Rezolvarea numerica a problemelor neliniare cu date de intrare sub forma discreta

Rezolvarea numerica a problemelor neliniare cu date de intrare sub forma discreta

Tematica lucrarii: 1. Definirea problemei;

2. Metoda de rezolvare numerica;

3. Procedura de calcul;

4. Concluzii.

1. Definirea problemei

Rezolvarea cantitativa a problemelor fizice sau ingineresti se bazeaza pe un model matematic. Acesta consta intr-o serie de ecuatii si eventual o serie de conditii suplimentare care asigura existenta si unicitatea solutiei. Ecuatiile modelului matematic pot fi de tip algebric sau diferential. Sa consideram cazul algebric. Daca ecuatiile contin puteri superioare ale necunoscutei sau functii elementare ca de exemplu sin(x), ln(x), etc. spunem ca ecuatiile sunt neliniare. Rezolvarea unor astfel de probleme este dificila si se bazeaza de regula pe metode locale (care se aplica pe un anumit interval restrans).

Din fericire totusi, multe probleme tehnice pot fi reduse la ecuatii liniare, cu majoritatea coeficientilor constanti, si cu un numar restrans de coeficienti neliniari. Acesta este cazul, de exemplu, al unui circuit electric care contine dispozitive neliniare (rezistenta neliniara, dioda, tranzistor, etc.). Uneori neliniaritatea dispozitivului poate fi modelata cu o functie continua, data de o anumita expresie. In acest caz rezolvarea se poate face relativ simplu utilizand metode locale, cum sunt metoda coardei si tangentei pentru ecuatiile cu o singura necunoscuta sau metoda Newton-Raphson pentru sistemele de ecuatii neliniare.

In majoritatea cazurilor reale insa, caracteristica dispozitivului este data sub forma unei curbe experimentale, dificil de aproximat cu functii elementare. Rezulta ca pentru a aplica rezolvarea numerica este necesar sa discretizam curba, adica sa utilizam o multime de esantioane ale acesteia, reprezentate sub forma unui vector.

2. Metoda de rezolvare numerica

Pentru a rezolva numeric o ecuatie neliniara care contine coeficienti sub forma de functii date prin curbe experimentale este necesar sa recurgem la metodele de interpolare. Acest lucru se impune datorita faptului ca metodele de rezolvare a ecuatiilor neliniare se bazeaza fie pe exprimari diferentiale (ca in cazul metodei lui Newton) fie implica evaluari in anumite puncte, determinate in cadrul metodei, care de regula nu coincid cu punctele in care este definita curba experimentala.

Metodele de interpolare polinomiala nu sunt de cele mai multe ori, potrivite in astfel de situatii. Acestea sunt caracterizate de regula, printr-o mare neuniformitate a erorii de aproximare. Astfel polinomul de interpolare Lagrange poate produce erori mari, in intervalele dintre punctele date, daca gradul este ridicat. Polinomul lui Newton poate produce erori mari departe de punctul de referinta fata de care sunt calculate diferentele finite.

Aceste tipuri de erori sunt foarte nocive atunci cand este aplicata o metoda locala, cu caracter iterativ. Erorile de aproximare pot perturba serios procesul de aproximare a solutiei, ducand in cazul cel mai defavorabil la divergenta. Rezulta ca interpolarea curbei experimentale trebuie realizata cu erori cat mai mici, pe un interval cat mai larg, cu alterari cat mai reduse asupra formei de variatie a functiei respective. Cea mai eficienta metoda de interpolare, din punctele de vedere mentionate mai sus, este aproximarea cu fuctii Spline. Acestea sunt caracterizate prin netezime ridicata (derivatele functiei sunt definite pana la un anumit grad) si realizeaza o aproximare globala optimala. Faptul ca functiile Spline sunt netede pe intreg intervalul de interpolare constituie un avantaj important datorita faptului ca pot fi aplicate metode numerice cu caracter diferential (implicand derivata necunoscutei).

Rezulta ca pentru a rezolva numeric o ecuatie neliniara trebuie sa parcurgem urmatoarele etape:

esantionarea caracteristicii data experimental;

determinarea functiilor Spline de aproximare;

aplicarea unei metode iterative de rezolvarea a problemei continue.

3. Procedura de calcul

Sa consideram exemplul de calcul urmator. Fie un circuit electric continand o sursa de tensiune continua E, un rezistor (ideal) R1 si o rezistenta neliniara R(i) cu urmatoarele valori:

E := 50 R1 := 1

Fig.1. Schema circuitului electric

Sa presupunem (in mod conventional) ca rezistenta neliniara are caracteristica reprezentata de tabelul 1. Datele fiecarei linii din tabel definesc cate un vector, dat prin componentele sale. Sa consideram vectorii corespunzatori curentului si tensiunii, i si u cu reprezentarea explicita:

i = (i , i , i , i , i , i , i , i (1)

u = (u , u , u , u , u , u , u , u (2)

Tabelul 1

In cadrul MathCad se poate trasa graficul dependentei intre variatia curentului si tensiunii, utilizand variabilele generice i_k si u_k, atunci cand k ia valori de la 0 la 7 (amintim ca numerotarea implicita a componentelor vectorilor se face de la zero). Rezulta o caracteristica aproximata cu segmente de dreapta avand o viteza de variatie mai redusa aproape de origine si o zona de saturatie spre capatul intervalului (fig. 2).

Fig. 2. Caracteristica aproximata cu segmente liniare

Sa trecem acum la aproximarea acestei caracteristici cu functii Spline. Limbajul MathCad permite lucrul cu functii Spline intr-o maniera directa. Acestea pot fi introduse in cadrul programului daca sunt cunoscuti vectorii corespunzatori valorilor variabilei independente si ale esantioanelor functiei. Definirea functiei Spline are loc in doua etape. Prima duce la calculul coeficientilor (utilizati in calculul pe portiuni a functiei), iar cea dea doua defineste functia Spline propriu-zisa. Aceasta este construita printr-un de interpolare folosind coeficientii precalculati. Daca notam cu w vectorul coeficientilor, pentru functiile Spline cubice, rezulta instructiunile MathCad:

w := cspline(i,u) (3)

S(t) := interp(w,i,u,t) (4)

Ecuatia de functionare a circuitului de mai sus este:

(5)

Rezistenta neliniara din circuit se manifesta de fapt, prin caderea de tensiune produsa atunci cand este parcursa de curent. Sa notam cu f(i) functia neliniara definita de aceasta cadere de tensiune:

(6)

Atunci ecuatia circuitului se poate rescrie:

(7)

Rezolvarea acestei ecuatii este echivalenta cu gasirea curentului i pentru care are loc anularea unei functii F(i) definita de expresia urmatoare:

(8)

Daca utilizam o variabila generica oarecare t functia F poate fi definita ca functie MathCad. La randul ei functia caracteristica f poate fi substituita prin reprezentarea cu functii Spline S(t). Rezulta:

(9)

Cautarea curentului i pentru care este satisfacuta ecuatia F(i) = 0 se poate realiza prin intermediul unui proces iterativ de aproximare a solutiei, utilizand de exemplu metoda lui Newton. In acest caz ecuatia recursiva asociata este:

(10)

Metoda este convergenta daca prima aproximare a solutiei i se afla in interiorul intervalului in care ecuatia are o solutie unica si este indeplinita conditia:

(11)

adica semnele functiei F(i) si derivatei de ordinul doi F'(i) coincid in punctul de pornire i = i

Pentru cazul de fata sa alegem valoarea nula si sa o introducem in cadrul MathCad cu expresia:

i (12)

Un avantaj major al limbajului MathCad este posibilitatea utilizarii directe a operatorului de derivare actionand asupra oricarei expresii de tip functie. Afirmatia ramane valabila si atunci cand aceasta expresie contine functii Spline. Pentru a putea programa in MathCad sa notam cu dF(t) derivata functiei F(t), unde t este tot o variabila generica.

(13)

Pentru executia programului MathCad este necesara alegerea unei variabile sir, cu un numar N de valori, corespunzator numarului total de iteratii:

k := 0..N (14)

Odata ce a fost stabilita valoarea de pornire i si domeniul de variatie a indicelui k prin scrierea expresiilor de definitie rezulta vectorul i corespunzator valorilor rezultante din procesul iterativ. Daca alegem N := 5 se obtine:

i = [ 0 , 5.192 , 4.821 , 4.819 , 4.819 , 4.819] (15)

Se observa ca numai dupa patru iteratii se obtine stabilizarea procesului de aproximare. Acest rezultat este conform cu modul de variatie a functiei F(i), reprezentat in graficul de mai jos:

Fig.3. Modul de variatie al functiei F(i)

Se cere:

Introducerea datelor corespunzatoare functiei definite de caracteristica neliniara;

Trasarea graficului functiei caracteristicii neliniare, aproximata cu functii Spline;

Rezolvarea numerica, in limbaj MathCad, prin metoda lui Newton, a problemei date;

Studiul convergentei solutiei, in functie de caracteristica data.

4. Concluzii

In lucrare este prezentat o metoda de rezolvare a unei ecuatii neliniare, atunci cand termenul neliniar este o functie data prin valori discrete, cum este cazul caracteristicilor experimentale, date prin puncte. Procedeul prezentat utilizeaza interpolarea cu functii Spline si metoda lui Newton pentru rezolvarea ecuatiilor neliniare. Implicarea functiilor Spline are avantajul unei interpolari netede cu o eroare de aproximare globala optima. Procedura prezentata este direct implementabila in limbaj MathCad si poate fi extinsa si pentru probleme mai complexe.