ELEMENTE DE TEORIA VALURILOR - Generalitati. Ecuatii de baza

ELEMENTE DE TEORIA VALURILOR

Generalitati. Ecuatii de baza.

Valurile , miscari cu suprafata libera, constituie un capitol aparte al mecanicii fluidelor, dar si obiect de studio pentru alte discipline, cum ar fi: oceanologia, meteorologia, teoria navei s.a.

Valurile sunt produse de vant, de atractia Lunii, de miscarile seismice, de deplasarea unor corpuri la suprafata apei sau in imediata ei apropiere, de miscarea frontierelor atunci cand lichidele sunt continute in spatii inchise.

In cazul valurilor de vant, producerea lor se datoreaza efectului de frecare a aerului de suprafata apei. Hula reprezinta o categorie aparte de valuri regulate, produse dupa incetarea vantului, ca efect al inertiei maselor de apa. In apropierea malurilor inaltimea valului devine mai mare decat adancimea apei producandu-se o anumita miscare caracterizata prin neregularitate, spuma, suprainaltarea crestelor.

Teoria valurilor, analiza diferitelor tipuri de valuri produse in spatii deschise sau inchise, avand diferite cause, reprezinta un demers laborious care depaseste cadrul lucrarii de fata. Ne vom limita la a prezenta ecuatiile de baza utilizate in studiul valurilor ca si solutionarea problemei in cateva cazuri mia importante.

Studiul theoretic al miscarii valurilor se face facand ipoteze simplificatoare.

Considerand miscarea potentiala nepermanenta, ecuatia de baza pe care o vom utiliza este ecuatia lui Lagrange (vezi paragraful 4.3.4):

U + P + + = C(t) (1)

in care φ (x, y, z, t), potentialul de viteza al miscarii (= ) este o functie armonica.

Intr-un system trirectabgular de axe in care planul xOy este suprafata apei linistite, iar axa Oz este indreptata in sus, tinand cont ca discutam despre lichidele cu vascozitate neglijabila, putem rescrie ecuatia 1 astfel:

gz + + + = 0, (2)

in care constanta C(t) am inglobat-o in .

Suprafata apei se afla la presiune atmosferica constanta p₀, iar frontierele fixe ale acvatoriului in care se produc valurile ne permit sa scriem o a doua conditie la limita:

= 0 (3)

In cazul frontierelor mobile vom avea evident:

v_r = (4)

2. Valuri plane, calatoare, de mica amplitudine.

La ipotezele prezentate in paragraful anterior, adaugam consideratia ca amplitudinea valului este mult mai mica decat lungimea sa de unda. In aceasta situatie ecuatia lui Laplace are o solutie de forma:

φ= f(z) cos (kx - ωt), (5)

in care:

f(z) = A e^kz (6)

Deci :

φ = A e^kz cos (kx - ωt) (7)

Cunoscand potentialul φ putem determina componentele vitezei dupa directiile x si z:

v_x = = - A ke^kz sin (kx - ωt),

v_y = = A k e^kz cos (kx - ωt). (8)

Modulul vitezei totale va fi :

v = = A k e^kz (9)

In acelasi timp

v_x= si v_z= (10)

La timpul t particular de fluid se va afla in punctual M(x, z), iar la timpul t₁ in punctual M₁(x₁, z₁):

x - x₁ = v_x dt

si (11)

z - z₁ = v_z dt

sau, utilizand relatiile (8) in care am inlocuit x si z cu x₁ si z₁:

x - x₁ = - A cos (kx₁ - ωt),

si (12)

z - z₁ = - A sin (kx₁ - ωt).

Din relatiile (12) rezulta ca traiectoriile particulelor de lichid sunt cercuri cu centrul in punctul de coordonate x₁ si z₁, avand raza A , descrescatoare cu adancimea. Amplitudinea valului ;a suprafata este data de relatia:

a₀ = - (13)

inaltimea valului se defineste ca distanta dintre o creasta de val si un gol de val:

h = 2a₀ (14)

Revenim la ecuatia de baza (2). Considerand viteza destul de mica, putem neglija termenul in v² , iar conditia la limita p = p₀ , ne permite introducerea termenului in . Rezulta:

+ gz = 0 (15)

sau

= - (16)

Viteza verticala a valului v_z are expresia:

v_z = = = + v_x + v_y (17)

deoarece am presupus ca amplitudinea valului este mult mai mica decat lungimea sa de unda; deci 0 si .

Utilizand relatiile (17) si (16), obtinem:

(18)

Din relatiile (18) si (7) rezulta:

(19)

Relatia (15) ne permite sa stabilim ecuatia suprafetei valului :

(20)

lungimea de unda a valului fiind:

(21)

In figura (fig. 1) sunt prezentate caracteristicile valurilor plane de mica amplitudine.

Seobserva descresterea exponentiala a amplitudinii cu adnacimea.

- reprezinta viteza unghiulara a particulei de fluid in traiectoria ei circulara. Perioada miscarii va fi :

(22)

Din ecuatia suprafetei valului se observa ca aceasta este invariabila in timp. De-a lungul axei Ox viteza de deplasare sau de propagare a undei de val este:

(23)

c se mai numeste si viteza aparenta. De aici provine denumirea de val calator.

Fiind vorba de o miscare potentiala, putem studia problema valurilor calatoarecautand un potential complex pentru care este o linie de current. In sistemul nostrum de coordonate variabila complexa este:

y = x + iz (24)

Potentialul complex cautat este de forma:

(25)

Intr-un system de axe mobil care se deplaseaza cu viteza c, fata de sistemul fix Oxz, de-a lungul axei Ox (fig. 2), miscarea devine permanenta.

Relatiile de legatura intre cele doua sisteme de coordonate vor fi:

(26)

In tabelul 1 sunt prezentate cateva din caracteristicile de val in diferite zone ale globului [17].

In tabelul 2 este prezentata starea marii in functie de forta valului [17].

3. Grupuri de valuri

Sa consideram doua valuri calatoare de amplitudini egale si perioade apropiate:

(27)

(28)

Prin suprapunerea efectelor, rezulta urmatoarea suprafata de val:

(29)

Din compunerea celor doua valuri a rezultat un val calator cu amplitudine variabila:

(30)

Amplitudinea variabila poate fi considerate o unda calatoare cu viteza aparenta c :

(31)

sau, la limita:

(32)

Sa consideram acum cazul general in care mai multe valuri, de amplitudini diferite, lungimi de unda diferite (dar apropiate ca valoare) si defazate, se suprapun. Rezulta o suprafata de val de forma:

(33)

- reprezinta diferitele defazari.

4. Valul stationar

Un cazparticular de compunere a valurilor il reprezinta valul stationar. Acesta se produce compunand doua valuri avand aceleasi caracteristici, dar mergand in sensuri contrare:

(34)

si

(35)

Valul stationar obtinut va avea suprafata de ecuatie:

(36)

Practic un astfel de val se obtine atunci cand un val plan calator loveste un perete vertical, unda reflectata suprapunandu-se peste unda initiala.

Problema miscarii particulelor se poate studia la fel ca in paragraful 2. Traiectoriile particulelor, in cazul valului stationar, vor fi drepte.

5. Valuri in lichid cu adancime finite

In situatia adancimii finite, pentru valul plan calator la care ne referim in continuare, apare conditia la limita:

z = -h , (37)

h fiind adancimea lichidului.

Ecuatia lui Laplace este satisfacuta de o solutie de forma (5) in care:

(38)

Deci:

(39)

Punand conditiile la limita (18) - la suprafata - si (37) - la fund - obtinem sistemul de ecuatii:

(40)

Sistemul (40) este un sistem omogen care admite solutii nenule daca Δ = 0:

(41)

sau

(42)

Deci:

(43)

Relatiile (23) si (43) ne conduc la expresia:

(44)

Solutia (39) va lua forma:

, (45)

iar suprafata libera va avea o expresie similara cu cea a valului plan calator de mica amplitudine:

, (46)

in care:

, (47)

este amplitudinea valului si:

(48)

Procedand la fel ca in paragraful (2), obtinem traiectoriile particulelor de lichid, care de aceasta data sunt elipse.

In cazul valurilor produse in lichide cu adancime finite, putem stabili energia dezvoltataintr-un volum determinat. Acest volum τ il consideram marginit de doua plane verticale, perpendiculare pe planul xOz, situate la distanta λ unul fata de altul, da suprafata valului si de fundul apei (adancime h) (fig. 3).

Inaltimea cilindrului avand baza OABC este egala cu unitatea. Intregul volum este marginit de suprafata Energia valului este compusa dintr-o energie cinetica si o energie potentiala cauzata de miscarea coordonatelor centrului de greutate a coloanei de lichid. Energia cineticaa volumului τ este exprimata de relatia:

(49)

Utilizand expresia potentialului de viteza = , relatia (50)

si ecuatia de continuitate la lichide (51)

obtinem:

(52)

Deci:

(53)

A aparut semnul - deoarece n, versorul normalei la suprafata este orientat, de data aceasta, spre interiorul volumului considerat.

Energia cinetica in miscarea potentiala a fost determinate intr-un mod asemanator in paragraful (5.2).

Notand cu s conturul OABC, atunci:

(54)

Rezulta:

(55)

Integralele pe OC si AB se anuleaza reciproc, iar integral ape OA este nula (fundul fix). Ramane:

(56)

In ipoteza perturbatiilor mici φ are expresia (45). Rezulta:

(57)

in care este amplitudinea.

Calculul energiei potentiale se face mai simplu. Volumul elementar unitar de lichid zdx, situat peste axa Ox are centrul de greutate in . Energia lui potentiala va fi:

(58)

Integrand pe lungimea λ si inlocuind pe z, obtinem:

(59)

In final rezulta energia totala pentru volumul de lichid considerat; volumul de latime unitara:

E = E_c + E_p = (60)

Se observa ca aceasta energie nu depinde de adancimea h.