune, reperat prin vectorul de pozitie asezat simetric, da un vector elementar al campului perpendicular pe vectorul de pozitie , deci in sus. La module egale ale celor doua elemente de arc se vor compensa componentele perpendiculare pe axa spirei, ramanand numai componenta axiala

Intrucat R si a nu depind de pozitia punctului curent, expresia se integreaza imediat, rezultand

unde a este unghiul sub care se vede raza cercului axa al spirei din punctul de observatie. Campul este maxim in axa spirei (R = a sau a p/2), este orientat in lungul axei spirei si are sensul asociat sensului curentului i dupa regula burghiului drept.

Aplicatia 3. Campul magnetic al unei panze de curent si al stratului dublu de panze de curent (fig. 5-5).

In continuare, pe baza expresiei (5-4) se poate studia campul magnetic al unei panze de curent, avand densitatea lineica J_S, cu sensul de referinta intrand in planul de sectiune (figura 5-5a).

Un element infinitezimal de lungime dy din panza de curent, avand curentul di = J_S dy, da intr-un punct situat la distanta b de panza de curent, campul elementar

Coordonata y a punctului curent fiind

rezulta dy = -a db/sin²b

Se mai observa ca doua segmente din panza de curent de lungimi elementare egale si situate la distante egale fata de punctul de observatie dau vectori ai campului elementar avand componente perpendiculare pe planul panzei de curent egale si de semn contrar, deci campul rezultant va avea numai o componenta paralela cu planul, care se calculeaza prin integrala

Rezulta ca o panza de curent plana, produce in vecinatatea sa un camp magnetic paralel cu planul, avand intensitatea egala cu la orice distanta fata de plan si sensul asociat sensului panzei de curent dupa regula burghiului drept (la stanga planului sensul campului este opus celui stabilit in partea dreapta).

Plecand de la acest rezultat, se poate studia campul unui strat dublu de panze de curent, adica al unei perechi de panze de curent plane paralele, cu densitati lineice J_S si -J_S (egale si de semn contrar). In figura 5-5b s-a determinat campul magnetic rezultant, prin superpozitia campurilor produse de fiecare panza. Rezulta ca perechea de panze produce un camp egal cu J_S in spatiul dintre panze si nul in exterior. Sensul campului este asociat sensului panzelor de curent dupa regula burghiului drept.

6. Ecuatia de ordinul doi a intensitatii campului magnetic

Luand rotorul formei locale a teoremei lui Ampère, se obtine

In mediu omogen, cu = const, rezulta si atunci intensitatea campului magnetic satisface ecuatia vectoriala a lui Poisson

Daca campul densitatii de curent este datorit unui camp electric stationar, adica , intrucat , rezulta

deci ecuatia devine

In mediu conductor omogen cu s = const se obtine ecuatia lui Laplace.

7. Formulele lui Green pentru campuri de vectori

Se considera doua campuri de vectori , definite in D_S. Se aplica formula lui Gauss-Ostrogradski campului si se obtine prima formula a lui Green pentru campuri de vectori

Luand , relatia devine

Inlocuind in (7-1) , rezulta o relatie similara. Scazand-o membru cu membru din (7-1) se obtine a doua formula a lui Green pentru campuri de vectori