Studiul compunerii oscilatiilor perpendiculare de aceeasi frecventa. Determinarea vitezei sunetului in aer

I.           Principiul metodei

In aceasta lucrare se utilizeaza metoda compunerii a doua miscari oscilatorii armonice de aceeasi pulsatie (frecventa), dar care se efectueaza pe doua directii perpendiculare, Δ₁, Δ₂. Elongatia miscarii oscilatorii a unui punct material M care se deplaseaza dupa directia Δ₁, in jurul punctului fix O, este data de ecuatia:

(1)

Daca facem ca simultan dreapta Δ₁ sa execute ea insasi o miscare oscilatorie armonica, de aceeasi pulsatie ω, dar dupa directia Δ₂, perpendiculara pe Δ₁ si tot in jurul punctului O (fig. 1.), atunci la acelasi moment t, elongatia acestei miscari va fi:

(2)

In relatiile (1) si (2) marimile (x, y), (A, B), (ω, φ₁, φ₂) reprezinta respectiv elongatiile, amplitudinile, pulsatia si fazele initiale, iar intre cele doua miscari exista in general o diferenta de faza:

(3)

Compunerea celor doua oscilatii va da o miscare rezultanta a punctului material; forma traiectoriei se afla prin eliminarea timpului din relatiile (1) si (2):

(4)

(5)

In mod similar, inmultim ecuatiile sistemului (4) respectiv prin sinφ₂, sinφ₁ si facem diferenta. Se gaseste:

(6)

Prin ridicarea la patrat a ecuatiilor (5) si (6) si adunarea membru cu membru, rezulta:

(7)

astfel incat traiectoria miscarii rezultante, descrisa de ecuatia (7), reprezinta, in cazul general o elipsa, inscrisa in dreptunghiul de laturi 2A si 2B.

Pentru diferite valori ale diferentei de faza δφ, traiectoria miscarii rezultante poate fi o dreapta sau elipse cu axe si excentricitati diferite. Sa analizam cateva cazuri particulare.

a).    Pentru , k = 0,1,2., ecuatia (7) devine:

(8)

deci traiectoria este o dreapta care trece prin originea sistemului de coordonate, fiind diagonala dreptunghiului de laturi 2A, 2B din cadranele I si III (fig. 2).

Considerand k = 0, deci , din relatiile (1) si (2) se gaseste elongatia miscarii rezultante:

(9)

rezultat din care trebuie sa retinem ca miscarea punctului M este de asemeni o miscare oscilatorie, de aceeasi pulsatie cu a miscarilor componente.

b).   Pentru , k=0,1,2,., miscarea este oscilatorie ca si in cazul precedent, efectuata dupa dreapta de ecuatie:

reprezentand diagonala ce trece prin cadranele II si IV.

c).    Pentru cazul , cand miscarile componente sunt in cvadratura de faza,

(10)

in conformitate cu ecuatia (7), miscarea rezultanta are ca traiectorie o elipsa:

(11)

raportata la semiaxele A si B (fig. 3.). dupa ecuatiile (10), miscarea se efectueaza in semiorar. Daca semiaxele sunt egale A=B, miscarea are loc pe un cerc de ecuatie:

(12)

d).   Pentru cazul , din ecuatia miscarii componente:

rezulta pentru traiectorie tot o elipsa sau un cerc, date de relatiile (11) si (12), sensul de parcurs fiind cel antiorar.

Traiectoria miscarii rezultante si sensul de parcurgere, cand miscarile se efectueaza pe directii perpendiculare, iar defazajul variaza intre 0 si 2π sunt redate in fig. 4.

II.         Descrierea dispozitivului experimental

Componentele esentiale ale dispozitivului experimental sunt urmatoarele:

Generator de semnal in banda de audiofrecventa (GAF);

Difuzorul (D), care transforma oscilatiile electrice in oscilatii mecanice, percepute de ureche sub forma de sunet;

Traductorul - microfon - (M) ce transforma semnalul acustic in semnal electric;

Tubul (T), de lungime variabila, care ghideaza semnalul sonor intre (D) si (M);

Osciloscopul (O); pe ecranul tubului catodic se vizualizeaza traiectoria miscarii rezultante.

Pe placile de deflexie orizontala X se aplica semnalul direct de la (GAF), iar pe placile de deflexie verticala Y se aplica semnalul de la traductorul (M), dupa ce in prealabil sunetul a parcurs lungimea tubului (T).

Schema bloc a dispozitivului experimental descris este redata in fig. 5.

III.      Modul de lucru

Daca se considera ca origine a fazelor initiale faza φ₁, atunci miscarea rezultanta se efectueaza dupa o dreapta, cand se introduce un defazaj .

La o modificare a distantei dintre (M) si (D), cu , se introduce un defazaj:

(13)

Cand modificam distanta δL astfel ca pe ecranul oscilatorului sa reapara aceeasi dreapta, s-a introdus un defazaj , caruia ii corespunde o diferenta de drum

(14)

Plecand de la aceasta concluzie, se poate determina viteza de propagare a semnalului in mediu, in cazul nostru viteza de propagare a sunetului in aer:

(15)

unde l₁, l₂ se citesc direct pe o rigla gradata, atasata dispozitivului, iar υ pe scara de frecventa a generatorului de audio frecventa (GAF).

La final se face calculul erorilor prin metoda erorii mediei patratice.

- Tabel de date -