CINEMATICA VIBRATIILOR

Elemente de cinematica vibratiilor

I. Caracteristicile vibratiei.

Un sistem material oarecare (constructie, masiv etc) se poate afla in doua stari esentiale: de repaus si de miscare (miscare de regim sau miscare permanenta, miscarea pentru care a fost construit sistemul). Aceste stari ale sistemului le vom considera ca stari de referinta.

Miscarile pe care sistemul le executa in raport cu aceste stari de referinta si care se pot studia cu un numar determinat de parametri sunt numite vibratii sau oscilatii, daca parametri ce descriu miscarea variaza in timp alternativ in jurul valorilor lor corespunzatoare starilor de referinta.

Dintre miscarile vibratorii ne intereseaza in mod deosebit miscarile periodice. O miscare vibratorie este periodica, daca toate elementele miscarii se repeta identic dupa un anumit interval de timp T numit perioada vibratiei care se masoara obisnuit in secunde.

Caracteristici:

T = perioada vibratiei [sec]

frecventa vibratiei, numarul de perioade (cicli) pe secunda [Hz]

ciclul = miscarea efectuata intr-un timp egal de periada T

II. Vibratia armonica. Definitie. Caracteristici.

Cea mai simpla vibratie periodica ce intervine in studiul celor mai variate si complicate miscari periodice, este vibratia armonica, in care periodicitatea se exprima prin sinusul sau cosinusul unei functii liniare de timp.

Legea vibratiei armonice sau legea miscarii armonice este data de una din functiile:

(2), (3)

unde am notat cu:

x - parametrul sau coordonata miscarii, care poate fi o lungime sau un unghi, care se mai numeste si elongatia miscarii (sau valoarea instantanee a parametrului).

x₀>0 - amplitudinea vibratiei (maximul elongatiei).

- faza miscarii, sau faza la un moment dat. Se masoara in radiani.

j - faza initiala, sau faza la un momentul t=0. q j

- pulsatia vibratiei (frecventa circulara), derivata in raport cu timpul a fazei. Se masoara in [rad/s]

III. Legile vitezei si acceleratiei in miscarea vibratorie armonica

T

T

Din aceste formule se vede un lucru foarte important ca toate elementele miscarii armonice: x, se calculeaza cu ajutorul functiilor sin(wt+j si cos(wt+j deci miscarea este sigur periodica.

Sa analizam perioada acestei miscari. Perioada unghiulara a functiilor sin si cos fiind 2p, se deduce ca perioada T a miscarii armonice trebue sa verifice ecuatia:

[w(t+T)+j wt+j p T wT=2p T (8)

(9)

(9')

Am obtinut expresiile perioadei si frecventei intr-o miscare armonica cu pulsatia w

Formula (9'), , da o interpretare pentru pulsatie: ea reprezinta numarul de cicluri (perioade) intr-un interval de timp egal cu 2p secunde.

IV. Defazaje

Se considera doua vibratii armonice care se efectueaza dupa legile:

Cele doua miscari vibratorii exprimate cu aceiasi functie de timp si cu aceiasi faza se zic ca sunt in faza.

Daca consider insa o alta miscare:

atunci miscarile x₁ si x₃ se zic ca sunt defazate, adica miscarea x₃ este defazata fata de prima miscare cu un unghi j numit defazaj, egal cu diferenta fazelor celor doua miscari.

q q wt+j j wt+j j

j -reprezinta unghiul dintre cele doua miscari; miscarea x₃ se zice ca este defazata inainte fata de miscarea x₁ cu unghiul j

Sa vedem cat este de mare acest defazaj in timp. Scriu legile celor doua miscari astfel:

Deci, defazajului unghiular j ii corespunde un defazaj in timp

j - cand j p (in timp ) cele doua miscari sunt in opozitie.

- cand (in timp )

Sa vedem cum sunt intre ele miscarea, viteza si acceleratia.

(

(

Se vede din relatiile (*) si (**) ca:

1. Defazajul dintre miscare si viteza este de , respectiv viteza este defazata inaintea miscarii cu unghiul sau in timp cu secunde.

2. Defazajul dintre miscare si acceleratie este egal cu p, respectiv acceleratia este defazata fata de miscare cu unghiul p sau in timp cu secunde: cand una este maxima, cealalta este minima.

Amplitudinile: - x₀ pentru miscare (deplasare)

- x₀w pentru viteza

- x₀w pentru acceleratie

Sa retinem deci ca atat viteza cat si acceleratia sunt functii de timp cu aceiasi perioada (deci aceiasi pulsatie) ca si deplasarea.

1.2. Vibratii modulate in amplitudine si frecventa. Vibratii amortizate

Exista miscari vibratorii descrise de legi de forma (2) si (3), pentru care amplitudinea x₀ sau pulsatia w (deci si frecventa f) nu sunt constante ci variaza in timp dupa o anumita lege. Aceste vibratii se zic ca sunt modulate in amplitudine sau in frecventa.

A. Vibratii modulate in amplitudine. Sa presupunem ca amplitudinea nu mai este constanta, ci x₀ este o functie de timp de forma:

x₀=C[1+f(t)]

unde f(t) este o functie de timp.

Atunci, legea de miscare a unei vibratii modulate in amplitudine este de forma:

x=C[1+f(t)]cos(wt+j (10)

Amplitudinile fiind variabile, miscarea se numeste cvasiarmonica sau cvasiperiodica ori pseudoperiodica.

Deci functia f(t) este de forma:

f(t)=m cos(w_mt+j_m) , 0<m (11)

se zice ca miscarea este modulata in amplitudine. Amplitudinea m se numeste grad de modulatie, iar pulsatia w_m este pulsatia de modulatie.

Sa ne ocupam putin de relatia (10). Sa aratam ca miscarile descrise de aceasta relatie sunt tot vibratii.

fig.1.2

Avand in expresia (10) un cosinus, inseamna ca x trece foarte des prin zero, deci este o vibratie fiindca se misca in jurul pozitiei de zero. Sa facem o diagrama a miscarii. Voi reprezenta prima data curba x₀=C[1+f(t)]. Voi reprezenta pe aceiasi diagrama si curba x₁=cos(wt+j care este o cosinusoida cu amplitudinea egala cu 1. Miscarea rezultanta este data de produsul dintre cele doua functii .

- curba produs trece sigur prin punctele unde se anuleaza curba x₁.

- curba reprezentativa a produsului, mai trece sigur si prin punctele curbei x₀, corespunzatoare absciselor pentru care x₁=1.

- iau simetricul curbei x₀=C[1+f(t)] fata de axa timpului; curba produs mai trece sigur si prin punctele de pe aceasta curba simetrica, corespunzatoare absciselor pentru care x₁= -1.

-curba produs x=x₀ x1 se afla in orice caz intre cele doua curbe x₀.

Curba desenata punctat reprezinta produsul celor doua functii, respectiv reprezinta relatia (10) si se vede ca este o vibratie care are perioada .

Sa ne ocupam de vibratiile modulate armonic in amplitudine.

In acest caz functia x₀ este de forma:

x₀=C[1+m cos(w_mt+j_m

iar

x₁=cos(wt+j

Urmarind acelasi rationament pentru construirea functiilor produs, obtinem reprezentarea grafica care urmeaza:

Se vede aici ca functia modulatoare este o cosinusoida. In general perioada functiei modulatoare este mai mare decat a functiei x₁ si deci:w_m<<w

Deci frecventa de modulatie: este mai joasa decat frecventa a vibratiei de baza.

B. Vibratii modulate in frecventa.

Legea unei vibratii modulate in frecventa este de forma:

(12)

in care amplitudinea x₀ ramane constanta, iar pulsatia instantanee, egala cu derivata fazei in raport cu timpul este:

Se vede ca pulsatia este variabila in timp.

Daca functia f(t) este de forma:

vibratia este modulata armonic in frecventa. Legea acestei vibratii se scrie astfel:

Raportul se numeste indice de modulatie.

Sa aratam cum se face integrala:

C. Vibratii amortizate. (Caz particular de vibratii amortizate in amplitudine).

Legea unei vibratii amortizate este de forma:

(14)

unde x₀, h=constante, iar h se numeste factor de amortizare.

Relatia (14) in adevar o miscare vibratorie fiindca apare functia cosinus, deci elongatia va trece periodic prin zero. Insa amplitudinea miscarii, nu mai este constanta ci este o functie de timp. Avem deci o vibratie modulata in amplitudine.

Daca h>0, amplitudinea descreste in timp si tinde spre zero. Vibratia amortizata este cvasiarmonica (pseudoperiodica) modulata exponential - descrescator in amplitudine. Se vede imediat ca si valorile maxime ale vitezei si acceleratiei descresc.

Daca h<0, amplitudinea creste in timp. Vibratia este crescatoare, modulata exponential - crescator in amplitudine.

1. Sa vedem cind trece mobilul prin origine.

Din legea (14) rezulta ca mobilul trece prin origine (x=0) cind cos(wt+j)=0, adica in momentele:

x=0 T cos(wt+j T

Pentru valorile pare ale lui k, mobilul trece prin origine intr-un sens, (dat de fiecare data cu alta viteza si acceleratie) iar pentru cele impare in sens contrar. Rezulta ca perioada miscarii, respectiv intervalul de timp intre doua treceri succesive in acelasi sens prin origine, este egal cu:

Adica, pseudopeerioada vibratiei amortizate este egala cu perioada vibratiei armonice fundamentale.

Sa construim graficul miscarii.

Diagrama vibratiei amortizate (14) este cuprinsa intre curbele exponentiale:

Sa vedem pentru ce valori ale timpului diagrama vibratiei amortizate (curba produs) este tangenta acestor curbe exponentiale.

Am vazut ca la o vibratie modulata in amplitudine, curba reprezentativa trece in mod sigur prin acele puncte corespunzatoare absciselor pentru care cos(wt+j 1, deoarece in acest caz adica punctul respectiv se gaseste pe una din exponentiale. Sa notam aceste abscise cu . In aceste puncte vom avea deci cos(w+j 1. Sa aratam ceva mai mult, ca in aceste puncte curba respectiva si exponentiala sint tangente. Pentru aceasta calculam derivatele celor doua functii in punctele (k=0, 1, 2, )

pentru t=T deoarece:

adica se obtin pentru tangentele la cele doua curbe aceiasi coeficienti unghiulari, deci cele doua curbe sint tangente in punctele de abscisa . Pentru k par diagrama este tangenta curbei x=x₀e^-ht , iar pentru k impar, curbei x= -x₀e^-ht .

Sa calculam intervalul de timp intre doua puncte de tangenta succesive, ca una si aceiasi curba exponentiala.

Daca:

Deci punctele de tangenta cu oricare din functiile exponentiale modulate se repeta cu aceiasi perioada a miscarii T.

3. Sa vedem care sint punctele de maxim si de minim ale miscarii.

In primul rind sa remarcam ca punctele de tangenta nu sint si puncte de extrem. Acest lucru este evident deoarece in aceste puncte tangenta este in orice caz inclinata, una din curbe fiind o exponentiala, deci acestea nu sint puncte de extrem.

Pozitiile extreme ale mobilului (maximele si minimele elogantiei) se afla analizind derivata .

Deci extremele vibratiei (14) se vor obtine pentru valorile ale timpului date de ecuatia:

Tinind seama de aceasta ecuatie, rezulta ca pentru k par se obtin maxime si pentru k impar, minime.

Se deducem intervalul de timp dintre doua maxime succesive sau doua elongatii minime succesive; vom arata ca el este tot T.

4. Sa vedem pe ce curbe se gasesc elongatiile extreme.

Extremele au loc pentru:

Deci punctele de maxim si de minim se gasesc pe curbele:

care sint situate intre curbele exponentiale .

Se vede de aici ca valorile elongatiilor extreme descresc deasemenea exponential.

5. Alte notatii si observatii.

a) Pentru o anumita valoare a lui k, din cele de mai sus se constata ca avem:

ceea ce inseamna ca elongatia extrema (maximul sau minimul) are loc inaintea momentului cind diagrama este tangenta curbelor exponentiale, cu un timp egal cu .

b In cele de mai sus am aratat citeva elemente ale vibratiei amortizate care apar periodic, cu perioada , fara a se repeta identic. De aceea vibratia se numeste pseudoperiodica, iar T este pseudoperioada.

c) Daca x_n si x_n+1 sint doua valori maxime sau doua minime succesive ale elongatiei, avem:

(15)

Aceasta inseamna ca maximele (sau minimele) formeaza o progresie geometrica cu ratia .

d) Din relatia (15) se obtine:

(16)

Acest logaritm natural al citului a doua maxime succesive se numeste decrementul logaritmic al vibratiei amortizate, fiind egal cu produsul dintre perioada T si factorul de amortizare h.

Inversul t al factorului de amortizare se numeste constanta de timp.

Avem:

(17)

Cind d este mic, dezvoltind in serie e^d din relatia (15) se poate scrie cu aproximatie:

(18)

adica in acest caz, descresterea relativa a doua maxime succesive este egala cu decrementul logaritmic.

1.3. Reprezentarea vectoriala a vibratiilor armonice

O vibratie armonica de forma (2), poate fi reprezentata printr-un vector rotitor de marime constanta.

In adevar, fie OA un vector de marime constanta x₀ , ce se roteste intr-un plan, in jurul originii sale O, cu o viteza unghiulara constanta w, facind la un moment dat t unghiul cu axa fixa oarecare din plan (de exemplu o orizontala).

Acest vector OA reprezinta miscarea armonica (2), deoarece legea acestei miscari este data de proiectia:

a vectorului rotitor pe axa fixa (orizontala), iar viteza unghiulara de rotatie este egala cu pulsatia miscarii armonice.

Acelasi vector OA poate reprezenta si miscarea armonica (3): ! In adevar, daca vectorul se proiecteaza nu pe axa fixa considerata, ci pe o perpendiculara pe aceasta (verticala) se obtine proiectia: adica tocmai legea (3).

Sa vedem cum reprezentam viteza si acceleratia

Pe baza celor precizate mai sus, rezulta ca viteza miscarii armonice poate fi reprezentata printr-un vector de marime x₀w, ce se roteste cu viteza unghiulara w, fiind in avans cu un unghi fata de vectorul OA de marime x₀ care reprezinta miscarea.

La fel, acce-leratia poate fi repre-zentata printr-un vector de marime x₀w , in avans cu un unghi p fata de vectorul OA, deci in opozitie de faza cu miscarea reprezen-tata de vector.

Aceasta interpretare a miscari oscilatorii este utila, in special, pentru compuneri de miscari vibratorii.

Compunerea miscarii vibratorii

1. Compuneri de vibratii armonice paralele de aceiasi pulsatie.

Sa consideram o miscare ce se efectueaza dupa legea:

(19)

Aceasta lege reprezinta o suprapunere de doua miscari armonice cu aceiasi pulsatie w si paralele ( de aceiasi dirtectie). Sa studiem proiectiile acestei miscari rezultate. O solutie simpla simpla se obtine cu ajutorul reprezentarii vectoriale.

Reprezentam cele doua vibratii armonice prin doi vectori OA₁ si OA₂, care se rotesc in jurul originii o cu aceiasi viteza unghilara w, avind marimile constante x₁₀ si x₂₀ . Deoarece cei doi vectori se rotesc cu aceiasi viteza unghilara w, inseamna ca unghiul dintre ei ramine constant tot timpul miscarii si egal cu j, deci paralelogramul OA₁AA₂ nu se deformeaza.

Rezulta ca vectorul suma al celor doi vectori, vectorul OA, este de marime constanta si se roteste cu aceiasi viteza unghiulara w deci miscarea rezultanta (19) este tot o miscare armonica de aceiasi pilsatie w! Daca notez OA=x₀, atunci legea miscarii rezultante se va scrie:

(20)

Sa determinam elementele necunoscute ale acestei miscari: amplitudinea x₀ si defazajul y. Aceste marimi se determina din paralelogramul vectorilor.

B. Caz particular

(21)

Cele doua miscari componente sint defazate cu un unghi egal cu , deoareace:

deci:

Legea miscarii rezultante se poate scrie:

dar

Generalizare. Daca numarul vibratiilor armonice de aceiasi pulsatie w este n>2, se compun primele doua ca mai sus, rezultanta cu a treia si asa mai departe. Se ajunge la concluzia ca vibratia rezultanta este armonica, de aceiasi pulsatie w, fiind reprezentata de un vector egal cu suma vectoriala a celor n vectori ce reprezinta vibratiile componente si defazata fata de miscarile componente.

C. Compuneri de vibratii armonice paralele de pulsatii diferite. Batai

Sa consideram cazul cind cele doua armonice componente au pulsatii diferite w si w . Vom admite w >w si vom nota w w Dw

Legea vibratiei rezultante se poate scrie sub forma:

(24)

Aici j nu mai reprezinta defazajul dintre cele doua miscari fiindca nu mai am aceiasi pulsatie.

Sa vedem care sint proprietatile si cum se desfasoara miscarea rezultanta.

Sa reprezentam vectorial cele doua vibratii componente.

Se vede ca unghiul dintre cei doi vectori reprezentativi nu mai este constant! ci este variabil in timp fiind egal cu:

(*)

De aceia diagonala paralelogramului, OA , care reprezinta vibratia rezultanta, are atit marimea x₀ cit si defazajul y fata de prima vibratie variabila in timp!

Deci:x₀ , y - sint variabile in timp.

Deci vibratia rezultanta nu mai este armonica si in general nici periodica; ea este modulata atit in amplitudine cit si in frecventa!

Sa vedem aceste concluzii prin calcul:

legea miscarii devine:

Pentru amplitudine rezulta atunci valoarea:

(25)

Deducem de aici ca amplitudinea rezultanta x₀ este variabila in timp prin intermediul functiei cos(tDw j). Miscarea rezultanta este deci modulata in amplitudine. In legatura cu amplitudinea ne formulam urmatoarele intrebari:

a) Care este cea mai mare si cea mai mica valoare a amplitudinii?

Cea mai mare valoare a lui OA este atunci cind cei doi vectori sint suprapusi si minimul cind cei doi sint in opozitie:

b)          Mai rezulta ca amplitudinea variaza periodic cu perioada:

(26)

c) Frecventa de variatie a amplitudinii este:

(27)

Sa vedem care este defazajul dintre miscarea rezultanta si prima vibratie. Proiectind A si D, din DOAD rezulta:

(28)

de unde se vede ca si defazajul y variaza in timp!!

PROBLEMA Formulam urmatoarea intrebare: Miscarea rezultanta poate sa fie periodica?

Pentru ca miscarea (24) sa fie periodica, cu o perioada T, este necesar ca vectorul reprezentativ al miscarii OA sa ocupe, periodic, cu perioada T, aceiasi pozitie, avind aceiasi valoare. Aceasta se realizeaza numai daca vectorii reprezentativi OA₁ si OA₂ ai miscari componente ocupa, periodic, cu aceiasi perioada T, simultan, aceleasi pozitii. Pentru aceasta este necesar ca perioada T a miscarii rezultante, sa fie multiplu atit al perioadei cit si al perioadei ale celor doua miscari armonice componente, deci va trebui sa avem:

T=n₁T₁=n₂T₂

unde n₁ ,n₂ sint numesc intregi pozitive prime intre ele pentru ca T sa fie minim.

Deci pentru ca miscarea rezultanta sa fie periodica va trebui ca raportul pulsatiilor celor doua miscari componente sa fie o fractie rationala.

In aceste conditii, sigur perioada T a miscarii va fi un multiplu si al perioadei T' a amplitudinii ceeace rezulta imediat:

Exemplu:

D. Un caz particular important. Bataile,.

Sa luam cazul cind cele doua pulsatii w si w ale miscarilor au valorii foarte apropiate, adica diferenta lor :

Dw w w

este foarte mica, iar perioadele T₁ si T₂ ale miscarii componente sint aproape egale.

In aceste conditii pot vorbi de o perioada T' T₁ T₂ .

Sa vedem cu cit variaza in decursul unei perioade unghiul dintre vectorii reprezentativi ai miscarii componente. Unghiul la un moment dat era tDw j, iar dupa o perioada este:(t+T') Dw j, deci variatia lui intr-o perioada este T'Dw care este o valoare de deasemenea foarte mica.

De aceia putem considera ca in timpul unei perioade T' T₁ T₂ amplitudinea miscarii rezultante ramine constanta, adica in acest timp miscarea rezultanta se poate considera ca o succesiune de miscari armonice, fiecare avind durata T₁ T₂ , dar cu amplitudini diferite, adica miscarea rezultata este modulata in amplitudine.

Amplitudinile acestor miscari armonice sint cuprinse intre limitele si (x₁₀+x₂₀) de variatie a miscarii rezultante. Fenomenul se repeta dupa intervale de timp egale cu perioada de variatie a acestor amplitudini.

Miscarea in conditiile de mai sus poarta numele de batai.

Frecventa batailor este: .

5. Compunerea vibratiilor armonice ortogonale. (Figurile lui Lissajous).

Sa consideram un mobilm P care se misca in planul xOy a doua axe rectangulare astfel incit proiectiile lui P' si P" sa aiba miscari vibratorii armonice pe axe. Deci coordonatele x si y ale mobilului vom presupune ca variaza armonic. In acest caz se zice ca mobilul efectueaza doua vibratii armonice ortogonale.

Intereseaza in mod deosebit sa se determine traiectoria mobilului. Vom deosebi doua cazuri:

Cazul a. Sa consideram mai intii cazul cind cele doua vibratii armonice ortogonale au aceiasi pulsatie.Legea miscarii mobilului se scrie atunci:

(30)

Sa studiem proprietatile acestei miscari:

- punctul P' nu poate trece de P₁ si P₂ iar P" dincolo de Q₁ si Q₂ deci traiectoria miscarii rezultante nu are puncte la infinit, deoarece se afla in intervalul dreptunghiului de laturi P1P₂ ,Q₁Q₂;

- cind defazajul j=0, deci miscarile sint in faza, traiectoria este:

(a)

adica o dreapta continuta in cadranele I si III ale sistemului de axe (diagonala dreptunghiului). Pe aceasta dreapta mobilul descrie un segment simetric fata de origine;

- cind defazajul j p, mobilul descrie un segment simetric fata de origine, pe dreapta continuta in cadranele II si IV:

(b)

- cind defazajul j p, atunci traiectoria se obtine prin eliminarea lui wt din ecuatiile (30):cos(wt+j)=coswtcosj-sinwtsinj

Traiectoria este deci o conica si fiindca nu are puncte la infinit este o elipsa cu centrul in originea axelor. Axele sint inclinate fata de axele de coordonate, in afara de cazurile: , cind axele elipsei coincid cu axele de coordonate si cind ecuatia elipsei este: ; cosj=0; sinj=1; ; cosj=0; sinj= -1.

Sensul de deplasare a punctului pe elipsa se determina pentru fiecare caz in parte din legea miscarii.

Cazul b. Sa consideram acum cazul cind cele doua vibratii armonice ortogonale au pulsatii diferite. Legea miscarii mobilului se scrie atunci:

In acestcaztraiectori-

ile miscarii rezultante sint niste curbe complicate, care variaza cu raportul pulsa-

tiilor.

Daca raportul pulsatiilor este un numar rational:

Atunci traiectoriile miscarii rezu-ltante sint curbe inchise

Daca raportul pulsatiilor

este un numar irational atunci curbele nu sint inchise. Traiec-toriile descrise de un mobil in miscarea rezultanta din compunerea a doua vibratii armonice ortogonale se numesc figurile (curbele) lui Lissajous. care daca se reprezinta in coordonate adimensionale pentru

devin fig.1.12

Fig.1.12

1.5. Vibratii periodice. Serii Fourier.       Analiza armonica.

Sa consideram o miscare compusa din doua vibratii armonice paralele de pulsatii diferite:

x=x₁₀cosw t+x₂₀cos(w t+j

Am vazut ca daca raportul celor doua pulsatii este un numar rational, vibratia rezultanta este periodica, faera a fi insa armonica!

Punem acum problema inversa. Fie data o miscare periodica, fara sa fie armonica, care se efectueaza dupa legea:

x=f(t)

cu perioada . Atunci aceasta miscare se poate considera ca o miscare rezultanta a unui numar infint de mare de vibratii armonice! Vibratiile armonice se obtin prin dezvoltarea functiei f(t) in serie Fourier. Daca notez atunci avem:

Termenii I=1 constitue armonica fundamentala.

Determinarea coeficientilor a_i si b_i face obiectul analizei armonice. Daca se cunoaste expresia analitiaca a functiei x=f(t) pe toata durata perioadei, atunci coeficientii seriei Fourier se determina cu relatiile:

Determinarea valorilor a_i si b_i cu ajutorul acestor formule se poate efectua analitic pentru foarte putine functii f(t). De cele mai multe ori calculul lor se face prin metode grafo-analitice.

1.6 Reprezentarea vibratiilor armonice prin numere complexe.

Am vazut ca o vibratie armonica este data de una din legile:

Am mai vazut ca vectorul rotitor OA reprezinta aceste vibratii armonice dupa cum este proiectat pe axa orizontala sau verticala a planului.

Pentru calculul numeric, uneori aceasta metoda are dezavantajul ca trebuie facute in prealabil proiectiile vectorilor. In locul acestor vectori se poate opera mult mai simplu folosind

numerele complexe.

Atfel, in planul complex xOy al celor doua axe orizontala si verticala, vectorul rotitor OA este complect determinat la un mament dat, daca cunosc pozitia punctelui A care in planul complex este data de afixul complex z.

Vom avea deci:

Acest numar complex z reprezinta fie vibratia armonica (*) fie vibratia armonica (**) dupa cum consider partea lui reala sau imaginara.

Ceeace este insa foarte important, este ca si derivatele de ordinul intii si doi, in raport cu timpul, ale acestui numar complex, vor reprezenta tocmai vitezele si acceleratiile celor doua miscari (*) si (**), (dupa cum consideram partea reala sau imaginara).

Trecind la notatia exponentiala avem:

Din aceste relatii rezulta citeva concluzii foarte importante:

-In primul rind vedem ca derivata unui numar complex inseamna inmultiarea acestui numar cu Iw. Dar, inmultirea cu I este echivalenta cu o rotatie de un unghi egal cu in sens direct (in avans), iar inmultirea cu w transforma amplitudinea x₀ in wx₀. Dar, acestea sint tocmai proprietatile cunoscute ale vitezei intr-o vibratie armonica, si anume viteza este defazata cu un unghi in avans fata de miscare si are amplitudinea wx₀;

-Sa privim ultimile doua relatii:; . Asta inseamna ca in calcule, voi inlocui coordonata vibratiei armonice cu z, iar viteza (z') si acceleratia (z''), se vor inlocui tot in functie de z, deci dispar in ecuatiile de miscare derivatele, si totul se reduce la un calcul algebric. Se efectueaza apoi toate operatiile algebrice si se interpreteaza fizic numai rezultatul final, considerind partea sa reala daca e vorba de vibratie in cos, sau partea sa imaginara daca e vorba de o vibratie in sinus.