FENOMENE DE POLARIZARE PRIN DUBLA REFRACTIE (BIREFRINGENTA

1. Experienta lui rasmus Bartholinus

La sfarsitul secolului optsprezece, fizicianul olandez rasmus Bartholinus a descoperit fenomenul de dubla refractie (birefringenta) cu ajutorul unei lame paralelipipedice de spat de Islanda (specie minerala de calcit - CaCO₃ cristalizat).

Prin iradierea lamei de calcit cu o raza subtire de lumina, perpendiculara pe fata de intrare, se constata aparitia in lama - in afara razei transmise conform legilor clasice ale Opticii geometrice - a unei a doua raze de lumina, avand directia oblica fata de suprafata de intrare (v. fig.1.1). Pentru ca aparitia acestei raze nu poate fi explicata de Optica geometrica, ea se numeste raza extraordinara, in timp ce raza ce se supune legilor Opticii geometrice este numita raza ordinara.

Rotind lama de calcit in jurul directiei razei incidente, raza extraordinara efectueaza o rotatie pe suprafata unui cilindru a carui axa de simetrie este directia razei ordinare.

Pentru a putea explica experienta lui Bartholinus, este necesara deducerea ecuatiei razei de lumina (in general, a razei electromagnetice) in medii anizotrope.

2. Deducerea ecuatiei razei electromagnetice (de lumina) in medii anizotrope

Tinand seama de faptul ca vectorul de unda este definit prin relatia: putem scrie relatiile de structura ale undei (in dielectrici anizotropi):

sau, intr-o forma echivalenta:

si: .

Pentru a introduce directia razei electromagnetice (data de vectorul unitar al densitatii de flux de energie electromagnetica (vectorul Poynting)) in relatiile de structura, vom multiplica (vectorial la stanga) relatiile (2.1) cu versorul :

Tinand cont de expresia dublului produs vectorial:

ca si de ortogonalitatea vectorului Poynting in raport cu intensitatile campurilor electric si - respectiv - magnetic: , relatiile (2.2) devin:

Pornind de la faptul ca directiile de propagare ale fazei () si respectiv energiei () undei electromagnetice sunt diferite in medii anizotrope, precum si ca frontul de unda (suprafata pana la care au ajuns la un moment dat oscilatiile electromagnetice) este perpendicular pe vectorul de unda , se obtine ca raportul vitezelor de propagare ale energiei electromagnetice w si - respectiv - fazei este (vezi fig. 2.1):

Introducand relatia (2.5) in relatiile precedente (2.4), relatiile de structura ale undelor electromagnetice in medii anizotrope capata urmatoarele expresii:

, .

Eliminam intensitatea campului magnetic din relatiile (2.6) si obtinem:

Multiplicand relatia precedenta cu rezulta ca:

unde este matricea unitate de ordinul al treilea. Se constata ca intensitatea campului electric al undei electromagnetice pate fi exprimata prin relatia:

Pentru a elimina, in final, si intensitatea campului electric, multiplicam relatia precedenta cu vectorul unitar al densitatii de flux de energie electromagnetica, dat fiind ca acesti doi vectori sunt ortogonali:

Deoarece in medii anizotrope inductia electrica nu mai este perpendiculara pe vectorul Poynting: , obtinem din relatia precedenta expresia matriciala a ecuatiei razei electromagnetice (de lumina):

.

Este binecunoscut faptul ca matricea (tensorul) permitivitate electrica este simetrica, ca si faptul ca matricele simetrice se pot diagonaliza in raport cu 3 axe ortogonale, numite axele principale ale tensorului simetric. Fie OX, OY si OY - axele principale ale tensorului si , , - cosinusii directori ai razei electromagnetice in raport cu axele principale OX, OY si OZ (vezi figura 2.2). Tinand cont ca inversa unei matrice diagonale este matricea diagonala ale carei elemente de pe diagonala sunt egale cu inversele elementelor corespondente din matricea originala, putem scrie ecuatia (2.10) in forma echivalenta:

Efectuand produsele acestori vectori si matrice, obtinem expresia algebrica a ecuatiei razei electromagnetice:

Multiplicam ecuatia (2.11) cu produsul numitorilor si obtinem ecuatia bipatrata in

daca valorile proprii , ecuatia (2.11') va avea 2 solutii pozitive pentru necunoscuta si alte 2 solutii negative, egale in modul cu solutiile pozitive. Constatam astfel ca in medii medii anizotrope exista doua unde electromagnetice diferite, care se propaga cu viteze distincte in lungul aceleiasi directii a razei electromagnetice (aceasta constatare teoretica corespunde fenomenului de birefringenta).

Conditia de egalitate () a solutiilor pozitive ale ecuatiei (2.11'):

este satisfacuta pentru 2 directii paralele, numite axe optice ale mediului anizotrop. Datorita faptului ca mediile anizotrope generale: prezinta doua axe optice, aceste medii (materiale) se numesc biaxe.

Daca: , ecuatia (2.12) devine:

unde . Constatam astfel ca unica solutie a ecuatiei (2.12) este (de unde ), deci mediile anizotrope pentru care doua valori proprii sunt egale si diferite in raport cu a treia valoare proprie: au o singura axa optica ce coincide cu axa de simetrie OZ. Din acesta cauza, aceste medii anizotrope se numesc uniaxe.

Dat fiind ca cele mai multe aplicatii ale fenomenului de polarizare prin birefringenta corespund mediilor uniaxe, vom studia in continuare principalele caracteristici ale fenomenului de polarizare prin birefringenta produsa de mediile uniaxe.

Suprafete radiale de unda corespondente diverselor tipuri de materiale uniaxe

Pentru mediile (materialele) uniaxe, ecuatia (2.11') a razei electromagnetice are factorul comun . Se stie ca factorul comun se poate simplifica, punand conditia:

.

Solutia ecuatiei (1):

corespunde unei unde electromagnetice a carei viteza nu depinde de directia razei electromagnetice, avand deci o suprafata radiala de unda de forma sferica. Evident, este vorba aici de componenta ordinara (a undei electromagnetice in medii anizotrope uniaxe).

Dupa simplificare (prin factorul comun ) ecuatia razei electromagnetice (2.11') devine:

.

Introducand viteza: ,

ecuatia precedenta capata forma:

.

Intrucat cosinusii directori , si pot fi exprimati prin intermediul coordonatelor X, Y si Z ale unui punct de observatie P situat pe raza de lumina care trece prin originea O ca (v. figura 4):

si: ,

unde este modulul razei vectoare, ecuatia (5) devine:

unde este timpul necesar undei electromagnetice pentru a ajunge in punctul de observatie P plecand din originea O. Constatam astfel ca suprafata radiala de unda ce corespunde celei de a doua unde electromagnetice care se propaga pe directia are forma unui elipsoid de revolutie; cum suprafetele undei obisnuite nu sunt elipsoidale, aceasta componenta a undei electromagnetice intr-un mediu anizotrop uniax se numeste extraordinara.

Pornind de la ecuatia (6), se constata ca viteza componentei extraordinare in lungul axei optice coincide cu viteza componentei ordinare: w_extr.Z = w_ord. , deci suprafetele radiale de unda corespunzand componentelor extraordinara si - respectiv - ordinara sunt tangente in puncte situate in lungul axei optice. Se constata astfel ca: are semnificatia vitezei componentei extraordinare in lungul unei directii perpendiculare pe axa optica (in particular, in lungul axelor principale OX, OY).

Problema 3: Deduceti dependenta vitezei componentei extraordinare de unghiul q format de raza electromagnetica (de lumina) cu axa optica.

Solution: Figura 5 arata ca: X²+Y²=r²sin²q si: Z=r.cosq , deci ecuatia radiala a componentei extraordinare (6) devine:

de unde:

Tinand seama de definitia indicelui optic de refractie:

se defineste indicele radial de refractie prin relatia:

in particular: si: , (8)

unde c este viteza luminii in vid. Se introduce in continuare marimea fizica birefringenta (eliptica) prin relatia: (9)

In functie de semnul birefringentei (eliptice), dielectricii anizotropi (fata de rotatii) sunt numiti: dielectrici (cristale) pozitive (daca B>0) sau, respectiv, dielectrici (cristale) negative (B>0).

Un exemplu tipic de dielectric pozitiv este cel al cristalului de cuart:

_{Celula elementara a cristalului de cuart are forma unei prisme hexagonale regulate, terminata cu doua piramide hexagonale regulate (v. fig.2). Datorita simetriei sale de cel mai inalt ordin (ordinul 6), axa optica a cristalului de cuart coincide cu dreapta care uneste varfurile piramidelor hexagonale. Tinand seama ca: , viteza radiala corespunzand componentei extraordinare este mai mica decat cea corespunzand componentei ordinare: , deci suprafata radiala de unda corespunzand componentei extraordinare este interioara suprafetei de unda sferice corespunzand componentei ordinare (v. fig. 2).}

Fig. 2

_{In ceeace priveste cristalele negative, un exemplu tipic este cel al cristalului de calcit, care are forma unui romboedru (figura geometrica rezultata prin deformarea unui cub, efectuand o comprimare in lungul diagonalei care uneste doua varfuri opuse ale cubului). Axa optica a cristalului de calcit are directia diagonalei care uneste varfurile romboedrului, care sunt in acelasi timp varfurile a 3 unghiuri obtuze egale (v. figura 3). Tinand seama ca pentru cristalul de calcit:}

_{, (deci: B = -0,1719),}

_{reiese ca viteza radiala corespunzand componentei extraordinare este mai mare decat cea a componentei ordinare, deci suprafata radiala de unda a componentei extraordinare va fi exterioara fata de suprafata de unda sferica corespunzand componentei ordinare.}

_{Fig. 3}

_{4. Stari de polarizare ale undelor electromagnetice in medii anizotrope uniax}

_{Starile de polarizare ale undelor electromagnetice in mediile anizotrope uniax pot fi deduse pornind de la relatia de structura (2.7):}

_{Scrisa fata de axele principale OX, OY, OZ ale tensorului permitivitatii, precedenta relatie capata forma:}

_{a) Cazul componentei ordinare}

_{Avand in vedere ca (v. relatia (1)):}

relatia (4.1) devine:

Tinand seama ca directia razei electromagnetice (ordinare) este in general diferita de directia axei optice: , precum si de faptul ca: , , reiese ca:

, deci ca intensitatea campului electric al componentei ordinare este perpendiculara pe directia axei optice. Intensitatea campului electric este de asemenea perpendiculara pe vectorul Poynting, deci este perpendiculara pe planul format de axa optica si directia razei electromagnetice: . Avand in vedere ca planul format de axa optica si de directia razei de lumina este numit plan principal al undei electromagnetice, rezulta ca oscilatiile campului electric al componentei ordinare sunt perpendiculare pe planul principal al undei. Se constata astfel starea de totala (lineara) polarizare a componentei ordinare.

_{b)      Cazul componentei extraordinare}

In acest caz: , deci relatia (4.1) arata ca oscilatiile campului electric al componentei extraordinare sunt paralele cu directiile axului optic () si - respectiv - razei electromagnetice (), ceeace inseamna ca oscilatiile campului electric al componentei extraordinare sunt paralele cu planul principal al undei.

5. Interpretarea experientei lui Erasmus Bartholinus

Sa consideram incidenta normala pe fata de intrare AA' a unei lame de calcit a unui fascicul luminos (fig. 5.1). Oscilatiile campului electric care ajung la momentul initial in diferite puncte 1,2,.N ale suprafetei AA' vor fi imprastiate la un moment ulterior: t (> t₀) in conformitate cu prima parte a principiului lui Huygens - pe suprafete radiale de unda emisferice Σ₀ (componenta ordinara) si pe suprafete radiale semi-elipsoidale Σ_e (oscilatiile campului electric al componentei extraordinare). Pentru o directie arbitrara (oblica) a axei optice in raport cu fata de intrare a lamei, suprafetele radiale Σ₀ si Σ_e vor fi tangente in punctele B si B' situate pe axa optica (v. figura 5.1).

In conformitate cu cea de a doua, respectiv a treia parte a principiului lui Huygens: (i) frontul suprafetelor radiale ale undelor secundare este suprafata infasuratoare, tangenta fata de toate suprafetele radiale ale undelor secundare, (ii) directia razei electromagnetice este data de dreapta care uneste centrul unei unde secundare cu punctul de tangenta al frontului de unda cu respectiva suprafata radiala de unda, se constata ca: a) fronturile undelor ordinare si - respectiv - extraordinare sunt planele F_ord. F_extr. , corespunzand punctelor de tangenta: 1₀, 2₀, N₀ si - respectiv: 1_e, 2_e, N_e , b) in timp ce raza extraordinara va avea directia normalei pe fata de intrare, raza extraordinara va avea directia oblica 11_e (≡ 22_e , NN_e), corespunzand punctelor de tangenta: 1_e, 2_e, N_e .

In conformitate cu principiul reversibilitatii directiilor razelor electromagnetice, directia razei extraordinare la iesirea din lama birefringenta va reveni la aceea (normala pe fetele lamei de calcit) a razei incidente.

In ceeeace priveste starile de polarizare ale componentelor ordinara si - respectiv - extraordinara, daca axa optica este situata in planul foii de hartie, planul principal al undei va coincide cu aceasta foaie, deci oscilatiile campului electric al componentei ordinare vor fi perpendiculare pe foaia de hartie, in timp ce acelea ale componentei extraordinare vor fi situate in planul foii (v. figura 5.1).

Pentru a explica pe deplin rezultatele experientei lui rasmus Bartholinus, sa consideram acum si cazul rotatiei lamei in jurul directiei razei incidente 11₀. Tinand seama ca axa optica este solidara cu lama birefringenta, aceasta rotatie este echivalenta cu rotatia foii de hartie, inclusiv a razei extraordinare, in jurul directiei 11₀ a razei incidente. Se constata astfel ca teoria electromagnetica a lui Maxwell a mediilor anizotrope explica toate constatarile experientei lui rasmus Bartholinus.