MODELUL LINIAR DE REGRESIE

MODELUL LINIAR DE REGRESIE

Modelul de regresie:

y_i = f(x_i) + u_i

(y_i)_i=1,,n - valorile reale ale variabilei dependente (sau efect, sau variabila endogena)

(x_i)_i=1,,n - valorile reale ale variabilei independente (sau cauza, sau variabila exogena)

(u_i)_i=1,,n - variabila reziduala - reprezinta influentele celorlalti factori ai variabilei y, nespecificati in model

Modelul liniar unifactorial:

y_i = a + bx_i + u_i

I. Estimarea parametrilor a si b prin metoda celor mai mici patrate

T T

k- numarul variabilelor din model

Exemplu:

(x_i)_i=1,,n - suprafata comerciala in m²

(y_i)_i=1,,n - incasari medii lunare (in milioane lei)

Interpretare:

La cresterea suprafetei comerciale cu 1 m² incasarile medii lunare vor creste cu 0,012 milioane lei lunar.

Pentru o suprafata comerciala de 0 m² incasarile medii lunare sunt de 0,258 milioane lei (Atentie la posibilitatea existentei din punct de vedere economic a acestei situatii).

Observatie:

Pentru modelul liniar multifactorial se noteaza:

si

Pentru estimarea parametrilor se rezolva ecuatia matriceala:

II. Estimatorii si obtinuti prin metoda celor mai mici patrate sunt estimatori de verosimilitate maxima daca sunt verificate ipotezele:

1. Valorile observate nu sunt afectate de erori de masura

si

Exemplu:

s_x si

s_y si

Se verifica daca toate valorile observate pentru variabila x sunt in intervalul:

(81-3*39,1024; 81+3*39,1024), deci in (-36,3072;198,3072)

Se verifica daca toate valorile observate pentru variabila y sunt in intervalul:

(1,23-3*0,4818; 1,23+3*0,4818), deci in (-0,2154;2,6754)

2. Ipoteza de homoscedasticitate: variabila aleatoare reziduala u este de medie nula: M()=0 iar dispersia ei este constanta si independenta de x.

Pe baza acestei ipoteze este verificata stabilitatea legaturii antre x si y.

Se verifica daca:

Cov(x,u)=0

Daca nu este verificata acesta ipoteza se elimina fenomenul de heteroscedasticitate prin metoda regresiei ponderate:

y_i = a + bx_i + u_i

Notand: si pentru se estimeaza parametrii modelului:

si se revine la modelul initial.

Exemplu:

y_i = -12,72 + 0,37 x_i

Cov (x,u) = -6,448/10 diferit de 0. Deci exista fenomenul de heteroscedasticitate.

Pentru eliminarea acestuia se estimeaza modelul obtinut prin metoda regresiei indirecte si se obtine:

Pentru acest model sunt verificate toate ipotezele si se revine la modelul initial:

3. Ipoteza de autocorelare a erorilor

Pentru a verifica daca erorile nu sunt autocorelate se va aplica testul Durbin Watson:

Din tabela Durbin Watson sunt preluate valorile d₁ si d₂ pentru un nivel de semnificatie a ales si pentru k=numarul variabilelor exogene iar n=numarul variabilelor observate.

0 < d < d₁ T autocorelare pozitiva a erorilor

d₁ d d₂ T indecizie, recomandandu-se acceptarea autocorelarii pozitive

d₂ < d < 4-d₂ T erori independente

4-d₂ d 4-d₁ T indecizie, recomandandu-se acceptarea autocorelarii negative

4-d₁<d<4 T autocorelare negativa a erorilor

Daca statistica Durbin Watson calculata nu se afla in intervalul al treilea erorile sunt autocorelate.

Pentru eliminarea autocorelarii se transforma modelul astfel:

unde

T

Deci:

Notand: se obtine un nou model:

Dupa estimarea parametrilor acestui model se revine la modelul initial.

4. Ipoteza de normalitate a valorilor variabilei reziduale

Se verifica daca pentru un nivel de semnificatie a este verificata relatia:

pentru orice i.

III. Semnificatia parametrilor estimati si

Se testeaza ipotezele:

si

Se calculeaza statisticile:

si

Pentru un prag de semnificatie a este extrasa valoarea t_a din tabelul repartitiei Student.

Daca a este semnificativ.

Daca b este semnificativ.

Exemplu:

Daca modelul de regresie liniara estimat este:

Pentru un nivel de semnificatie a = 0,05 si n = 8 (numarul de observatii), valoarea tabelata a repartitiei Student este: t_0,05;8 = 2,306.

Deci t_a>t_0,05;8 si t_b>t_0,05;8, deci a si b sunt semnificativi.

Observatie:

Daca b nu este obtinut semnificativ se poate spune ca variabila efect (y) nu este influentata liniar de catre variabila cauza (x).

IV. Verificarea verosimilitatii modelului

Verosimilitatea modelului este verificata cu ajutorul analizei dispersionale.

k = numarul variabilelor din model

Pentru un nivel de semnificatie a si pentru k-1 si n-k grade de libertate valoarea tabelata a repartitiei Fisher este F_a;k-1;n-k

Daca F_calc > F_a;k-1;n-k atunci modelul este verosimil.

Pentru a spune in ce masura variatia variabilei efect este datorata variatiei variabilei cauza se calculeaza raportul de corelatie:

Pentru testarea semnfificatiei raportului de corelatie se foloseste testul Fisher:

Daca F_calc > F_a;k-1;n-k atunci raportul de corelatie este semnificativ.

Exemplu:

Acest model econometric descrie dependenta dintre cele doua variabile explicand 98,19% din variatia totala a variabilei dependente y.

sau

Variatia variabilei efect y se datoareaza in proportie de 98,19% variatiei variabilei cauza.

V. Previziune

Exemplu:

x'=130

t_0,01=3,355

Intervalul de incredere:

y₁₃₀

y₁₃₀I

Observatie:

Pentru modelul multifactorial de regresie liniara:

Exemplu model de regresie liniar multifactorial:

Modelul de regresie:

p=2, n=13

T

In continuare sunt testate ipotezele modelului, semnificatia parametrilor si verosimilitatea modelului.

Pentru prognoza variabilei y pentru x¹=64 si pentru x²=23:

t_0,05;13-2-1=2,228

Intervalul de incredere: