Inductivitatile circuitelor electrice

Inductivitatile circuitelor electrice

Inductivitatea unui circuit electric se defineste ca raportul dintre fluxul magnetic total care strabate o suprafata limitata de conturul unui circuit si curentul care produce acest flux (oricare alti curenti sunt considerati nuli).

Daca in jurul circuitelor se afla numai medii liniare (μ=const.) inductivitatea depinde numai de dimensiunile si forma circuitului si de permeabilitatea magnetica a mediului. In cazul materialelor feromagnetice (μ dependent de H), inductivitatea nu este constanta ci depinde de curent (deci de H).

1. Inductivitati proprii si mutuale

Legea circuitului magnetic in regim stationar se poate scrie:

(5.38)

iar fluxul magnetic al unei singure spire a unui circuit este:

(5.39)

unde este fluxul fascicular, fluxul unei singure spire.

Daca bobina circuitului are N spire, atunci fluxul total este determinat de produsul dintre fluxul fascicular produs de o singura spira multiplicat cu numarul total de spire N al bobinei.

Daca mediul magnetic in care se afla circuitul este liniar (μ const.), din relatiile (5.38) si (5.39) rezulta ca intre fluxul magnetic fascicular (deci si intre fluxul magnetic total ) si curentul din circuit exista o relatie de proportionalitate:

(5.40)

sau     

(5.41)

aceasta marime L se numeste inductivitatea circuitului. Pentru medii liniare, ea depinde de μ si de forma si dimensiunile circuitului.

Se considera doua circuite si se presupune ca numai primul circuit este parcurs de curent (i₁≠0 si i₂=0) ca in figura 5.18. notand cu fluxul total produs de circuitul 1 ce trece prin cele N₁ spire ale circuitului 1, si cu fluxul total produs de circuitul 1 ce trece prin cele N₂ spire ale circuitului al doilea, se defineste inductivitatea proprie a circuitului 1 prin relatia:

(5.42)

Si inductivitatea mutuala sau de cuplaj intre circuitele 1 si 2, prin relatia:       (5.43)

In mod analog se defineste inductivitatea proprie a circuitului 2:

(5.44)

Si inductivitatea mutuala intre circuitul 2 si 1:

(5.45)

Inductivitatile mutuale satisfac conditiile de reciprocitate:

(5.46)

In practica se opereaza cu asa-numitul coeficient de cuplaj magnetic dintre doua bobine:

(5.47)

Bobinele cuplate magnetic au M=0, deci k=0, iar bobinele cuplate perfect au M²=L₁₂L₂₁ deci k=1. In general 0≤k≤1.

Spre deosebire de inductivitatea proprie care este totdeauna pozitiva, inductivitatea mutuala poate fi pozitiva, negativa sau nula. Aceasta deoarece fluxul unei bobine prin cealalta bobina poate avea acelasi sens (bobinele sunt in concordanta din punct de vedere magnetic) sau poate avea sens contrar (bobinele sunt in opozitie din punct de vedere magnetic).

In mod obisnuit, nu se figureaza explicit structura circuitului magnetic al bobinelor cuplate ci se adopta conventia: orice indicare a valorii algebrice a unei inductivitati mutuale L₁₂ este insotita de insemnarea cu un asterisc a uneia dintre bornele fiecarei bobine. Atunci cand sensul curentilor prin cele doua bobine cuplate magnetic sau orientate in acelasi mod fata de bornele polarizate (marcate cu asterisc) inductivitatea corespunzatoare are valoarea pozitiva M>0 (fig.5.19).

Daca semnele curentilor nu sunt orientate in acelasi mod fata de bornele polarizate, inductivitatea mutuala corespunzatoare acestor sensuri are valoarea negativa M<0 (fig.5.20).

Unitatea de masura pentru inductivitati in S.I. (sistemul international) este henry [H]:

(5.48)

2. Calculul inductivitatilor

Exista mai multe metode pentru calculul inductivitatilor. Unele din metode vor fi expuse in capitolele urmatoare.

Calculul inductivitatilor prin metoda directa

Cu aceasta metoda se procedeaza in patru etape:

- se presupune circuitul (bobina) parcurs de curentul i;

- se calculeaza inductia magnetica B in diferite puncte din camp (cel mai des cu legea circuitului magnetic se calculeaza );

- se calculeaza fluxul , apoi fluxul total (in cazul unei bobine cu N spire);

- se calculeaza inductivitatea .

Exemplu:

1. Calculul inductivitatii proprii a unei bobine toroidale cu sectiunea patrata (fig.5.21). Din motive de simetrie, liniile de camp sunt circulare si aplicand legea circuitului magnetic pe conturul Γ al unei linii de camp de raza r, se obtine:

(5.49)

Daca si datorita simetriei, este constant pe tot conturul si se poate scoate de sub integrala. Se obtine:

(5.50)

Inductia magnetica este:

(5.51)

Fluxul magnetic fascicular prin sectiunea A a torului este:

(5.52)

iar fluxul total al bobinei este:

(5.53)

Deci inductivitatea torului este:

(5.54)

Formula lui Neumann pentru calculul inductivitatilor mutuale a doua circuite filiforme

Se considera doua circuite filiforme de contururi Γ₁ si Γ₂ ca in figura 5.22. Fluxul produs de circuitul 1, care strabate circuitul 2, este:

(5.55)

Utilizand marimea vectoriala de calcul potential magnetic vector:

(5.56)

se obtine:

(5.57)

in cazul circuitelor filiforme, potentialul magnetic vector datorat circuitului 1 este:

(5.58)

Deci fluxul magnetic devine:

(5.59)

Unde R₁₂ este distanta dintre cele doua elemente de contur si .

Inductivitatea mutuala intre cele doua circuite va fi deci:

(5.60)

Aceasta relatie (5.60) reprezinta teorema lui Neumann referitoare la inductivitatile mutuale.

Observatie:

Examinand formula lui Neumann pentru calculul inductivitatilor mutuale se fac urmatoarele precizari:

1. Datorita existentei produsului scalar in formula, rezulta ca inductivitatea mutuala dintre doua circuite care au laturile perpendiculare este nula.

2. Prezenta la numitor a termenului R₁₂ face ca inductivitatea mutuala dintre doua circuite care se "ating" (R₁₂=0) sa fie redefinita. Cand se calculeaza inductivitatile (proprii sau mutuale) ale unor circuite filiforme trebuie considerat in calcule in mod obligatoriu dimensiunile transversale ale conductoarelor (de exemplu raza unui conductor filiform) chiar daca acestea sunt neglijabil de mici in comparatie cu alte marimi geometrice ale circuitelor.

3. Exprimarea tensiunii electromotoare (t.e.m.) induse cu ajutorul inductivitatilor

Autoinductia

Acest fenomen de inductie electromagnetica apare intr-un circuit electric ca urmare a variatiei fluxului magnetic prin inductivitatea proprie a circuitului respectiv. T.e.m. indusa prin autoinductie este data de expresia:

(5.61)

Semnul (-) arata ca sensul t.e.m. autoinduse este opus variatiei fluxului, respectiv curentului prin acel circuit. La cresterea curentului, t.e.m. tinde sa-i reduca viteza de crestere, iar la scaderea curentului, t.e.m. tinde sa se opuna acestei scaderi, intarziind-o.

Flux de dispersie. Inductivitati de dispersie

In mod normal, numai o parte din fluxul fascicular propriu produs de o bobina strabate p alta bobina, cuplata magnetic cu prima. Acest flux se numeste, "flux fascicular util". Restul fluxului este "flux de dispersie" sau "flux de scapari". In acest nou context vom putea scrie:

(5.62)

Corespunzator acestor fluxuri se pot defini inductivitati de dispersie pentru bobine cuplate, astfel:

(5.63)

In general .

Exprimarea t.e.m. cu ajutorul inductivitatii

Fie un ansamblu de doua bobine cuplate magnetic. Fluxul care strabate bobina 1 este dat de relatia:

(5.64)

Daca acest flux este variabil in timp, t.e.m. indusa in bobina (1) devine:

(5.65)

unde reprezinta t.e.m. de autoinductie, iar reprezinta t.e.m. de inductie mutuala (t.e.m. indusa prin variatia fluxului din circuitul (2) in circuitul (1)).