Calculul erorilor prin metoda lantului de dimensiuni vectoriale generalizate

Calculul erorilor prin metoda lantului de dimensiuni vectoriale generalizate.

Calculul erorilor prin metoda lantului de dimensiuni vectoriale generalizate

Piesele de realizat constituie obiecte complexe. Ele sunt definite de mai multe cote, care formeaza un lant dimensional. Elementul geometric, care este studiat din punct de vedere al preciziei dimensionale, este considerat elementul de inchidere al unui lant de dimensiuni. Un exemplu general de asemenea lant de dimensiuni este considerat in fig. 6.4.

Lantul este compus din n cote dimensionale C_k, care sunt vectori caracterizati de marimea (modulul) lor, respectiv directia lor       in raport cu elementul de inchidere, care este vectorul atasat cotei in studiu C.

Fig. 6.4. Lantul de dimensiuni.

Din punct de vedere vectorial, vectorul cotei de inchidere C poate fi determinat astfel:

Modulul vectorului C poate fi calculat astfel:

Cota de inchidere C este o marime dependenta de variabilele C_k si respectiv g_k

Pentru a stabili eroarea care apare la cota de inchidere C, trebuie calculata diferentiala totala a relatiei anterioare. Aceasta este:

Primul termen al partii drepte al relatiei anterioare constituie variatia cotei C datorita variatiei modulului vectorilor cotelor intermediare C_k, iar al doilea termen este datorat variatiei directiei vectorilor. Deoarece in cazurile practice, variatia datorata directiei vectorilor cotelor intermediare sunt mai mici, pentru simplificarea calculelor, de cele mai multe ori acestea se neglijeaza. Astfel, relatia (6.5) poate fi aproximata astfel:

(6.6) sau ,

in care A_k = cos γ_k este numit si coeficient (functie) de transfer.

Utilizand relatia (6.6) pentru a defini componentele aleatoare e, respectiv componenta sistematica s a erorii cotei C, se va obtine:

pentru componenta aleatoare, respectiv

pentru componenta sistematica.

Relatia (6.8) aproximeaza relativ bine componenta sistematica a erorii cotei C. In aceasta relatie marimea s_k intra cu semnul ei algebric, rezultat din relatia de definitie:

,

in care       este media valorilor obtinute la executia cotei C_k.

Componenta aleatoare data de relatia (6.7) nu este aproximata corespunzator. Valorile rezultate din calculul sunt mai mari decat cele obtinute practic. Astfel, in cazul unui lant de dimensiuni liniare, dat in fig. 6.5, conform relatiei amintite componenta aleatoare a cotei de inchidere, determinata grafic ar fi:

ek

en

e(C)

Fig. 6.5. Lant de dimensiuni liniar

Este insa putin probabil ca toate cotele intermediare sa prezinte un camp de dispersie maxim. Astfel, din practica a rezultat ca cea mai probabila marime a campului de dispersie a cotei de inchidere C, pentru cazul lantului de dimensiuni liniar, poate fi obtinut grafic ca in fig. 6.6.

Conform fig. 6.6 cea mai probabila valoare a componentei aleatorii a erorii se poate exprima analitic prin relatia:

(6.10) ,

in care A_k = cos g_k este coeficientul (functia) de transfer al erorii.

In cazul cel mai general, cand cotele intermediare nu au aceeasi distributie si cand se prelucreaza mai multe piese, relatia (6.10) devine:

,

in care k_i, k este coeficient al distributiei relative pentru fiecare cota a lantului de dimensiuni, respectiv pentru elementul de inchidere C,

K - coeficient de eficienta, care a fost introdus pentru a fi in concordanta cu teoria probabilitatii. A fost introdus pentru ca relatia sa fie valabila pentru un numar foarte mare de cazuri, desi au fost verificate un numar limitat de piese.

Coeficientii de distributie relativa au fost introdusi pentru a transforma alte distributii (triunghiulara sau uniforma) in distributii normale-Gauss. Astfel, pentru distributia triunghiulara se va considera k = 1,22 , in timp ce pentru distributia uniforma se va lua k = 1,73.

Coeficientul de distributie k pentru elementul de inchidere se va lua egal cu acel coeficient de distributie k_i, care are o actiune net dominanta. Acesta isi va pune amprenta atat asupra marimii e(C), cat si asupra distributiei acestei marimi.

Avand in vedere ca in lantul de dimensiuni generalizat, redat in fig. 6.4 pot fi incluse dimensiuni care apartin: obiectului de lucru, dispozitivelor, cota de reglare si dimensiunile care se modifica sub actiunea fortelor de strangere, atat componenta aleatoare cat si cea sistematica a erorii pot fi determinata cu relatiile:

,

s (C) = sA + sP + sR + sF,

in care,

eA, sA reprezinta componenta aleatoare, respectiv sistematica a erorii autoinduse,

eP, sP - componenta aleatoare, respectiv sistematica a erorii de pozitionare,

eR, sR - componenta aleatoare, respectiv sistematica a erorii de reglare,

eF, sF - componenta aleatoare, respectiv sistematica a erorii de fixare.

Aplicatie

Se considera cazul frezarii unui obiect de lucru cilindric care este semicentrat pe o prisma, ca in fig. 6.7.

In figura a fost construit lantul dimensiunilor tehnologice LDT, care cuprinde vectorul cota de realizat C, vectorul cota de reglare C_R si un vector H care la randul lui poate sa fie descompus in vectorii :

, sau in scalar H = v - m + h

Vectorul cota de realizat C poate fi determinat din lantul de dimensiuni astfel:

,

Daca se scrie in scalar, ecuatia anterioara devine:

C = C_R - H

Vectorul H poate fi determinat prin componentele sale date in relatia (6.14), ale caror valori sunt determinate din triunghiurile prezentate in fig. 6.7 :

; , iar h este inaltimea prismei.

inlocuind in relatia (6.14) se va obtine:

Expresia marimii H se va inlocuii in relatia (6.16) obtinandu-se:

Cota C apare ca o functie de variabilele C=f(d,h,M,α, C_R). Intre variabile se gaseste variabila d care este diametrul obiectului de lucru, iar cele trei variabile h, M si α sunt parametri constructivi ai prismei, respectiv ai dispozitivului. Variabila C_R este cota de reglare.

Relatia (6.19) permite calculul diferentialei totale data in relatia (6.6). Coeficientii de transfer A_k pentru acest caz au urmatoarele valori:

(6.20)

Diferentiala totala a cotei C este:

(6.21)

Aplicand relatia (6.21) in cazul componentei sistematice s a erorii cotei C, se obtine:

Pentru componenta aleatoare ε a erorii cotei C se obtine:

In relatiile (6.22) si (6.23) apar componente sistematice, respectiv componente aleatorii ale erorilor unor dimensiuni care corespund diferitelor elemente componente ale sistemului tehnologic elastic STE, astfel:

s_d, ε_d - apartin obiectului de lucru (in acest caz un semifabricat) si induc asa numitele erori autoinduse;

s_M, ε_M, s_α, ε_α, s_h, ε_h - apartin dispozitivului (in acest caz prisma) si induc asa numitele erori de pozitionare;

s_R, ε_R - apartin cotei de reglare si induc asa numitele erori de reglare.

Deoarece in aplicatia prezentata anterior nu au fost luate in considerare deformatiile elastice si de contact, care apar la aplicare fortelor de strangere, in relatiile (6.22) si respectiv (6.23) nu au aparut asa numitele erori de fixare.