Examenul de licenta

La Facultatea de Fizica

Subiecte rezolvate

Examenul de licenta consta in 2 (doua) probe:

proba scrisa de cunostinte generale de fizica

prezentarea lucrarii de licenta

Proba scrisa va contine cate o intrebare de la fiecare din disciplinele mentionate (toate disciplinele sunt obligatorii), fiecarui raspuns alocandu-i-se cate un punct, un punct va fi acordat din oficiu.

Disciplinele sunt:

Mecanica clasica

Fizica moleculara si caldura

Electricitate si magnetism

Optica si Fizica atomului si moleculei

Mecanica teoretica

Electrodinamica

Termodinamica si Fizica Statistica

Mecanica cuantica si Introducere in teoria campului

Fizica solidului si semiconductori.

PROPUNERI DE SUBIECTE PENTRU EXAMENUL DE LICENTA

Disciplina D1: MECANICA CLASICA

1. Teorema variatiei momentului cinetic pentru un punct material (forma diferentiala, forma finita): enunt, demonstratie. Legea conservarii momentului cinetic pentru un punct material: deducere.

2. Teorema variatiei energiei cinetice pentru un punct material (forma diferentiala, forma finita): enunt, demonstratie. Legea conservarii energiei cinetice pentru un punct material: deducere.

3. Proprietati generale ale fortelor interne: enunt, demonstratie. Teorema variatiei impulsului pentru un sistem de puncte materiale: enunt, demonstratie. Legea conservarii impulsului pentru un sistem de puncte materiale: deducere.

4. Proprietati generale ale miscarii in camp central: enunt, demonstratie.

Disciplina D2: FIZICA MOLECULARA SI CALDURA

1. Sa se defineasca procesul politrop, sa se scrie ecuatia sa pentru un gaz perfect, sa se scrie expresia indicelui politropic si sa se identifice pentru n=0, n=1, n= si n= tipul procesului particular si valoarea capacitatii calorice a sistemului termodinamic in procesul particular.

Raspuns

Se numesc procese politrope, acele procese termodinamice in care schimbul elementar de caldura , in care capacitatea calorica C a sistemului in proces are valoare constanta. Ecuatia procesului politrop pentru un gaz perfect: =constant

Indicele politropic:

Cazuri particulare

n=0 p=const (proces izobar) C=C_p

n=1 T=const (proces izoterm) C=

n= S=const (proces adiabatic sau izentrop) C=0

n= V=const (proces izocor) C=C_V

2. Scrieti ecuatia diferentiala Clausius-Clapeyron a tranzitiilor de faza de speta I, in functie de saltul entropiei si in functie de caldura molara de tranzitie. Discutati variatia relativa a presiunii si temperaturii de tranzitie la caldura molara de tranzitie pozitiva, la cresterea si micsorarea volumului molar.

Raspuns

Ecuatia Clausius-Clapeyron este:

unde p - presiunea

T- temperatura

- entropiile molare ale celor doua faze

- volumele molare ale celor doua faze

Caldura molara de tranzitie este:

Astfel     

Pentru (tranzitie cu absorbtie de caldura)

cand - temperatura de tranzitie creste la cresterea presiunii (de exemplu evaporarea unui lichid)

cand - temperature de tranzitie scade la cresterea presiunii (de exemplu topirea ghetii)

Sa se scrie ecuatia Ven der Waals pentru un kmol de gaz real si ecuatia de stare pentru un kmol de gaz perfect, specificand corectiile aduse ecuatiei de stare a gazului perfect, in cazul gazului real.

Raspuns

Ecuatia Van der Waals:

Ecuatia de stare a gazului perfect : pV=RT

b - corectia de volum (covolumul), care este de patru ori volumul propriu al moleculelor dintr-un kmol

- corectia de presiune (presiunea interna), care se datoreste fortelor de atractie intre molecule gazului si care se scade din presiunea pe care ar exercita-o gazul in absenta acestor forte.

4. Ce reprezinta formula barometrica, care este expresia sa si care sunt semnificatiile marimilor care intervin in aceasta formula?

Rezolvare

Formula barometrica arata ca presiunea in fluidele compresibile aflate in campul gravitational si pot fi considerate gaze perfecte, scade exponential cu inaltimea.

sau

Inaltimea Z=0 corespunde nivelului marii la care presiunea este p₀, iar densitatea aerului (gaz perfect), este , g este acceleratia gravitationala, este masa molara a gazului perfect (aer), R este constanta universala a gazului perfect, iar T este temperatura absoluta.

Disciplina D3: ELECTRICITATE SI MAGNETISM

Potentialul electric si intensitatea campului electric creat de un dipol electric

Solutie

Se considera un dipol electric format din 2 sarcini electrice punctiforme egale si de semne contrare (-q si +q) plasate in vid, astfel incat vectorul de pozitie al sarcinii pozitive in raport cu cea negativa este (vezi Fig.1). Momentul electric dipolar este .

Fig. 1

Aplicand principiul superpozitiei gasim potentialul electric al campului rezultant creat de sistemul celor doua sarcini:

Pentru cazul d<<r, sunt valabile urmatoarele aproximatii (vezi figura):

care conduc la expresia

care se mai poate scrie si astfel :

2⁰) Intensitatea campului electrostatic se va calcula cu formula :

Folosind relatiile (usor de verificat) :

obtinem in final:

SUBIECTUL 2 Montajul Poggendorf

Solutie:

Avand la dispozitie o punte cu fir de lungime l si trei elemente galvanice de tensiuni electromotoare e₁, e₂ si e₃(necunoscuta), doua rezistente R₁ si R₂ si un galvanometru, Poggendorf a realizat un montaj de tipul celui prezentat in Fig. 2, in ramurile cu surse plasandu-se initial primele 2 elemente galvanice e si e

Se aplica prima lege a lui Kirchhoff in nodul A:

(1)

Se adauga la aceasta prima relatie intre curenti alte doua ecuatii care rezulta din aplicarea celei de-a doua legi a lui Kirchhoff ochiurilor de retea ABR₁A si ABR₂A:

(2)

Pentru o anumita pozitie a cursorului C se va inregistra pe ramura cu galvanometru un curent nul (). Din prima lege a lui Kirchhoff rezulta:

Fig.2

Sistemul de ecuatii (2) devine:

Obtinem:

Rezistenta necunoscuta R₁ se poate elimina daca se inlocuieste e cu e si se modifica din nou pozitia cursorului C, care va delimita pe rezistenta R⁰ alte doua rezistente, notate cu si , incat galvnometru sa indice din nou zero.

Obtinem:

Deoarece

rezulta:

fiind lungimile portiunilor de fir din partea dreapta a cursorului, corespunzatoare unui curent nul prin galvanometru, la introducerea pe rand in montaj a celor 2 elemente galvanice de tensiuni electromotoare, e respectiv, e

SUBIECTUL 3- Teorema lui Ampere aplicata unei bobine toroidale

Solutie :

Se considera o bobina toroidala constituita din N spire parcurse de curentul constant I, infasurate uniform pe un miez de forma unui tor cu axa de revolutie Oz. Se va calcula inductia magnetica pentru urmatoarele puncte:

a) din interiorul torului; b) din exteriorul torului.

Fig.3.17

Remarcam ca orice plan ce contine axa Oz este un plan de simetrie pentru distributia de curenti.

Asadar in punctul M, vectorul este perpendicular pe planul care contine axa Oz si trece prin punctul M (vezi Fig.3).

Liniile de camp sunt prin urmare cercuri cu centrul pe axa Oz. #n plus, datorita simetriei de revolutie, modulul lui este constant in orice punct situat pe o anumita linie de camp.

Teorema lui Ampre aplicata unui astfel de contur, de raza r, conduce la urmatoarele rezultate :

a) pentru cercuri interioare torului, avem :

de unde

rezultat care este independent de forma sectiunii torului ;

b) pentru puncte din exteriorul torului obtinem valoarea zero pentru inductia magnetica, deoarece suma totala a curentilor ce strabat suprafata marginita de contur este zero (numarul curentilor care intra este identic cu cel al curentilor care ies si egal cu numarul de spire, N) :

Subiectul 4: Puntea Maxwell aplicatie la curent alternativ

Solutie

Un aranjament experimental de tipul celui din Fig.7.5 constituie puntea lui Maxwell: ramurile 1 si 3 contin rezistente pure, ramura 2 contine un condensator de capacitate C, suntat de o rezistenta R₂, iar ramura 4 contine o bobina care poseda o rezistenta R₄ si o inductanta L. Sa se arate ca echilibrul puntii se obtine independent de valoarea frecventei curentului de alimentare.

Conditia de echilibru pentru punte se scrie:

unde

Rezulta:

Fig. 4 - Puntea Maxwell

Se egaleaza partile reale intre ele si partile imaginare intre ele, obtinandu-se:

Se observa ca in ultima relatie nu apare frecventa curentului; relatia permite determinarea, la echilibrul puntii, a inductantei necunoscute L daca se cunosc capacitatea de pe ramura 2 si rezistentele R₁ si R₃.

Disciplina D4: OPTICA si FIZICA ATOMULUI SI MOLECULEI

-OPTICA

A.

Fie dispozitivul interferential "Oglinzile lui Fresnel".

Desenati si explicati modul in care se obtine interferenta in acest dispozitiv si dispozitia zonei de interferenta.

Care este valoarea distantei dintre sursele virtuale S₁ si S ₂ (imagini virtuale in oglinzile plane O₁ si O₂ ) ale sursei reale S, daca unghiul dintre cele doua oglinzi plane este de 5' si distanta de la sursa S la muchia comuna a celor doua oglinzi este de 1m .

Care este valoarea interfranjei , obtinuta in acest caz pe ecranul de observare a franjelor de interferenta.Distanta de la muchia comuna a oglinzilor la ecranul pe care se obtine interferenta este de D= 1m. radiatia luminoasa utilizata in dispozitiv are lungimea de unda egala cu 5000A .

B.

Fie reflexia unei raze de lumina, polarizata TE, care cade sub un unghi de incidenta θ=30⁰, pe o suprafata de separare a doua medii, omogene si izotrope din punct de vedere optic. Indicele de refractie al celui de al doilea mediu in raport cu primul mediu (din care vine lumina) este n=o,75.

Calculati valoarea coeficientului de reflexie si refrectanta in cazul TE,reprezentati grafic r=f (q ),in general.

Calculati valoarea coeficientului de reflexie si reflectanta pentru. q=30⁰ si q=0⁰ Ce valoare are unghiul limita corespunzator celor doua medii optice ?

Figurati acesti coeficienti de reflexie si reflectantele corespunzatoare pe graficul teoretic de la punctul 1.

Raspunsuri

A.

1. Unul dintre cele mai importante fenomene care se studiaza in cadrul opticii ondulatorii este fenomenul de interferenta. Teoria interferentei optice se bazeaza in esenta pe un principiu de o deosebita valoare in fizica - pe principiul superpozitiei liniare.

In optica electromagnetica acest principiu se refera la suprapunerea (superpozitia) campurilor electromagnetice.

In conformitate cu principiul superpozitiei, campul electric produs intr-un punct din spatiu de actiunea simultana a mai multor surse este suma vectoriala a campurilor ) produse in acel punct de actiunea individuala a surselor i (actionand separat). Astfel

(1)

Un principiu similar este valabil si pentru componentele magnetice ale undelor dar, in optica, datorita micimii lor, efectele determinate de componentele magnetice nu se iau in considerare.Principiul superpozitiei este riguros valabil cand avem de-a face cu campuri electromagnetice in vid. .Presupunand principiul superpozitiei liniare valabil, sa consideram doua unde plane monocromatice (armonice), liniar polarizate, de pulsatii .

Fie

(2)

si

(3)

campurile electrice ale acestora. In (1.2) si (1.3) marimile si sunt fazele initiale (la t=0) in primul caracterizat de . Ele au fost introduse in aceste expresii pentru a permite aprioric o diferenta de faza arbitrara intre sursele celor doua campuri. Daca diferenta este o marime constanta se spune ca cele doua surse sunt mutual coerente. In caz contrar sursele nu sunt coerente.

Prin suprapunerea campurilor (2) si (3) obtinem

Este cunoscut faptul ca intr-un punct din spatiu intensitatea radiatiei (luminoase) este proportionala cu . Lasand la o parte factorul de proportionalitate (nesemnificativ) pentru discutia pe care o dam) vom putea scrie

(5)

unde

(6)

Notand si , (5) devine (7)

si fiind intensitatile in punctul considerat daca acolo ar sosi doar unda (2) respectiv (3).

Relatia (7) ne arata ca, atunci cand superpozitia este prezenta, intensitatea I poate fi mai mare sau mai mica decat dupa cum termenul este pozitiv sau negativ. In cazul cand este zero avem

Termenul care "controleaza" valoarea lui I se numeste termen de interferenta. El este nul cand adica atunci cand undele care participa la superpozitie sunt polarizate pe doua directii reciproc perpendiculare.

Presupunand ca nu suntem intr-o astfel de situatie, observam ca comportarea termenului de interferenta este determinata de prin factorul oscilant . Din (6) insa observam ca depinde de . Aceasta inseamna ca I va fi o functie cu variatii spatiale periodice. Aceste variatii sunt ceea ce numim in mod uzual franje de interferenta.Daca sursele celor doua unde nu sunt mutual coerente (sunt mutual necoerente) diferenta care apare in expresia lui nu pastreaza o valoare constanta in timp; in general ea variaza intr-un mod haotic, arbitrar. Din aceasta cauza argumentul functiei cosinus variaza

arbitrar in timp si valoarea medie in timp a lui este zero. In acest caz in orice punct din spatiu si franjele de interferenta nu apar.

Acesta este motivul pentru care suprapunerea a doua unde provenind din surse luminoase obisnuite (exemplu 2 lumanari, 2 becuri, etc.).

Inainte de a incheia aceste discutii preliminare vom observa ca punctele din spatiu in care I are valori constante satisfac conditia

(8)

Daca = const. avem conditia .

Pentru valori diferite ale constantei din membrul drept al relatiei (8) avem valori diferite ale lui I. Atunci cand , valoarea minima. (Aceste afirmatii sunt valabile pentru ; in caz contrar, situatia se inverseaza).

Doua oglinzi plane asezate in asa fel incat unghiul lor diedru sa fie aproape (reprezentate ca in figura care reprezinta Oglinzile lui Fresnel de mai jos). Izvorul luminos S este, de obicei o fanta filiforma paralela cu muchia comuna M. Izvoarele coerente si care genereaza interferenta sunt imaginile lui S in cele doua oglinzi.

Deoarece oglinzile sunt aproape in prelungire (una celeilalte), imaginile si sunt foarte apropiate (fig.1). Franjele de interferenta se pot prinde pe un ecran E asezat paralel cu muchia M. In acest fel, franjele vor fi si ele paralele cu muchia M comuna celor doua oglinzi. Schema de principiu este redata in figura de mai sus.

2. Raspuns

sinα =l/S₁ M deci 2l≈2α SM caci S₁ M=SM

Distanta dintre sursele virtuale este deci 2l=2,9mm

3. Raspuns

interfranja este egala cu i= ( D+rcosα)/2l , deoarece dispozitivul este tip Young

Deci i=0,17mm

Observatie

Unghiul α fiind foarte mic se fac aproximatiile: sinα≈α si cosα≈1:

B.

1. Introducem marimile - amplitudinile campului electric pentru undele incidenta, reflectata si respectiv refractata.

Fie - amplitudinile corespunzatoare ale campurilor magnetice atasate.

Considerand ca cele doua medii sunt nemagnetice, vom putea scrie

(1)

(2)

(3)

Dependenta spatio-temporala a fost presupusa comuna pentru campurile electric si magnetic si din aceasta cauza, in relatiile (1) - (3) ea a fost abandonata.

Cazul transversal-electric (TE): campul electric al undei incidente este perpendicular pe planul de incidenta (fig.1A).

In fig. 1 se prezinta pozitiile instantanee ale vectorilor camp electric si magnetic in undele incidenta, reflectata si refractata, in cele doua cazuri TE si TM.

Studiul cazului TE

Folosind continuitatea componentelor tangentiale ale campurilor, in conformitate cu situatia instantanee aleasa in fig.1A, putem scrie

(4)

(5)

Relatia (5) se poate transcrie cu ajutorul relatiilor (3.1)-(3.3) si avem

(6)

Relatiile (4) si (6) formeaza un sistem algebric din care putem determina marimile relative si . Printr-un calcul simplu obtinem

(7)

(8)

n fiind raportul .

Tinand cont de faptul ca , mai putem scrie

(9) (10)

(11) (12)

Pentru descrierea reflexiei se foloseste frecvent marimea numita reflectanta.

Studiul relatiilor (7)-(12), relatiile lui Fresnel, ne conduc la reprezentarile grafice din fig.2.

	Fig.2a si b

In cazul cand exista un unghi (unghi critic) astfel incat pentru avem de-a face cu reflexie totala.

Pentru a vedea cat este vom scrie ca si vom obtine .

Pentru , scriind relatia (11) sub forma

(11')

si calculand vom obtine valoarea 1 independent de . Aceasta demonstreaza ca in acest caz, intr-adevar se obtine reflexia totala.

2

Deci dupa inlocuiri obtinem

r(q=30⁰ ) =0,215 si R(q=30⁰ ) =0,045 r( q=0⁰) =0,14 si R(q=0⁰ ) =0,0196

3.

Se vor figura punctele pe grafic; r=f(q) si R=f(q) , pentru cazul TE punctele A, B, C, si D de coordonate

A(q=30⁰,r =0,215) si B(q=30⁰,R =0,045) si C(q=0⁰, r =0,14) si D(q=0⁰,R =0,0196).

- FIZICA ATOMULUI SI MOLECULEI

Stiind ca reprezinta numarul de unde electromagnetice stationare, din unitatea de volum a incintei, cu frecventele cuprinse in intervalul (ν, ν +d ν), deduceti formula lui Planck.

Rezolvare: Planck postuleaza ca energia E_n a unui oscilator armonic liniar, microscopic, de frecventa ν este un multiplu intreg al unei valori date , numita cuanta de energie:

, n=0, 1, 2, 3. (1)

Presupunand o distributie boltzmanniana a energiei oscilatorilor, valoarea medie a energiei unui oscilator are forma:

(2)

Notand si folosind relatia (1), expresia (2) devine:

(3)

Inlocuind pe cu 1/KT, din relatia (3) rezulta:

(4)

Planck obtine urmatoarea expresie pentru densitatea spectrala volumica de energie:

(5)

Pentru ca formula (5) sa fie in concordanta cu datele experimentale trebuie ca . Prin urmare, trebuie sa fie o functie crescatoare de frecventa. Planck a considerat (6)

unde este constanta lui Planck.

Ipoteza lui Planck (1) conform careia energia unui oscilator armonic liniar microscopic este cuantificata: , n=0,1,2,3. (7)

arata ca energia oscilatorului variaza discret cu frecventa.

Din relatiile (6) si (5) deducem formula lui Planck:

(8)

Deduceti, in cadrul teoriei atomice a lui Bohr, expresiile razelor, vitezelor si energiilor corespunzatoare ionilor hidrogenoizi (cazul nucleului infinit greu).

Rezolvare: Deoarece masa M a nucleului este mult mai mare decat masa m a electronului se poate considera ca nucleul este infinit greu in raport cu electronul. Nucleul se considera in repaus, situat in originea sistemului de coordonate. Electronul se va misca in jurul nucleului pe o traiectorie circulara de raza r, cu viteza v. Am notat +Ze sarcina nucleului si cu -e sarcina electronului. Conditia de stabilitate a electronului pe orbita circulara este:

(1)

unde este forta coulombiana de interactie electron-nucleu iar este forta centrifuga.

Relatia (1) conduce la egalitatea:

(2)

Conditia de cuantificare a momentului cinetic este:

L=mvr=nћ, n=1, 2, 3, . (3)

Relatiile (2) si (3) constituie un sistem de ecuatii cu necunoscutele r si v.

Din (3) obtinem v= nћ/mr. (4)

Introducand aceasta expresie a lui v in (2) obtinem razele orbitelor Bohr pentru ionii hidrogenoizi:

, n=1, 2, 3, . (5)

unde reprezinta raza primei orbite Bohr in atomul de hidrogen.

Relatia (5) arata ca razele orbitelor Bohr sunt cuantificate si sunt proportionale cu n² si invers proportionale cu Z.

Introducand (5) in (4) se obtin vitezele electronului pe orbitele Bohr:

, (6)

unde este viteza electronului pe prima orbita Bohr in atomul de hidrogen.

Observam ca viteza electronului in atom este cuantificata si este proportionala cu Z si invers proportionala cu n.

Energia totala (E) a ionului hidrogenoid este data de suma energiei cinetice a electronului si energia potentiala de interactie coulombiana electron-nucleu:

(7)

Introducand (5) in (7) obtinem: (8)

unde este energia atomului de hidrogen in starea fundamentala (n=1).

Din (8) rezulta ca energia este negativa (stari legate), este cuantificata si este proportionala cu Z² si invers proportionala cu n².

Disciplina D5: MECANICA TEORETICA

1. Sa se scrie ecuatiile lui Newton in prezenta legaturilor si sa se arate ca acestea pot fi obtinute dintr-un principiu variational. Sa se reformuleze ultimul principiu variational in coordonate generalizate si sa se deduca ecuatiile corespunzatoare.

2. Sa se enunte si sa se demonstreze teorema Noether pentru sisteme cu numar finit de grade de libertate.

3. Sa se enunte si sa se demonstreze teorema Poisson referitoare la integralele prime Hamiltoniene.

4. Sa se scrie ecuatia Hamilton-Jacobi si sa se defineasca notiunea de integrala completa. Sa se enunte si sa se demonstreze teorema Jacobi referitoare la ecuatia Hamilton-Jacobi.

Disciplina D6: ELECTRODINAMICA

Subiectul 1: Se considera o particula relativista libera cu masa de repaus ce se deplaseaza cu viteza . Sa se defineasca si sa se calculeze efectiv impulsul, masa si energia particulei pornind de la expresia functiei Lagrange care descrie acest sistem.

Solutie:

Impulsul generalizat al particule libere se defineste prin relatia:

Tinand cont de expresia Lagrangeanului, , obtinem:

Daca luam in calcul definitia generala , vom putea identifica masa de miscare a particulei:

Masa particulei depinde de viteza.

Energia particulei este data de relatia:

Adica:

Relatia anterioara exprima echivalenta dintre masa si energia particulei.

Subiectul 2:

Sa se enunte legea inductiei electromagnetice si sa se verifice prin calcul direct validitatea formei ei diferentiale, pe baza definitiilor intensitatii campului electric si inductiei magnetice in functie de potentialele vector si scalar .

Solutie:

Legea inductiei electromagnetice afirma ca un flux magnetic variabil genereaza in jurul sau o tensiune electromagnetica egala si de semn opus cu viteza de variatie a fluxului magnetic. Sub forma diferentiala legea se poate exprima prin relatia:

Intensitatea campului electric si inductia magnetica se definesc in functie de potentialele vector si scalar prin relatiile:

Utilizam definitiile anterioare pentru si , tinand in plus cont ca . In aceste conditii relatia matematica pentru legea inductiei devine identitate.

Subiectul 3:

Sa se scrie ecuatiile Maxwell in vid, sa se precizeze semnificatia fizica a fiecareia dintre ele si sa se deduca apoi ecuatia de continuitate pentru sarcina electrica:

Solutie:

Sub forma diferentiala, cele patru ecuatii Maxwell scrise pentru vid au expresiile:

legea fluxului electric (teorema lui Gauss):

legea fluxului magnetic:

legea inductiei electromagnetice:

legea circuitala a lui Ampere:

Din prima si ultima ecuatie se deduce legea continuitatii sarcinii electrice:

Subiectul 4: Sa se scrie forma analitica a unei unde plane monocromatice si sa se verifice ca forma respectiva verifica ecuatia diferentiala a undelor.

Solutie:

Deducerea ecuatiei diferentiale a undelor electromagnetice presupune rezolvarea ecuatiilor Maxwell in absenta "surselor care genereaza campul electromagnetic: . Din punct de vedere matematic suntem condusi la o ecuatie diferentiala de ordin II, de tip D'Alembert:

□

Aceasta ecuatie este ecuatia diferentiala a undelor electromagnetice. Marimea scalara u din relatia anterioara poate reprezenta potentialul scalar sau oricare din componentele vectorilor .

Se numeste unda electromagnetica plana, ce se propaga pe o directie Ox, o unda ale carei marimi specifice nu depind decat de timp si de coordonata x corespunzatoare directiei de propagare. Pentru o unda plana, ce se propaga in sensul pozitiv al axei Ox, potentialul vector, , are componentele:

Prin calcul direct se poate verifica faptul ca, spre exemplu, componenta a acestui potential satisface ecuatia:

Disciplina D7: TERMODINAMICA SI FIZICA STATISTICA

1 Postulatele formularii neogibbsiene a termodinamicii de echilibru

PI Exista stari macroscopice particulare ale sistemelor macroscopice, numite stari de echilibru termodinamic, care sunt parametrizate complet de functiile extensive unde este energia interna iar sunt parametri extensivi mecanici ale caror variatii descriu cele interactii mecanice distincte la care pot participa sistemele considerate.

PII Pentru orice sistem cu stari de echilibru termodinamic, se poate defini, pe multimea acestor stari, o functie numita entropie, , care are urmatoarele proprietati:

(i) este functie uniforma, continua si diferentiabila pe multimea starilor de echilibru si deci si in raport cu parametrii de stare

(ii) este functie omogena de ordinul intai in sens Euler in raport cu parametrii de stare , adica satisface proprietatea

(iii) dupa ridicarea uneia sau mai multor constrangeri interne care mentineau sistemul intr-o stare de echilibru partial (impiedicat), sistemul evolueaza spre starea de echilibru termodinamic care corespunde entropiei maxime pe multimea starilor de echilibru compatibile cu constrangerile ramase;

(iv) se anuleaza in starea in care se anuleaza marimea

Comentarii

- Numarul interactiilor mecanice distincte la care poate participa un sistem, precum si natura parametrilor extensivi specifici, depind de natura sistemului si se identifica pe cale empirica.

Interactia termica este universala pentru sistemele termodinamice, adica orice sistem termodinamic participa la interactia termica, astfel ca sistemul considerat participa la interactii distincte.

- PII i) este impusa de constatarea ca in absenta acestei proprietati nu s-ar putea dezvolta sistemul deductiv al termodinamicii de echilibru si nu s-ar putea explica proprietatile termodinamice observate experimental.

- PII ii) descrie caracterul extensiv simplu al entropiei, ca functie reala definita pe multimea starilor de echilibru, deci ca functie de stare.

- PII iii) exprima principiul entropiei maxime care este un principiu variational esential in constructia sistemului deductiv al termodinamicii, permitand rezolvarea problemei fundamentale a termodinamicii de echilibru, care consta in determinarea starii de echilibru intr-un sistem complet izolat dupa ridicarea unor constrangeri interne care il mentineau intr-o stare de echilibru partial (impiedicat).

- PII iv) exprima principiul al treilea al termodinamicii in formularea Planck, care postuleaza anularea entropiei pe starea din limita anularii temperaturii termodinamice, deoarece .

- Ecuatia contine toata informatia privind proprietatile termodinamice ale sistemului considerat si se numeste ecuatia fundamentala a termodinamicii de echilibru in formularea entropica. Similar, ecuatia echivalenta cu aceasta, care expliciteaza , , se numeste ecuatia fundamentala in reprezentarea energetica.

Completari ajutatoare optionale.

Derivatele ecuatiilor fundamentale in raport cu parametrii extensivi de care depind definesc parametrii intensivi conjugati cu acestia in cele doua reprezentari. Pentru parametrii intensivi entropici folosim notatiile

(1)

iar pentru parametrii intensivi energetici folosim notatiile

(2)

Se poate justifica simplu ca , ca sunt parametrii de 'forta' din exprimarea lucrului mecanic diferential

(3)

si ca sunt satisfacute relatiile đ

(4)

Apelam la forma diferentiala a principiilor I si II din formularile factuale (pentru procese reversibile)

(5)

si obtinem o ecuatie de sinteza care se identifica cu diferentiala ecuatiei fundamentale in reprezentarea energetica

(6)

astfel ca rezulta

(7)

(8)

Similar, exprimand acum din ultima egalitate (6) si identificand-o cu , , , se obtin relatiile

(9)

care conduc la ecuatiile (4).

2 Potentiale termodinamice (pentru sisteme simple): potentialul Helmholtz, potentialul macrocanonic

Prin definitie, sistemele simple au doar doua interactii mecanice distincte, realizate prin schimb de volum () si schimb de substanta (). Ecuatia fundamentala in reprezentarea energetica

(10)

devine

deci diferentiala energiei interne este

(11)

unde am folosit identificarile

(12)

pentru parametrii intensivi energetici conjugati cu respectiv .

Pentru a obtine ecuatii fundamentale in reprezentarea potentialelor termodinamice, prin substituirea unora dintre parametrii extensivi cu parametrii intensivi energetici conjugati, efectuam transformarea Legendre a ecuatiei fundamentale (10) in raport cu parametrii intensivi conjugati cu cei extensivi ce urmeaza sa fie eliminati.

Potentialul Helmholtz () este transformata Legendre a energiei interne in raport cu (temperatura termodinamica):

(13)

Folosind exprimarea (11) a lui se obtine succesiv

(14)

Din ultima relatie rezulta

(15)

Din relatiile (14) si (15) rezulta ecuatiile de stare in reprezentarea potentialului Helmholtz

(16)

Egalitatile Schwarz pentru derivatele de ordinul al doilea ale lui F conduc la relatiile lui Maxwell in reprezentarea F.

Potentialul macrocanonic () este transformata Legendre a energiei interne in raport cu si

(17)

Din (11) si (17) rezulta

(18)

Din ultima relatie observam ca

(19)

deci

(20)

Din (18) si (20) obtinem ecuatiile de stare in reprezentarea potentialului macrocanonic

(21)

Folosind ecuatia Euler

(22)

obtinem

(23)

de unde deducem ecuatia de stare

(24)

adica

(25)

Ultima relatie permite determinarea directa a presiunii ca functie de atunci cand este cunoscut intr-o forma in care nu se evidentiaza .

Egalitatile Schwarz pentru derivatele de ordinul al doilea ale lui F conduc la relatiile lui Maxwell in reprezentarea .

3 Ansamblul statistic macrocanonic cuantic pentru sisteme de particule identice: statistica Bose-Einstein

Statistica Bose-Einstein este descrisa de ansamblul macrocanonic cuantic pentru sisteme de bosoni identici. Bosonii sunt particule cu ponderi de spin numere intregi nenegative, .

In cazul ansamblului macrocanonic cuantic pentru sisteme de particule identice, in reprezentarea energie-numere de ocupare, suma de stare macrocanonica se factorizeaza sub forma

(26)

unde

(27)

In relatiile de mai sus, noteaza starile uniparticula iar si - energia si numarul de ocupare pentru starea . si sunt temperatura, respectiv potentialul chimic pentru rezervorul de caldura si particule cu care se afla in contact sistemele ansamblului. este contributia multiplicativa a starii uniparticula la suma de stare; suma din exprimarea lui se efectueaza dupa toate valorile posibile ale numarului de ocupare pentru starea .

In cazul sistemelor de bosoni identici din ansamblul macrocanonic, numarul de ocupare pentru orice stare uniparticula poate lua toate valorile naturale astfel ca din (27) se obtine o contributie sub forma sumei unei progresii geometrice cu ratia , suma care (pentru o ratie subunitara) are valoarea

(28)

Termodinamica statistica se construieste deductiv in reprezentarea potentialului macrocanonic care este determinat de suma de stare macrocanonica prin relatia

(29)

astfel ca in cazul sistemelor de particule identice rezulta

sau, echivalent

(30)

In relatiile anterioare, este contributia aditiva a starii uniparticula la potentialul macrocanonic si, in cazul bosonilor, folosind relatia (28) se obtine

(31)

Structura aditiva a lui se propaga in ecuatiile de stare din reprezentarea potentialului macrocanonic pentru care se obtin exprimarile:

(32)

(33)

Relatia (33) exprima faptul ca

(34)

Media numarului de ocupare a unei stari uniparticula bosonice defineste functia de distributie Bose-Einstein, . Folosind relatiile (31) si (34) se obtine

(35)

Similar, se poate determina entropia, pe baza relatiei

(36)

4 Ansamblul statistic macrocanonic cuantic pentru sisteme de particule identice: statistica Fermi-Dirac

Statistica Fermi-Dirac este descrisa de ansamblul macrocanonic cuantic pentru sisteme de fermioni identici. Fermionii sunt particule cu ponderi de spin numere semiintregi pozitive, .

In cazul ansamblului macrocanonic cuantic pentru sisteme de particule identice, in reprezentarea energie-numere de ocupare, suma de stare macrocanonica se factorizeaza sub forma

(37)

In relatiile de mai sus, noteaza starile uniparticula iar si -energia si numarul de ocupare pentru starea . si sunt temperatura, respectiv potentialul chimic pentru rezervorul de caldura si particule cu care se afla in contact sistemele ansamblului. este contributia multiplicativa a starii uniparticula la suma de stare; suma din exprimarea lui se efectueaza dupa toate valorile posibile ale numarului de ocupare pentru starea .

In cazul sistemelor de fermioni identici din ansamblul macrocanonic, numarul de ocupare pentru orice stare uniparticula poate lua doar valorile astfel ca din (37) se obtine o contributie de forma

(38)

Termodinamica statistica se construieste deductiv in reprezentarea potentialului macrocanonic care este determinat de suma de stare macrocanonica prin relatia

(39)

astfel ca in cazul sistemelor de particule identice rezulta

sau, echivalent

(40)

In relatiile anterioare, este contributia aditiva a starii uniparticula la potentialul macrocanonic si, in cazul fermionilor, folosind relatia (38) se obtine

(41)

Structura aditiva a lui se propaga in ecuatiile de stare din reprezentarea potentialului macrocanonic pentru care se obtin exprimarile:

(42)

(43)

Relatia (43) exprima faptul ca

(44)

Media numarului de ocupare a unei stari uniparticula fermionice defineste functia de distributie Fermi-Dirac, . Folosind relatiile (41) si (44) se obtine

(45)

Similar, se poate determina entropia, pe baza relatiei

(46)

Completari ajutatoare optionale la subiectele 3 si 4

In asamblul macrocanonic, probabilitatile pentru starile microscopice multiparticula ale unui sistem cu N particule, au exprimarea

(47)

unde T si sunt temperatura, respectiv potentialul chimic pentru rezervorul de caldura si particule cu care se afla in contact de echilibru sistemele din ansamblul macrocanonic.

In reprezentarea energie-numere de ocupare avem exprimarile

(48)

unde s noteaza starile uniparticula iar , respectiv sunt energia respectiv numarul de ocupare al starii uniparticula s. Probabilitatile (47) devin probabilitatile pentru configuratiile ale numerelor de ocupare pentru toate starile uniparticula si anume

(49)

Din conditia de normare rezulta exprimarea sumei de stare macrocanonice

(50)

unde

(51)

astfel ca probabilitatile se rescriu sub forma

(52)

unde reprezinta probabilitatea ca starea uniparticula s sa fie ocupata cu particule.

Disciplina D8: MECANICA CUANTICA

1. Principiile de descriere ale mecanicii cuantice:

a) Principiul I (descrierea starilor)

b) Principiul al II-lea (descrierea observabilelor)

a)      Principiul I: Starea oricarui sistem cuantic, la un moment dat, este descrisa de un sistem cel mult numarabil , in care sunt vectori normati [] dintr-un spatiu Hilbert separabil asociat sistemului cuantic, iar sunt numere pozitive [numite ponderi asociate vectorilor ] care satisfac conditia de normare .

Comentarii

Spatiul Hilbert separabil asociat unui sistem cuantic se numeste spatiul starilor pentru acel sistem.

O stare se numeste pura daca este descrisa de un singur vector normat , caz in care ponderea asociata este egala cu unitatea . [Tinand cont si de celelalte principii, rezulta ca toti vectorii din raza unitara asociata lui , descriu aceeasi stare pura.]

O stare care nu este pura se numeste mixta, deci o stare mixta este descrisa de cel putin doi vectori normati si cel putin doua ponderi pozitive subunitare avand suma egala cu unitatea.

b) Principiul al II-lea

PII 1. Orice observabila a unui sistem cuantic este descrisa printr-un operator autoadjunct care are domeniul si codomeniul in spatiul Hilbert al starilor.

PII 2a) In cazul unui sistem de particule punctiforme, coordonatelor carteziene [in care indicii latini sunt indici uniparticula iar cei grecesti sunt indici cartezieni] si impulsurilor conjugate cu acestea, , li se asociaza operatorii si respectiv care satisfac comutatorii canonici definiti prin relatiile

si obtinuti din asa-zisa regula de cuantificare canonica care consta in substituirea parantezelor Poisson fundamentale cu produsul dintre si comutatori, simultan cu inlocuirea variabilelor clasice cu operatori si a constantelor cu operatorul , unde este operatorul identitate.

PII 2b) Unei observabile cu corespondent clasic ii corespunde un operator obtinut prin substituirea variabilelor canonice si cu operatorii si respectiv , in simbolul observabilei care reprezinta expresia clasica a acesteia in care sunt simetrizate produsele ce contin factori carora li se asociaza operatori necomutativi.

2. Principiul al III-lea (interpretarea statistica a experientelor de masurare a observabilelor). Mediile observabilelor

Principiul al III-lea

PIII 1) Valorile spectrale ale operatorului care descrie o observabila A, sunt singurele valori pe care le poate lua observabila in experientele concepute pentru masurarea acesteia.

PIII 2) Daca in momentul masurarii observabilei A starea sistemului este descrisa de vectorii si ponderile , atunci probabilitatea ca la masurare sa se obtina valoarea din spectrul discret al operatorului [], este

[undeeste proiectorulortogonal pe subspatiul propriu asociat valorii spectrale ], iar densitatea de probabilitate in punctul caruia ii corespunde valoarea spectrala din spectrul continuu al lui [], este [undeeste proiectorul ortogonal in sens generalizat asociat punctului .

Comentarii:

In cazul unei stari pure expresiile anterioare devin , , astfel ca si deci putem interpreta ponderile drept probabilitati cu care se realizeaza starile pure in cadrul starii mixte .

Mediile observabilelor

Substituind probabilitatile si densitatile din PIII in exprimarea statistica a mediei (pe ansamblul statistic) a observabilei , se obtine succesiv

deoarece acolada contine reprezentarea spectrala a operatorului. Media observabilei pe starea mixta este suma produselor dintre ponderile si mediile observabilei asociate starilor pure din descrierea starii mixte.

3. Principiul al IV-lea (legea de evolutie). Principiul al V-lea (influenta experientelor de masurare a observabilelor asupra starii)-cazul starii pure.

Principiul al IV-lea

Orice sistem admite o observabila numita energie, posibil dependenta de timp, careia I se asociaza un operator , de asemenea posibil dependent de timp, numit Hamiltonian si notat cu , care determina evolutia momentana a starii dupa legea

(Ecuatia de mai sus se numeste ecuatia Schrodinger generalizata)

Principiul al V-lea-cazul starilor pure

PV1) Daca in urma masurarii observabilei pe starea pura se obtine valoarea din spectrul discret al lui , atunci starea sistemului imediat dupa masurare este descrisa de proiectia normata a vectorului pe subspatiul propriu , adica de vectorul

unde este proiectorul ortogonal pe subspatiul .

PV2) Daca in urma masurarii observabilei pe starea pura , cu un aparat cu selectivitate in scara parametrului , se obtine valoarea spectrala din spectrul continuu al lui , atunci starea sistemului imediat dupa masurare este descrisa de vectorul

unde este proiectorul ortogonal pe subspatiul asociat intervalului spectral [din spectrul continuu al lui ] corespunzator intervalului din intervalul total al parametrului ..

4. Teoria cuantica a momentului cinetic:

a) Algebra operatorilor moment cinetic;

b) Actiunea operatorilor moment cinetic asupra bazei standard a unui spatiu ireductibil

4a) Algebra operatorilor moment cinetic

O observabila de tip moment cinetic este descrisa , prin definitie, de un operator vectorial ale carui componente , , , asociate axelor unui sistem cartezian , satisfac urmatoarea algebra de comutatori

Baza se numeste baza carteziana a algebrei moment cinetic. Comutatorii postulati extind algebra operatorilor moment cinetic orbital , la orice observabila de tip moment cinetic, cu sau fara corespondent clasic.

Algebra momentului cinetic implica comutarea operatorului cu toate componentele , , si deci cu orice combinatie a acestora.

In determinarea spectrului operatorilor moment cinetic si a actiunii acestora, o alta baza utila este baza formata din operatorii .

Din algebra anterioara se deduc comutatorii care definesc algebra momentului cinetic in noua baza

4b) Actiunea operatorilor moment cinetic asupra bazei standard a unui spatiu ireductibil

Prin definitie, un spatiu ireductibil este un spatiu invariant [fata de actiunea operatorilor moment cinetic] care nu admite subspatii invariante netriviale [adica diferite de subspatiul nul intins de vectorul nul, , si intregul spatiu ].

Un spatiu ireductibil este determinat pana la o echivalenta unitara, de ponderea de moment cinetic care poate lua doar valorile [adica doar valori semiintrgi pozitive si intregi nenegative].

Dimensiuna spatiului ireductibil de pondere este . Baza standard a unui spatiu ireductibil este o baza ortonormata formata din vectori proprii comuni pentru operatorii ; vectorii ei se noteaza cu [sau ] si satisfac ecuatiile de valori proprii

[ are o singura valoare proprie pe iar m ia 2j+1 valori nedegenerate, de la -j pana la j, in pasi egali cu unitatea.]

Actiunea operatorilor asupra bazei standard este exprimata de ecuatiile

[care arata ca are rolul unui operator de "ridicare" iar al unui operator de "coborare" pentru valorile proprii ale lui ].

Disciplina D9: FIZICA SOLIDULUI si SEMICONDUCTORILOR

Deduceti expresia numarului de vacante (defecte Schottky) si precizati semnificatia marimilor:

R:

n = numarul de vacante, N = numarul total de atomi din retea, E_V = energia necesara formarii unei vacante, K_B = constanta Boltzmann, T = temperature absoluta

Deduceti expresia relatiei de dispersie in cazul unidimensional al unei retele formata din N atomi identici cu masa m, separati intre ei printr-o distanta egala cu constanta retelei, precizati semnificatia termenilor si reprezentati grafic.

R:

,

,

intervalul fundamental de variatie a lui k = numar de unda; a = constanta retelei; = frecventa unghiulara

Precizati si definiti pe scurt aproximatiile folosite pentru studiul miscarii electronilor in reteaua cristalina.

R:

Aproximatia electronilor liberi se poate aplica metalelor deoarece

concentratia electronilor fiind foarte mare, se poate aproxima ca energia potentiala V() este o functie constanta, negativa neglijand astfel periodicitatea energiei potentiale in reteaua cristalina. Aceasta aproximatie a fost propusa in 1928 de Sommerfeld cu care a construit cel mai simplu model teoretic pentru explicarea proprietatilor metalelor

Aproximatia electronilor cvasiliberi. Se considera ca energia cinetica a

electronilor in cristal este mult mai mare decat energia potentiala. In acest caz, energia potentiala a electronilor in reteaua cristalina V() difera cu o mica cantitate fata de energia potentiala a electronilor liberi V_{0 ,} considerata ca o perturbatie la valoarea energiei potentiale. In acest caz se aplica metoda perturbatiilor si aceasta aproximatie se poate aplica electronilor de valenta

Aproximatia electronilor legati. Se considera ca energia potentiala este mult

mai mare decat energia cinetica a electronilor, ceea ce inseamna ca electronii sunt plasati in vecinatatea ionilor din reteaua cristalina. Aceasta aproximatie se aplica electronilor din semiconductori.

Definiti semiconductorii intrinseci, deduceti expresiile concentratiilor si prezentati clasificarea lor.

R:

Semiconductorii intrinseci au banda de valenta complet ocupata si banda de conductive complet libera la temperature de zero absolut. Electronii care se gasesc in vecinatatea marginii superioare a benzii de valenta vor fi excitati termic si trec in bandele de conductive. Ca urmare, in banda de conductie se vor afla electroni cu masa efectiva , iar banda de valenta va fi complet ocupata si va contine goluri cu masa . Deoarece atat electronii cat si golurile contribuie la conductia electrica ei se numesc purtatori de sarcina.

Semiconductorii intrinseci se clasifica in semiconductori degenerati si semiconductori nedegenerati.

Semiconductorii se numesc degenerati atunci cand nivelul Fermi se gaseste la marginea unei zone de conductie sau de valenta. In acest caz statistica electronilor si golurilor este cuantica.

Semiconductorii sunt nedegenarati atunci cand nivelul Fermi se gaseste in zona interzisa. Daca distanta energetica de la nivelul Fermi la marginea zonelor de conductie sau de valenta este cel putin egala cu 2k_BT, electronii sau golurile nu mai satisfac statistica Fermi-Dirac ci statistica clasica.