CONSERVAREA IMPULSULUI

CONSERVAREA IMPULSULUI

In ecuatia generala de transfer (1.9), se vor considera ca marime extensiva impulsul I al sistemului reprezentat de volumul de control τ*. Marimea intensiva asociata este ρV, iar:

. )

Relatia generala (1.9) devine:

. )

Se observa ca, in acest caz, marimile (t,x) si (t,x) sunt marimi tensoriale (tensori de ordinul doi), deoarece depind de doua marimi vectoriale: normala la suprafata volumului de control, n, si, respectiv, de viteza fluidului, V.

Legea fundamentala a mecanicii arata ca sursa de impuls este forta care actioneaza asupra sistemului. Din punct de vedere fizic, fortele exterioare sunt fortele care nu depind de fluid si pot fi: fortele gravitationale, fortele arhimedice ("buoyancy'), fortele centrifuge si fortele Coriolis (pentru sisteme in rotatie), fortele electromagnetice (in fluide conducatore de electricitate) etc.

Daca se noteaza cu f densitatea fortelor exterioare (sau de volum) pe unitatea de masa, atunci:

. )

Analog, sursele de impuls distribuite pe suprafata vor fi reprezentate de tensiunile distribuite pe suprafata:

. )

unde s-a notat cu tensorul tensiunilor , pe suprafata σ*. Semnul minus corespunde conventiei asupra normalei la suprafata (orientata catre interiorul lui τ*).

Fluxul difuziv va fi considerat, in continuare, nul, in concordanta cu ipoteza admisa anterior, conform careia si fluxul de masa este nul:

. )

Concluzionand, teorema de transfer (1.23) se scrie:

.

Ecuatiile de mai sus poarta numele de ecuatiile de echilibru Navier. Aceste ecuatii, vor fi completate cu o serie de relatii constitutive numite postulatele lui Stokes.

Postulatele lui Stokes. Deoarece sistemul Navier este deschis, pentru exprimarea tensorului tensiunilor in functie de parametrii macroscopici, Stokes formuleaza urmatorul set de postulate:

1) fluidul este mediu continuu si tensorul tensiunilor este o functie cel mult liniara de tensorul vitezelor de deformatie;

2) fluidul este izotrop, iar relatia constitutiva trebuie sa fie independenta de sistemul de referinta;

3) pentru cazul in care vitezele de deformatie sunt nule, tensiunile se reduc la conditiile din statica (fiind reprezentate de presiuni).

Expresia matematica a celor trei postulate pentru un fluid newtonian este:

. )

unde d este tensorul vitezelor de deformatie:

p este presiunea statica, este tensorul unitar de ordinul doi, iar μ este vascozitatea dinamica (fluidul este presupus newtonian). Pentru determinarea parametrului λ din relatia (1.28) se face apel la ipoteza Stokes care defineste presiunea ca fiind media aritmetica a tensiunilor normale, sau:

. )

unde reprezinta urma tensorului Aceasta ipoteza constituie o extindere a notiunii de presiune, care, in cazul fluidelor vascoase (reale), nu mai are o semnificatie termodinamica clara. Se obtine, in acest fel, o legatura intre λ si vascozitatea dinamica:

. )

Pana in prezent, (cu exceptia unor situatii speciale corespunzatoare unor temperaturi sau presiuni extreme) nu s-a pus in evidenta faptul ca ipoteza Stokes (1.29) si corolarul acesteia (1.30) nu ar fi satisfacute. Se mentioneaza totusi ca, intr-un caz mai general, ipoteza Stokes se poate inlocui cu:

. )

unde μ reprezinta al doilea coeficient de vascozitate (sau vascozitate de dilatare). Dupa cum s a mentionat anterior, importanta acestuia se manifesta doar in cazuri de presiune si temperaturi foarte ridicate.

Observatii. Exista autori care considera fluxul de impuls prin suprafata reprezentat de tensorul tensiunilor, iar sursa distribuita pe suprafata este considerata nula. Se poate lesne constata ca, in ambele situatii, din punct de vedere matematic, conform ecuatiei (1.23), rezultatul final, (1.27), este acelasi.

Problema modelarii matematice a unui fenomen fizic complex necesita, intotdeauna, introducerea unor ipoteze. Cu cat modelul va contine mai putine astfel de "relatii constitutive', iar cele admise vor fi aplicate coerent, cu atat modelul obtinut va fi mai general.

In considerarea tensiunilor ca surse distribuite pe suprafata putem aduce urmatoarele argumente. Deoarece s-a admis deja legea fundamentala a mecanicii, conform caruia sursa de impuls este forta, presiunea, care este o forta raportata la unitatea de suprafata, va avea semnificatie unei surse. De asemenea, pentru un fluid in repaus, fluxul difuziv de masa este nul, si in consecinta si fluxul difuziv de impuls va fi nul. Acest aspect nu pare relevant la prima vedere. Spre exemplu, in mecanica, modelul ciocnirilor perfect elastice presupune un schimb (transfer) de impuls (si energie), fara a fi implicat un transfer de masa. Dar pentru un fluid in repaus (stare de referinta pentru determinarea fluxurilor difuzive), tensiunea pe suprafata va fi reprezentata de presiunea statica. Presiunea statica reprezinta o forta de legatura a volumului de control cu mediul si va reprezenta efectul mediului asupra volumului, deci ni se pare mai potrivita o interpretare a presiunii in statica fluidelor ca o sursa de impuls. In ultimul rand, daca privim tensiunea ca o sursa de suprafata, putem regasi modelul fluidului fara vascozitate si direct din principiile generale de conservare, fara a mai introduce ipotezele lui Stokes, pentru ca apoi sa anulam vascozitatea moleculara a fluidului.

Argumentele invocate pentru considerarea tensiunii ca un flux difuziv sunt legate de definitia notiunii de presiune din termodinamica. intr-adevar, in termodinamica presiunea este rezultatul unui transfer de impuls mediat statistic in spatiu, datorat ciocnirilor moleculelor de suprafata unui volum. In concluzie, presiunea apare ca fiind un transfer (flux) de impuls datorat agitatiei moleculare. Cum termodinamica analizeaza sistemul la alte scari de lungimi, timp si viteze decat mecanica mediilor continue, avand in vedere principiul actiunii si reactiunii, putem admite ca fluxul de impuls de la scara submacroscopica, devine sursa de impuls la scara macroscopica.

Introducand relatiile (1.24) - (1.31) in relatia de conservare (1.23), se obtine ecuatia de transfer a impulsului:

. )

sau, introducand tensorul tensiunilor totale, si, respectiv, tensorul tensiunilor vascoase, , prin relatiile:

. )

se obtine forma conservativa:

. )

Daca, in relatia (1.21), vom lua , se poate deduce si forma neconservativa:

. )

sau inca:

. )

Ecuatiile (1.34) sau (1.35) poarta numele de ecuatiile Navier-Stokes.

Observatii. 1) Pentru un fluid perfect, fara vascozitate, tensiunile de frecare vor fi nule si se pot obtine, din (1.34), ecuatiile Euler:

. )

in exprimarea conservativa si, respectiv:

. )

in exprimarea neconservativa.

2) In cazul fluidului nenewtonian, relatia (1.28) isi pierde valabilitatea si trebuie inlocuita cu o relatie constitutiva proprie fluidului respectiv. Fluide cu structura moleculara complexa sau chiar fluide cu o structura simpla, dar supuse unor variatii rapide de presiune sau unor miscari vibratorii cu frecvente ridicate, nu mai sunt fluide newtoniene. Pentru acestea, exista propuneri de relatii reologice constitutive deduse experimental.