FRECVENTELE NATURALE ALE CIRCUITELOR LINIARE

FRECVENTELE NATURALE ALE CIRCUITELOR LINIARE

FRECVENTELE NATURALE

Se considera un circuit liniar N cu solutie unica si fara surse independente (); deci toate tensiunile si toti curentii din N se datoreaza conditiilor initiale, respectiv energiei inmagazinate in condensoarele si bobinele circuitului. In aceste conditii se calculeaza raspunsul circuitului la intrare nula.

Fie sistemul omogen de ecuatii algebrice si diferentiale care descrie comportarea circuitului scris sub forma de tablou in care

in care T(D) este o matrice de polinoame reale in D = d ( ) / dt si w (t) este un vector coloana format din v (t), u (t) si i (t) - variabilele circuitului.

Se cauta solutii ale sistemului de forma

unde este o constanta reala si un numar complex. Inlocuind in sistemul omogen de ecuatii si deoarece pentru orice se obtine

Acest sistem liniar de ecuatii algebrice are o solutie diferita de zero daca si numai daca

Polinomul se numeste polinomul caracteristic al circuitului N si radacinile lui se numesc frecvente naturale sau valori proprii ale circuitului N.

CALCULUL FRECVENTELOR NATURALE

Calculul frecventelor naturale se face cel mai comod determinand radacinile lui det[T(s)] daca s-au scris ecuatiile circuitului sub forma unui tablou sau ale lui det [Y(s)] daca s-au scris ecuatiile circuitului functie de potentialele la noduri. Se pot obtine valori nule pentru frecvente naturale pentru orice t si deci aceste frecvente naturale nule sunt asociate unui curent si/sau tensiune constanta.vezi Problemele 2 si 3 din Chestiuni de studiat.

Deoarece frecventele naturale ale unui circuit sunt proprietati ale intregului circuit orice schimbare a valorii unui element din N atrage dupa sine schimbarea tuturor frecventelor naturale (pot exista anumite cazuri particulare datorate unor anumite simetrii topologice sau unor valori numerice care sa nu influenteze valorile frecventelor proprii) vezi Problema 1 din Chestiuni de studiat.

Frecventele naturale depind numai de circuitul N, fiind o proprietate fizica a lui: orice circuit liniar cu solutie unica, fara surse independente va avea o solutie de tipul

daca si numai daca este o frecventa naturala a circuitului respective (demonstratia acestei proprietati: daca exista o solutie de forma w(t) de mai sus, atunci si rezulta ca si este o frecventa naturala).

Raspunsul circuitului la intrare nula functie de frecventele proprii.

Ecuatiile circuitului scrise sub forma tablou cu transformata Laplace, cu , sunt

unde si matricile sunt constante.

Daca sunt frecventele naturale ale circuitului, care rezulta din atunci aplicand regula lui Cramer sistemului de ecuatii tablou si dupa descompunere in fractii simple se obtine

respectiv

Definitii vezi Problema 4 din Chestiuni de studiat

Daca circuitul N are un raspuns de forma se spune ca acesta functioneaza in modul .

Se spune despre un circuit liniar N ca este exponential stabil daca toate frecventele lui naturale au partea reala negativa (<0) si modurile corespunzatoare sunt moduri stabile. In aceste conditii, pentru orice conditie initiala, raspunsul la intrare nula este (toate variabilele circuitului tind la zero cand ).

Daca o frecventa naturala exista in expresia obtinuta pentru o variabila a circuitului spunem ca modul asociat este observabil in variabila respectiva.

Daca un anumit mod apare in cel putin unul din raspunsurile circuitului ( tensiuni si curenti) atunci cand o sursa independenta este conectata la o poarta spunem ca modul respectiv este excitabil de la poarta respectiva.

La scrierea ecuatiilor circuitului pentru determinarea polinomului in s trebuie avut in vedere ca s sa aiba numai puteri positive (de exemplu pentru un condensator nu se scrie U (s)=I (s)/Cs ci I (s)=CsU (s))

Raspunsul circuitului la conditii initiale nule functie de frecventele proprii.

Functia de circuit este

respectiv este raspunsul la tensiune al unui circuit care are la intrarea j surse de current.

Daca se considera ecuatiile circuitului scrise sub forma tablou cu transformata Laplace pentru atunci functia de circuit H (s) este

H (s) este o functie rationala cu coeficienti reali. Se observa imediat ca numitorul lui H (s) este polinomul caracteristic circuitului N si ca polii lui H (s) sunt frecventele naturale ale lui N ,dar nu toate frecventele naturale sunt polii lui H (s) Se observa ca la calculul polinoamelor de la numaratorul si numitorul functiei de circuit pot exista factori comuni care se vor simplifica, si deci toate frecventele naturale corespunzatoare acestor factori simplificati nu mai sunt poli ai functiei de circuit

CHESTIUNI DE STUDIAT SI MOD DE LUCRU

Problema 1.

1.Sa se construiasca un circuit RLC de ordinul 3 sau 4 , sa se determine polii si sa se schimbe parametrii circuitului astfel incat polii sa se mute pe axa imaginara sau in semiplanul drept

Calculul simbolic se va face cu programul SAPWIN 3.

START PROGRAMS SapWin3 SapWin FILE NEW

Se deseneaza circuitul avand la intrare o sursa de tensiune si cu iesire in curent Pentru a roti elementele de circuit se clicheaza pe butonul din dreapta mouse-ului.

Analysis Complete analysis apare functia de transfer in forma simbolica.

Pole/zero Polii apar cu semnul * si zerourile cu ⁰ calculati cu valorile numerice unitare pentru toti parametrii circuitului.

2. Sa se vizualizeze raspunsul la excitatie impuls Dirac unitar pentru toate cazurile de la punctul 1. Sa se explice rezultatele obtinute.Pentru a avea diferite valori pentru un anumit parametru , pe ecranul cu poles/zero se clicheaza pe butonul parameter

Impulse-Resp se alege pentru end-time (dreapta sus pe ecran) valoarea 5 t corespunzatoare constantei de timp asociate frecventei naturale .

Problema 2 Sa se construiasca un circuit cu o bucla de bobine. Se va observa existenta unei frecvente naturale in origine

Problema 3. Sa se construiasca un circuit cuo sectiune de condensatoare. Se va observa existenta unei frecvente naturale in origine.

Problema 4. Pentru circuitele de mai jos sa se studieze excitabilitatea si observabilitatea modurilor

Frecventele naturale ale celor trei circuite de mai jos sunt -1 si +1.

Cele trei circuite au aceeasi functie de circuit deci un pol egal cu -1, deoarece factorul comun (s-1 ) se simplifica intre numaratorul si numitorul lui H(s).

In continuare se vor studia excitabilitatea si observabilitatea in modurile de functionare ale celor trei circuite:

(a)    observabilitatea ( V₀ - iesire la borna a si la b)

(b)    excitabilitate ( I_s -intrare la borna a si la b)

(c)    modul -1 nu este excitabil prin nici o intrare si nici nu este observabil la nici o iesire

(a)

se schimba borna de iesire din a in b

se calculeaza polii si zerourile pentru R1 = -1W

se urmareste raspunsul la impuls Dirac unitar

interpretati rezultatele

(b)

- se schimba borna de intrare din a in b

se calculeaza polii si zerourile pentru R2 = -1W

se urmareste raspunsul la impuls Dirac unitar

interpretati rezultatele

(c)

se calculeaza polii si zerourile pentru R2 = -1W

se urmareste raspunsul la impuls Dirac unitar

interpretati rezultatele

se vor incerca toate combinatiile intrare-iesire ca la exemplele (a) si (b)