Cinematica solidului rigid

CINEMATICA SOLIDULUI RIGID

In capitolul anterior s-a aratat ca a studia miscarea unui punct inseamna a determina la orice moment t de timp , pozitia , viteza si acceleratia ale acestuia .

In cazul unui solid rigid , problema se pune analog , cu deosebirea ca este vorba de infinitatea p.m. care alcatuiesc solidul . la prima vedere , numarul necunoscutelor scalare pare foaret mare , dar ipoteza rigiditatii corpului reduce numarul necunoscutelor .

Presupunem un rigid (figura 1 ) a carui miscare este raportata la un sistem de referinta x₁O₁y₁z₁ . Daca se determina miscarea unui punct oarecare M al corpului , problema stadiului miscarii este rezolvata . Pozitia punctului M fata de sistemul de referinta fix este definit prin vectorul de pozitie .

(1)

			z

z1

z

M

y

			y

Pentru a preciza punctul M al rigidului trebuie sa definim pozitia lui fata de un sistem de referinta solidar legat de corp , de exemplu sistemul xOyz , avad originea intr-un punct O al corpului . Fata de acest sistem , punctul M nu-si schimba pozitia relativa , deci coordonatele lui x, y, z raman constante in timp .

Vectorul de pozitie este un vector cu modulul constant in timp si directie variabila .

(2)

Pozitia triedrului mobil fata de triedrul fix este definita prin vectorul al originii triedrului mobil si prin versorii ai axelor ; ; ai axelor Ox , Oy, Oz .

Intre cei trei vectori exista relatia :

(3)

In aceasta relatie apar ca functii derivabile in raport cu timpul (punctul O se deplaseaza odata cu corpul ) si versorii , , ai axelor sistemului de referinta solidar legat de corp (care isi modifica directiile odata cu miscarea solidului ) .

Observatie . Un vector functie de timp se exprima cu ajutorul a trei functii scalar de timp (proiectiile lui pe axe) . Astefel , se para ca vectorul din relatiile anterioare se exprima cu ajutorul a 1 2 functii scalare de timp ( cate 3 pentru fiecare vector , , , ). Aceste functii nu sunt independente , deoarece se pot scrie relatiile :

(4)

(5)

Rezulta ca vectorul de pozitie se exprima cu ajutorul a 6 funtii scalare de timp independent :trei definesc pozitia originii O a sistemului de referinta mobil , iar celelalte 3 definiti ( prin versorii , , ) pozitiile axelor acestui sistem .

Se obtine odata in plus numarul gradelor de libertate ale unui solid rigid liber .

DISTRIBUTIA VITEZELOR

Viteza punctului M in raport cu sistemul de referinta fix se obtine prin derivarea in raport cu timpul a relatiei :

(6)

unde v ₀ este viteza originii O a sistemului mobil .

Pentru a putea exprima vectorii       prin proiectiile lor pe axele Ox , Oy si Oz se tine seama de faptul ca proiectia unui vector pe o axa este egala cu produsul scalar dintre vectorul respectiv si versorul axei , deci :

(6)

Se porneste de la produsul scalar

pe care il derivez si se obtine : si tinand seama de comutativitatea produsului scalar , rezulta

(7)

Abalog se obtine si si

Consideram produsul scalar . Prin derivarea acestei relatii se obtine :

(8)

Convenim sa notam aceasta valoare scalara cu ω_z .

Similar obtinem :

si

Rezulta :

(9)

Relatiile obtinute anterior se pot rescrie astfel ( ca matrici ) :

(10)

Inmultind relatia (10) cu vectorul ( x y z)

rezulta :

(11)

(12)

Unde : Ω este un tensor de ordinal doi antisimetric .

Se numeste tensorul viteza unghiulara .

Exista in matematica o teorema , numita teorema de reprezentare al carui enunt este urmatorul :

Pentru orice tensor Ω de ordinul z antisimetric exista si este unic un vector ω astfel incat

Utilizand aceasta teorema relatia (12) devine (13)

unde - se numeste vectorul viteza unghiulara si este definit ca fiind :

(14)

unde ω_x , ω_y , ω_z sunt cei definiti de realatia (8) :

Relatia (6) devine (15)

numita si relatia lui Euler pentru distributia de viteze.

In fapt aceasta relatie este o functionala , numita functionala vitezei :

(16)

unde t reprezinta campul si campul sau distributia .

(17) se numeste distributie de viteze si inseamna vitezele tuturor punctelor la un moment dat de timp .

DISTRIBUTIA ACCELERATIILOR

Functionala vectorului acceleratie se obtine prin derivarea in raport cu timpul a functionalei vectorului viteza (relatia 16).

(19)

Unde au fost notate :

si se numeste accelratia lui O .

si se numeste accelratia unghiulara .

Se obtine functionala acceleratiei de forma :

Pentru un moment de timp t fixat se obtine distributia de acceleratie , adica acceleratiile tuturor punctelor solidului la un moment dat .

Aceasta relatie mai este cunoscuta si sub numele de formula lui Euler pentru distributia de acceleratii .

Observatie . Daca ne intereseaza viteza sau acceleratia unui anume punct , atunci recalculam , respectiv . Acestea sunt viteza , respectiv accelerata definite la studiul miscarii punctului .

Facand analogie intre functionala vitezei si expresia variatia momentului unei forte in raport cu polul de reducere .

si

Constatam ca pe pozitia lui se afla , iar in pozitia lui se afla

In cazul reducerii sistemelor de forte ne aducem aminte ca pentru valori particulare ale lui si rezultau diferite cazuri de reducere .

Prin analogie , in functie de anumite valori particulare ale lui si rezulta anumite miscari particulare ale solidului rigid (tabelul 1 ).

Tabelul 1 . Miscari particulare ale solidului rigid.

		Definitie cinematica	Definitie generala
	REPAUS	t	Toate punctele solidului rigid raman fixe in spatiu
	TRANSLATIE	t	Orice dreapta a solidului rigid ramane paralela cu ea insasi
	ROTATIE CU PUNCT FIX	= t 0	Un punct al solidului rigid ramane fix in spatiu
	ROTATIE CU AX FIX	= t 0 (are directie fixa	Doua puncte ale solidului rigid raman fixe in spatiu
	ROTO-TRANSLATIE	0 ;	O dreapta solidului rigid ramane fixa in spatiu
	PLAN-PARALELA	0 ;	Trei puncte ale solidului rigid raman tot timpul in planul initial
	GENERALA	0 , cu directii oarecare .

MISCARI PARTICULARE ALE SOLIDULUI RIGID

MISCAREA DE TRANSLATIE

Un solid rigid efectueaza o miscare de translatie , daca o dreapta a corpului ramane paralela cu ea insasi tot timpul miscarii ( figura 1).

Definitia cnematica : 0 , t

Conform definitiei geometrice a moscarii , axele Ox , Oy , Oz ale sistemului de referinta mobil raman paralele cu ele insele si paralele cu niste directii fixe din spatiu (de exemplu cu axele O₁x₁ , O₁y₁ si O₁z₁ ) . In aceste conditii , versorii , , , raman constanti iar derivatele lor in raport cu timpul sunt nule .

=0

Relatia (1) este satisfacuta numai daca :

(2)

Deci si =0

Formulele lui Euler pentru distributiile de viteze si de acceleratie devin .

(3)

Daca punctele solidului rigid descriu traiectorii liniare (rectilinii) atunci translatia se numeste translatie rectilinie .

Daca traiectoriile punctelor solidului rigid descriu sunt arce de cerc, atunci translatia este translatie circulara.

Daca traiectoriile punctelor solidului sunt curbe , atunci translatia este translatie curbilinie .

MISCAREA DE ROTATIE CU AXA FIXA

Un solid rigid efectueaza o miscare de rotatie cu axa fixa , daca in timpul miscarii doua puncte ale rigidului raman fixe in spatiu (figura 2) .

Se presupun punctele fixe O1 si O2 . Axa care uneste cele doua puncte fixe se numeste axa de rotatie si toate punctele ei raman fixe in timpul miscarii . Se aleg sistemele de referinta fix si mobil , astfel incat originile O1 si O sa coincida , iar axele O1z1 si Oz sa se suprapuna pe axa de rotatie a corpului .

Miscarea rigidului este definita daca se cunoaste functia scalara :

θ = θ(t) , (4)

θ fiind unghiul format de axele Ox si O1x1 , respectiv Oy si O1y1 din planul perpendicular pe axa de rotatie .

Pozitia unui punct oarecare M al corpului este definita de vectorul de pozitie .

, (5)

deoarece si deci si ( )

Punctele corpului descruiu traiectorii circulare , in plane normale pe axa de rotatie , cu centrul pe aceasta axa .

Intre versorii sistemului de referinta mobil si cei ai sistemului de referina fixa exista urmatoarele relatii :

(6)

Prin derivarea acestor relatii in raport cu timpul, se obtin:

In baza relatiilor prin care am definit proiectiile pe axe ale vectorului viteza unghiulara obtinem:

si in continuare:

(9)

(10)

Rezulta ca vectorul are o interpretare fizica bine precizata . Acest vector are directia axei de rotatie si marimea egala cu viteza unghiulara . Vectorul , acelasi pentru toate punctele rigidului , se numeste vector viteza unghiulara .

Prin derivarea in raport cu timpul a relatiei (9) se obtine vectorul acceleratie unghiulara , acelasi pentru toate punctele corpului

(11)

In aceste conditii , distributia vitezelor in miscarea de rotatie cu ax fix este :

(12)

(14)

Distributia acceleratiilor in miscarea de rotatie cu ax fix este:

(15)

(16)

PROPRIETATI ALE DISTRIBUTIEI DE VITEZE SI DE ACCELERATIE IN MISCAREA DE ROTATIE

In miscarea de rotatie exista puncte de viteza si acceleratie nula . Aceste puncte se afla pe axa de rotatie .

Punctele situate pe o dreapta paralela cu axa de rotatie au aceeasi viteza si aceeasi acceleratie .

Pe o dreapta perpendiculara pe axa de rotatie vitezele variaza liniar , deoarece marimea vitezei este proportionala cu distanta d de la un punct la axa . Vitezele tuturor punctelsor sunt paralele intre ele si perpendiculare pe dreapta .

pe o dreapta perpendiculara pe axa de rotatiei accelertiile variaza liniar si sunt inclinate fata de aceasta dreapta cu acelasi unghi α pentru care .

Fig. 3

Fig. 4.