Campul electrostatic in vid. Ecuatii

Campul electrostatic in vid. Ecuatii

O problema importanta este calculul campului electrostatic, adica determinarea potentialului si a intensitatii campului in fiecare punct in functie de distributiile de sarcini electrice.

O prima cale de rezolvare a campului electrostatic in vid este aceea pornind de la formula intensitatii si potentialului pentru un sistem de sarcini punctiforme:

respectiv

Pentru o distributie continua a sarcinii electrice intr-un volum considerat se poate considera ca un element de volum dv, continand sarcina electrica elementara dq = _v dv produce un camp electric elementar pentru care potentialul si intensitatea campului pot fi calculate cu formulele:

,

Potentialul si intensitatea campului electric produs de sarcina electrica din intreg volumul v se poate deduce prin integrarea expresiilor de mai sus pe intreg volumul v:

, respectiv

Daca in volumul v se afla si sarcina electrica distribuita pe suprafete S, sau pe conductoare l atunci expresiile pentru potential si intensitatea campului electric devin:

Aceste rezultate sunt valabile numai daca se considera campul electric in intreg spatiul, mediul este omogen, iar la infinit campul electric este nul.

O abordare mai generala a problemei calculului campului electric se poate face tinand seama de cele cunoscute de la teoria campurilor vectoriale: vectorul camp este complet determinat daca in fiecare punct al domeniului de studiat se cunosc divergenta si rotorul vectorului camp si conditiile pe frontiera domeniului.

Conditiile pe frontiera pot fi in general:

• de tip Dirichlet, cand pe frontiera domeniului sunt cunoscute valorile potentialului V,
• de tip Neumann, cand pe frontiera domeniului sunt cunoscute componentele normale ale vectorului camp; E_n = - ∂V/∂n,
• mixte , cand pe o portiune a frontierei sunt cunoscute valorile potentialului V iar pe cealalta portiune componentele normale ale vectorului camp E_n

Ecuatiile campului electrostatic in vid sunt:

Tinand seama ca = - grad V = -V, se obtine:

sau, deoarece ;

,

rezulta, pentru campul electrostatic, ecuatia:

cunoscuta si sub denumirea de ecuatia lui Poisson.

In punctele din campul electrostatic unde nu exista sarcina electrica, _v = 0, ecuatia campului electrostatic devine:

Aceasta ecuatie este cunoscuta sub denumirea de ecuatia lui Laplace. Campurile electrice care satisfac ecuatia lui Laplace se numesc campuri Laplaciene.

Pentru campuri laplaciene bidimensionale , ecuatia lui Laplace este:

Rezolvarea ecuatiilor campului electrostatic se poate face analitic numai pentru anumite cazuri particulare.