REZISTENTA TERMICA

RezistentA termica

1. Rezistenta termica

1.1. Definitie

Sa consideram un perete ca cel prezentat in Fig. 1. Datorita grosimii L reduse in comparatie cu restul dimensiunilor peretelui, vom considera ca transferul de caldura este unidimensional, el avand loc in lungul acestei dimensiuni.

Fig. 1. Perete de grosime L supus solicitarilor termice T₁ si T₂.

Ecuatia transferului de caldura in coordonate carteziene devine:

. (1)

Vom considera cazul in care ambele extremitati ale peretelui sunt mentinute la temperatura constanta:

(23)

Solutia ecuatiei (1) este , unde a si b trebuie sa asigure satisfacerea conditiilor de contur (23).

In consecinta

. (4)

Se observa ca variatia campului termic este proportionala cu abscisa x. Calculand fluxul de caldura,

, (5)

si apoi cantitatea de caldura ce traverseaza stratul subtire,

, [W], (6)

putem concluziona ca acesta din urma este invers proportionala cu marimea si direct proportionala cu diferenta de temperatura si aria A. Marimea se numeste rezistenta termica,

, (7)

prin analogie cu rezistenta electrica. Astfel, ecuatia (6) se scrie

(8)

punandu-se astfel in evidenta asemanarea cu legea lui Ohm

, (9)

locul tensiunii (a diferentei de potential) U fiind luat de diferenta de temperatura ΔT, iar locul intensitatii I este luat de fluxul termic q. Aceasta analogie este subliniata simbolic atat in Fig. 1 cat si in exemplele urmatoare.

1.2 Pereti multipli

Se prezinta cazul peretilor compusi din mai multe straturi cu proprietati fizice si de material diferite (Fig. 2).

Fig. 2 Perete alcatuit din mai multe straturi si supus

solicitarilor termice T₁ si T₄.

Folosind rezultatul obtinut anterior (8) si aplicandu-l pentru fiecare strat in parte obtinem:

; ; (10) ; ;

;,

unde q este fluxul termic ce strabate toate cele trei straturi. Insumand aceste relatii, se concluzioneaza ca

(11)

Rezistenta termica totala definita de (11) este similara cu trei rezistente electrice (vezi Fig. 2) inseriate

. (12)

1.3 Perete metinut la temperatura constanta la granita din stanga si racit prin convectie la granita din dreapta.

Acest exemplu isi propune sa completeze cazul studiat anterior, pentru situatia in care un strat de material de grosime L este mentinut la temperatura T₀ pe o parte si este racit de un fluid la temperatura T_rece la celalalt capat (Fig. 3).

Stiind ca fluxul de caldura ce strabate stratul de material este preluat de fluidul rece, exista relatia

. (13)

In concluzie, si (14)

. (14')

Facem diferenta intre cele doua ecuatii :

. (15)

Se defineste, astfel, o rezistenta termica globala,

. (16)

Asa cum se poate observa din Fig. 3, transmiterea prin convectie a caldurii implica, fata de cazul prezentat in Fig. 1, existenta unei noi rezistente termice inseriate.

2. Rezistenta termica a unui invelis cilindric

Fig. 4 Invelis cilindric.

Se considera invelisul cilindric din Fig. 4 cu raza interioara r₁ si raza exterioara r₂. Daca la interior temperatura este constanta T₁, la exterior temperatura constanta este T₂.

Ecuatia de transfer termic pentru invelisul cilindric din Fig. 4 se scrie:

(17)

sau

. (18)

Domeniul de calcul este delimitat de raza interioara si cea exterioara a invelusului: r₁ si r₂. Pentru aceste raze, conditiile de contur sunt:

→ ; (19)

→ . (20)

Integrand ecuatia (18), deducem ca:

, (21)

unde C₁ este o constanta de integrare. Impartim cu r:

(22)

si integram aceasta ecuatie pentru a obtine forma generala a campului termic:

(23)

Necunoscutele C₁ si C₂ se vor afla aplicand conditiile de contur (19) si (20) formei generale a campului termic. Obtinem:

; (24)

. (25)

Facem diferenta (24)-(25) si obtinem:

→ →

. (26)

In continuare, aplicam Legea lui Fourier pentru a calcula fluxul termic ce se pierde prin invelisul cilindric:

, (27)

unde A este aria laterala a invelisului cilindric la raza r₁, , k este conductivitatea termica a materialului invelisului cilindric.

Obs.: Acelasi rezultat se obtine si daca am calcula fluxul de caldura la .

Astfel,

,

unde R_t este rezistenta termica. Deci:

. (28)

Exemplu1 : Invelis cilindric cu pereti multipli

Sa consideram un invelis cilindric alcatuit din doua straturi, ca in Fig. 5. Daca la raza interioara, r₁, transferul de caldura se realizeaza prin convectie catre un mediu cu temperatura T_cald, la raza exterioara transferul de caldura se realizeaza prin convectie catre un mediu cu temperatura T_rece. Coeficientii de transfer termic prin convectie la cele doua granite ale domeniului sunt h₁ si, respectiv, h₂.

Aceste doua medii introduc doua rezistente termice, asa cum se arata in exemplul 2, ecuatia (16), in plus fata de cele doua rezistente termice introduse de cele doua straturi ale invelisului cilindric, ecuatia (28). Astfel, rezistenta termica totala:

, (29)

unde iar .

Fig. 5. Invelis cilindric cu pereti multipli.

3. Rezistenta termica a unui invelis sferic

Fig. 6. Invelis sferic.

Se considera invelisul sferic din Fig. 6, invelis cu raza interioara r₁ si raza exterioara r₂. Daca la interior temperatura exte constanta T₁, la exterior temperatura constanta este T₂.

Ecuatia de transfer termic pentru invelisul sferic din Fig. 6 se scrie:

(30)

sau

. (31)

Domeniul de calcul este delimitat de raza interioara si cea exterioara a invelisului: r₁ si r₂. Pentru aceste raze, conditiile de contur sunt:

→ ; (32)

→ . (33)

Integrand ecuatia (31), deducem ca:

, (34)

unde C₁ este o constanta de integrare. Deci,

(35)

si integram aceasta ecuatie pentru a obtine forma generala a campului termic:

. (36)

Necunoscutele C₁ si C₂ se vor afla aplicand conditiile de contur (32) si (33) formei generale a campului termic. Obtinem:

; (37)

. (38)

Facem diferenta (37)-(38) si obtinem:

→ . (39)

In continuare, aplicam Legea lui Fourier pentru a calcula fluxul termic ce se pierde prin invelisul cilindric:

, (40)

unde A este aria laterala a invelisului sferic la raza r₁, , k este conductivitatea termica a materialului invelisului sferic.

Obs.: Acelasi rezultat se obtine si daca am calcula fluxul de caldura la .

Astfel,

=

=

=

,

unde R_t este rezistenta termica. Deci:

. (41)

Exemplu 2: Invelis sferic cu pereti multipli

Fig. 7. Invelis sferic cu pereti multipli.

Sa consideram un invelis sferic alcatuit din doua straturi, ca in Fig. 7. Daca la raza interioara, r₁, transferul de caldura se realizeaza prin convectie catre un mediu cu temperatura T_cald, la raza exterioara transferul de caldura se realizeaza prin convectie catre un mediu cu temperatura T_rece. Coeficientii de transfer termic prin convectie la cele doua granite ale domeniului sunt h₁ si, respectiv, h₂.

Aceste doua medii introduc doua rezistente termice, asa cum se arata in exemplul 2, ecuatia (16), in plus fata de cele doua rezistente termice introduse de cele doua straturi ale invelisului cilindric, ecuatia (28). Astfel, rezistenta termica totala:

, (42)

unde: , .

4. Raza critica a izolatiei

O aplicatie deosebita o constituie determinarea grosimii si, in consecinta, a razei critice pe care o poate avea izolatia unui cilindru cu temperatura interioara T₁. Cilindrul se gaseste intr-un mediu inconjurator cu temperatura T_∞; schimbul de caldura intre cilindrul izolat si mediul inconjurator se realizeaza cu un coeficient de transfer termic h.

Fig. 8. Cilindru izolat termic.

Rezistenta termica a acestui sistem este data de ecuatia (21)

. (43)

Se observa ca rezistenta termica este o functie de r₂, pentru cazul in care r₁ este o marime constanta (Fig. 9).

Fig. 9. Variatia rezistentei termice cu raza r₂.

Pentru a afla valoarea critica a razai exterioare, r₂, valoare la care rezistenta termica este minima, va trebui sa impunem conditia ca:

↔ ↔ (44)

↔

dupa simplificari,

↔

↔

→

, (45)

Valoarea rezistente corespunzatoare este

. (46)

Cand r₂>r_critic, cresterea grosimii izolatiei si a razei exterioare ─ r₂ ─ aceasta conduce la cresterea efectului de izolatie; rezistenta termica creste. Daca r₂<r_critic, cresterea razei exterioare r₂ conduce la micsorarea rezistentei termice. La prima vedere, pare a fi o contradictie, caci adaugand material izolant efectul de izolare se diminueaza. Aceasta se explica prin extinderea suprafetei prin intermediul careia cilindrul schimba caldura cu mediul exterior, extindere ce are loc la marirea grosimii izolatiei si, deci, a razei exterioare.

Raza critica a izolatiei este un fenomen ce nu se intalneste la suprafetele aproape plane ci numai la suprafetele cilindrice si la cele sferice. El este determinat de raza de curbura a suprafetei pe care se monteaza izolatia respectiva.