Conditii initiale si de contur

Conditii initiale si de contur

Ecuatia transferului de caldura, asa cum este ea prezentata in forma (14), (17) sau (19), este o ecuatie diferentiala cu derivate partiale. Pentru rezolvarea ei sunt necesare definirea clara a domeniului studiat precum si a conditiilor initiale si de contur.

Daca temperatura este functie de spatiu, nu si de timp, regimul se considera stationar; in caz contrar campul termic este nestationar.

In cazul regimului stationar, cunoasterea campului termic cere definirea domeniului de studiu si a conditiilor de contur, in timp ce regimurile nestationare necesita, in plus, stabilirea conditiilor initiale.

Fig. 4. Conditii initiale si de contur.

Conditiile initiale si de contur sunt de urmatoarele tipuri (Fig. 4):

a)      conditii de contur de tip Dirichlet,

T=T₀=constant; (21)

b)      conditii de contur de tip Newmann,

constant, (22)

unde n este normala in punctul considerat pe conturul domeniului de studiu. Folosind legea lui Fourier, conditiile de contur de tipul (22) exprima (in punctul considerat pe contur) valoarea fluxului termic q' schimbat de domeniul de studiu si mediul exterior acestuia

= constant; (23)

c) conditii de contur de tip Robin,

= constant, (24)

unde a si b sunt functii ce depind de sistemul de referinta si problema de rezolvat.

Acest tip de ecuatie se intalneste, spre exemplu in cazul convectiei. Conditia ca fluxul termic ce ajunge, prin conductie, la suprafata piesei sa fie preluat prin convectie se scrie

, (25)

unde: T_∞ este temperatura mediului ambiant; 'h' este coefficientul de transfer termic [W/m/K].

Daca in relatiile (22)(24) constantele situate in partea dreapta a semnului egal sunt zero, conditiile de contur se numesc omogene.

Exemplul 1. Conditii de contur la interfata dintre doua corpuri solide.

Fig. 5. Interfata dintre doua corpuri solide aflate in contact

Figura 5 considera doua corpuri solide aflate in contact in punctul M. La contact, n1 si n2 sunt vectorii normali la cele doua corpuri solide. Campurile termice corespunzatoare si proprietatile lor de material sunt: T₁ si, respectiv, T₂; densitatea ρ₁, ρ₂; caldura specifica c₁, c₂; conductivitatea termica k₁, k₂; difusivitatea termica α_1, α₂.

La contactul dintre doua corpuri solide de impun conditii de contur de tip Dirichlet si Newmann, continuitatea temperaturii si a fluxului termic in punctul de contact M:

; (26)

(27)

Exemplul 2: Conditii de contur la interfata dintre un corp solid si un fluid.

Fig. 6. Interfata dintre un solid si un fluid.

La interfata dintre un corp solid si un fluid se impune continuitatea fluxului de caldura q₁, ce se transmite prin conductie in interiorul corpului, si fluxul de caldura q₂, transmis de fluid. Daca T este campul termic in piesa iar ρ, c, k, α sunt densitatea, caldura specifica, conductivitatea si, respectiv, difusivitatea termica acesteia, prin Legea lui Fourier scrisa in punctul M, fluxul termic in piesa devine:

, (28)

iar campul termic preluat de fluid este

, (29)

unde T_∞ este temperatura fluidului iar h este coeficientul de transfer termic prin convectie dintre piesa si fluid.

Egaland (28) si (29), se obtine:

, (30)

care, dupa re-aranjarea termenilor, devine:

. (31)

Conditia (31) este o conditie de contur de tip Robin care, asa cum anticipam, se gaseste in cazul interfetei solid/fluid.