CAMPUL ELECTROSTATIC - TEOREMA RELAXATIEI SARCINII ELECTRICE, POTENTIALULUI ELECTROSTATIC

CAMPUL ELECTROSTATIC

1 Teorema relaxatˇiei sarcinii electrice

In aplicatii adesea se asimileaza cu regimul electrostatic si anumite regimuri lent variabile in timp. Atunci este important sa se stabileasca conditiile in care repartitia de sarcina este apropiata de cea electrostatica.

Fie un corp omogen in al carui volum exista la un moment dat un camp electric si o repartitie de sarcina r_v. Se pot scrie urmatoarele relatii si rezulta . Introducand ultima expresie in forma locala a legii fluxului electric se obtine

Cu aceasta expresie, forma locala a legii conservarii sarcinii electrice devine

Notand cu t e s marimea de material numita timp de relaxatie, solutia acestei ecuatii este

Dupa ..5 t densitatea de volum a sarcinii se poate considera neglijabila. Variatia densitatii de volum a sarcinii este insotita, evident, de un curent electric. Durata acestui proces la metale este de (10^-1910^-17) s, la semiconductori de (10^-1510^-2) s, iar la dielectricii tehnici de (10^-310⁷) s.

Rezultatul obtinut este valabil numai in medii omogene. In medii neomogene (grad(e s  0) poate aparea o distributie de volum a sarcinii in regim electrocinetic stationar.

Teorema potentialului electrostatic

Un camp electrostatic o data stabilit se mentine fara a fi nevoie de vre-un aport de energie din exterior. Din principiul de conservare a energiei rezulta in acest caz urmatoarea proprietate: in camp electrostatic nu se poate obtine lucru mecanic prin efectuarea unui ciclu de transformare reversibil.

Se considera un ciclu de transformare reversibil, constand din deplasarea pe o curba inchisa G a unui corp de proba incarcat cu o sarcina electrica q_p (fig. 2-1); miscarea se efectueaza suficient de incet, pentru a putea considera, in continuare, o succesiune de stari electrostatice.

Lucrul mecanic efectuat de forta electrica care se exercita asupra corpului de proba, are expresia

in care W_in si W_fin sunt energiile sistemului (camp + corp de proba) in starea initiala si in cea finala.

Intrucat la deplasarea pe o curba inchisa starea initiala coincide cu starea finala, rezulta egalitatea energiilor W_in = W_fin si se obtine urmatoarea proprietate importanta: circulatia intensitatii campului electrostatic este nula pentru orice curba inchisa

Aceasta este forma integrala a teoremei potentialului electrostatic. Teorema rezulta in regim static din legea inductiei electromagnetice si are mai multe consecinte.

a) In camp electrostatic nu exista linii de camp inchise. In adevar, daca ar exista o asemenea linie, pe aceasta produsul ar avea mereu acelasi semn si integrala de contur nu ar putea fi nula (decat daca E s

b) In camp electrostatic, tensiunea electrica intre doua puncte nu depinde de drum. In adevar, considerand intre doua puncte A si B doua drumuri C₁ si C₂ (fig. 2-2), pe conturul inchis G format prin reunirea celor doua drumuri, rezulta

Tensiunea electrica U_AB, intre cele doua puncte A si B, are aceeasi valoare pe oricare dintre drumuri.

c) In camp electrostatic se poate defini o functiune scalara de punct, numita potential, determinata cu urmatoarea regula de calcul

curba pe care se calculeaza integrala fiind arbitrara.

d) In camp electrostatic tensiunea electrica intre doua puncte este egala cu diferenta potentialelor acelor puncte

e) Forma diferentiala a relatiei (2-3) este

Din aceasta expresie se deduce ca in lungul unei linii de camp potentialul scade. Intr-adevar, in lungul unei linii de camp sunt vectori omoparaleli, deci produsul lor scalar este pozitiv si atunci dV < 0.

f) Teorema potentialului electrostatic se poate exprima si in forma locala

adica se poate defini o functiune scalara de punct, numita potential, al carei gradient cu semn schimbat este intensitatea campului electric.

In domenii de continuitate si netezime a proprietatilor fizice se poate obtine o alta forma locala, aplicand expresiei (2-2) teorema lui Stokes: circulatia unui vector camp pe orice curba inchisa G este egala cu fluxul rotorului sau prin orice suprafata S_G marginita de acea curba (fig. 2-3)

In aceasta expresie elementul de arc si versorul normalei au sensuri asociate dupa regula burghiului drept.

Rezulta alta forma locala a teoremei potentialului electrostatic

Aceasta relatie se poate obtine si formal, tinand seama de expresia (2-6) si de proprietatile produsului vectorial

g) In medii liniare, omogene, fara distributii de sarcina electrica, potentialul electric isi atinge extremele pe frontiera domeniului.

Aceasta proprietate se demonstreaza prin reducere la absurd. Sa presupunem ca s-a gasit in interiorul domeniului un punct M₀ in care potentialul are un maxim V₀. Fie S o suprafata inchisa in jurul punctului M₀ in care toate punctele au potentialul V₁ mai mic decat V₀: V₁ = V(M) V₀, pentru orice M I S (fig. 2-4). Conform proprietatii (2-5) in aceasta vecinatate toate liniile de camp trebuie sa fie orientate de la punctul M₀ spre punctele suprafetei S (in sensul de scadere a potentialului). Intrucat mediul este liniar si omogen, , deci vectorul inductiei electrice este orientat spre suprafata S , iar fluxul electric prin S este pozitiv

In baza legii fluxului electric in interiorul suprafetei S ar trebui sa existe o sarcina electrica pozitiva, ceea ce contrazice afirmatia initiala, ca domeniul nu are distributii de sarcina electrica. Deci nu exista puncte interioare in care potentialul sa aiba maxime.

O demonstratie asemanatoare se face si pentru existenta unui punct de minim. In concluzie, in medii liniare, omogene, fara sarcini electrice, valorile extreme ale potentialului electric sunt atinse pe frontiera domeniului.

Aplicatie. Campul si potentialul electrostatic al unui fir rectiliniu infinit, incarcat cu sarcina lineica r_l constanta.

Campul electric se determina tinand seama de simetria axiala (cilindrica): vectorul camp este continut in planul transversal, are directie radiala si depinde numai de raza r (distanta fata de fir). Suprafata inchisa a luata in consideratie este compusa dintr-o suprafata laterala cilindrica S_l, coaxiala cu firul, de lungime l si de raza r, inchisa prin doua discuri S₁ si S₂ , de raza r (fig. 2-5): a = S₁ S_l S₂.

Fluxul electric prin cele doua discuri este nul, vectorul camp fiind perpendicular pe normalele la aceste suprafete

Atunci rezulta succesiv

Considerand nul potentialul in punctul situat la distanta r₀ de fir, potentialul va avea expresia

Potentialul obtinut este numit potential logaritmic. De obicei se considera (conventional) r₀ = 1 si atunci

3. Conductoarele in camp electrostatic.

Experienta arata ca un conductor neutru se electrizeaza la introducerea lui in camp electric. Acest fenomen se numeste electrizare prin influenta si consta in repartizarea unor sarcini electrice pe suprafata conductorului, fara modificarea sarcinii electrice (adevarate) totale a conductorului (nula in cazul conductorului izolat si initial neutru).

In teoria microscopica, acest fenomen se explica - la metale - prin schimbarea pozitiei electronilor liberi (de conductie), sub influenta      campului electric din conductor. In starea finala, campul electric in conductoarele omogene si neaccelerate este nul , iar intensitatea campului electrostatic in fiecare punct al suprafetei conductoarelor are numai componenta perpendiculara pe suprafata; in caz contrar particulele purtatoare de sarcini electrice s-ar deplasa in conductor sau pe suprafata sa si nu ar fi indeplinita conditia de echilibru electrostatic.

In cazul conductoarelor omogene si neaccelerate, in regim electrostatic rezulta urmatoarele proprietati:

a) Toate punctele din interiorul unui conductor au acelasi potential (diferenta de potential intre diferitele puncte ale corpului, egala cu tensiunea electrica intre acele puncte, este nula, intrucat E s 0); deci suprafetele conductoarelor sunt suprafete echipotentiale si liniile de camp sunt perpendiculare pe aceste suprafete;

b) Sarcina electrica a conductoarelor este repartizata strict superficial, iar sarcina din interiorul conductoarelor este nula (este o consecinta a legii fluxului electric: intrucat , rezulta si apoi q_S

c) La suprafata conductoarelor, inductia electrica este egala cu densitatea de suprafata a sarcinii electrice. In adevar, aplicand legea fluxului electric unei suprafete S ca in figura 3-1, intrucat in conductor inductia este nula, iar la suprafata este perpendiculara pe suprafata conductorului, rezulta

unde D_n este componenta inductiei electrice dupa normala exterioara a suprafetei conductorului si atunci

d) In cavitatile fara sarcini electrice din interiorul conductoarelor omogene si neaccelerate campul electric este nul (efectul Faraday), intrucat conductorul fiind echipotential, in cavitati practicate in el campul electric trebuie sa fie nul. Acest efect se foloseste in instalatiile de inalta tensiune pentru ecranarea (prin conductoare legate la pamant)

a locurilor de observatie si de comanda in care se afla persoane (fig. 3-2), astfel incat acestea sa poata fi asezate in apropierea platformelor de experimentare.

e) Orice suprafata echipotentiala din camp poate fi inlocuita printr-o suprafata conductoare ('foita metalica'), fara a perturba campul ('principiul metalizarii' suprafetelor echipotentiale).

In conductoare neomogene sau accelerate pot sa apara campuri imprimate, caracterizate prin valoarea locala a intensitatii campului electric imprimat . Atunci conditia de echilibru electrostatic devine , conditie care anuleaza forta de natura electrica exercitata asupra purtatorilor de sarcina electrica.

Conditii de trecere prin suprafete de discontinuitate a proprietatilor electrice

Se considera o suprafata de discontinuitate, fara densitate superficiala de sarcina electrica adevarata, care desparte doua medii cu permitivitati diferite e si e . Conditiile de trecere se pot stabili folosind legea fluxului electric si teorema potentialului electrostatic.

Se aplica legea fluxului electric unei suprafete inchise S_S, de forma unei prisme elementare foarte plate, avand bazele de arie DA situate de o parte si de alta a suprafetei de separatie (fig. 4-1) si cu inaltimea h foarte mica in comparatie cu dimensiunile bazelor. Se obtine succesiv

sau

La trecerea printr-o suprafata de discontinuitate, neincarcata cu sarcini electrice, se conserva componenta normala a inductiei electrice.

Se aplica teorema potentialului electrostatic unui mic contur inchis S_G, care trece pe cate o lungime Dl de o parte si de alta a suprafetei de discontinuitate (fig. 4-2). Se obtine

sau

La trecerea printr-o suprafata de discontinuitate se conserva componenta tangentiala a intensitatii campului electric.

Cu ajutorul acestor doua conditii de trecere, se poate stabili teorema refractiei liniilor de camp electric. Se noteaza cu a unghiul de incidenta si cu a unghiul de refractie al unei linii a campului electric (fig. 4-2). Atunci rezulta succesiv

La trecerea printr-o suprafata de discontinuitate, liniile de camp electric se refracta astfel incat tangentele unghiurilor fata de normala suprafetei sa fie proportionale cu permitivitatile. Atunci la iesire dintr-un material cu permitivitate mai mare intr-unul cu permitivitate mai mica liniile de camp se apropie de normala.

5. Ecuatiile potentialului electrostatic

5.1. Potentialul electric scalar

Ecuatia (2-6) arata ca orice camp electrostatic deriva dintr-un potential scalar

Cu ajutorul legii legaturii dintre si a legii polarizatiei electrice temporare, considerand nula polarizatia permanenta (), inductia electrica se poate exprima sub forma , iar apoi cu legea fluxului electric se pot stabili succesiv urmatoarele relatii ale potentialului scalar

Se obtine, astfel, ecuatia potentialului scalar al campului electrostatic

in care e poate fi functiune de punct, iar in cazul mediilor neliniare (univoce) este functiune si de intensitatea campului electric (5-1). In medii anizotrope, permitivitatea electrica e poate fi un tensor (

In medii liniare, omogene si izotrope permitivitatea este o constanta scalara si intrucat div grad = D, potentialul satisface ecuatia lui Poisson

In domeniile fara sarcina electrica r_v = 0 potentialul electrostatic satisface ecuatia lui Laplace

Solutiile ecuatiei lui Laplace se numesc functii armonice.

Pentru a rezolva ecuatia lui Laplace intr-un domeniu D trebuie cunoscuta functia spatiala a permitivitatii e(M), pentru orice M I D si anumite conditii la limita pe frontiera domeniului D. Pentru ecuatia Poisson      este necesara in plus cunoasterea repartitiei spatiale a surselor r_v(M).

O problema cu conditii la limita este corect formulata daca solutia exista, este unica si depinde continuu de datele problemei.

Conditiile de unicitate a solutiilor se pot stabili cu ajutorul formulelor lui Green pentru campuri de scalari.

5.2. Formulele lui Green pentru campuri de scalari

Fie U si V doua campuri de scalari, definite in domeniul D. Aplicand formula Gauss-Ostrogradski fluxului campului biscalar , se obtine prima formula a lui Green pentru campuri de scalari

Pentru U = V, ultima relatie devine

Inlocuind in (5-6) V cu U si scazand din (5-6), membru cu membru relatia obtinuta, se stabileste a doua formula a lui Green pentru campuri de scalari

5.3. Conditii de frontiera de tip Dirichlet Si Neumann

Se noteaza formal C_f conditiile la limita (de frontiera) prescrise potentialului scalar V si derivatelor sale.

Fie V₁(M) si V₂(M) doua solutii ale ecuatiei (5-4), cu valori diferite in punctele M ale domeniului D,

cu aceleasi conditii de frontiera

Se noteza V_d(M) campul scalar diferenta

Acest camp satisface ecuatia lui Laplace si are conditii de frontiera nule. Formula (5-7) scrisa pentru campul diferenta este

Se definesc partile frontierei F_D(M_D), pentru orice M_D I D si F_N(M_N), pentru orice M_N I D, iar F_D F_N = D, F_D F_N = 0.

Integrandul primului membru al ecuatiei (5-12) se anuleaza daca

V_d(M) = 0, pentru orice M I F_D(M); acestea se numesc conditii Dirichlet sau de prima speta (trebuie data valoarea potentialului in punctele frontierei F_D(M_D));

pentru orice M I F_N(M); acestea se numesc conditii Neumann sau de a doua speta (trebuie data valoarea derivatei dupa normala in punctele frontierei F_N(M_N));

o combinatie liniara a primelor doua; acestea se numesc conditii Robin sau de a treia speta.

O conditie de frontiera este omogena sau naturala daca valorile date sunt nule.

Observatie. Conditiile Neumann prescrise trebuie sa satisfaca o conditie suplimentara, rezultata din legea fluxului electric. Conditia se obtine integrand ecuatia (5-4) pe domeniul D si transformand integrala de volum din membrul stang (intrucat D = div grad). Se obtine

Se mai demonstreaza (Lebesgue) ca pentru frontiere cu varfuri problema lui Dirichlet nu are in general solutie unica.

5.4 Teorema unicitatii solutiilor ecuatiilor Poisson Si Laplace pentru potentialul scalar

Teorema are urmatorul enunt. Ecuatiile Poisson (5-4) si Laplace (5-5), cu conditii pe frontiera de tip Dirichlet au solutii unice, iar cu conditii Neumann sunt unice pana la o constanta aditiva.

Teorema se demonstreaza continuand rationamentul din subcapitolul precedent. In ecuatia (5-12), atat pentru problema Dirichlet, cat si pentru problema Neumann este nul membrul stang si primul integrand din membrul drept. Prin urmare

deci V_d(M) = const. In problema Dirichlet V_d este nul pe frontiera si constanta este nula, adica V₁(M) = V₂(M), pentru orice M I D D. Solutia este unica. In problema Neumann V₁(M) - V₂(M) = const si solutia este unica pana la o constanta aditiva.

6. Teorema unicitatii Si superpozitiei campurilor electrostatice

Aceste teoreme sunt enuntate fara demonstratie, ele fiind consecinte directe ale teoremei de unicitate si superpozitie a campurilor electromagnetice.

Teorema unicitatii in campul electrostatic.

Campul electrostatic dintr-un domeniu al spatiului ocupat de un mediu dielectric, cu permitivitatea data si independenta de camp, este univoc determinat de repartitia in spatiu a sarcinilor electrice adevarate din domeniul respectiv si de componenta normala a intensitatii campului electric pe suprafetele-frontiera ale domeniului (teorema lui Neumann), sau de repartitia in spatiu a sarcinilor electrice adevarate si de repartitia potentialului electrostatic pe suprafetele-frontiera ale domeniului (teorema lui Dirichlet). Daca suprafetele- frontiera se departeaza la infinit, repartitia in spatiu a sarcinii gasindu-se numai intr-un domeniu marginit, conditiile la limita sunt

Teorema superpozitiei campurilor electrostatice.

Intensitatea campului electric rezultant, produs de corpuri cu n distributii de sarcini electrice adevarate , k = 1,2, , n, situate intr-un mediu liniar, intr-o regiune marginita a spatiului, este egala cu suma intensitatilor campurilor electrice care s-ar produce daca ar exista fiecare distributie in parte, in lipsa celorlalte. Teorema este valabila pentru medii liniare si pentru intregul domeniu in care exista camp electric produs de aceste sarcini.

In cazul particular a n conductoare in regim electrostatic si avand potentialele V₁, V₂, , V_n (cu V = 0), potentialul rezultant V, intr-un punct cu vectorul de pozitie , are expresia

unde este potentialul in punctul considerat, in ipoteza ca potentialul conductorului k ar fi egal cu unitatea, potentialele toturor celorlalte conductoare fiind nule.

Aceasta teorema are si urmatoarea forma particulara: daca este nul potentialul punctelor de la infinit si sarcinile electrice adevarate ale tuturor conductoarelor cresc de l ori, atunci si potentialele conductoarelor, respectiv potentialul fiecarui punct din spatiu, cresc de l ori.