Oscilatii fortate. Rezonanta

Oscilatii fortate. Rezonanta

Sa consideram un oscilator mecanic format dintr-un resort elastic si un corp de dimensiuni neglijabile. Datorita fortei de frecare, energia mecanica a oscilatorului se consuma n timp, astfel ncât oscilatia este amortizata, aa cum am vazut în paragraful 3.4. Pentru a întretine miscarea oscilatorie,trebuie sa se aplice forte exterioare (numite forte de fortare), care sa compenseze pierderile de energie din sistem În acest caz, punctul material va efectua o miscare oscilatorie fortata. Dintre tipurile de forte de fortare (sau perturbatoare) ce se pot aplica sistemului oscilant, un caz interesant pentru aplicatiilepractice este cel n care fortele perturbatoare sunt periodice.

Experienta arata ca o miscare periodica întretinuta prezinta un regim tranzitoriu, dupa trecerea caruia se instaleaza regimul permanent. Regimul tranzitoriu este de scurta durata, iar regimul permanent se manifesta prin oscilatii ntretinute.

1. Rezonanta

Aa cum am vazut n paragraful anterior, dupa stabilirea regimului permanent al oscilatiei întretinute, frecventa de oscilatie este egala cu frecventa fortei perturbatoare. Sistemul oscilant adopta pulsatia fortei perturbatoare, care este diferita de pulsatia sa proprie de oscilatie ca sistem

Rezonanta este fenomenul fizic de aparitie a maximului amplitudinii oscilatiei ntretinute. Sistemul fizic aflat la rezonanta oscileaza cu amplitudine maxima. Deci,din punct de vedere fizic, este ideal sa amplificam la maxim o oscilatie armonica, totusi în practica trebuie evitate situatiile în care frecventa fortei de întretinere coincide cu frecventa proprie a oscilatorului,deoarece în acest caz amplitudinea tinde la infinit. Rezonanta mecanica are multiple aplicatii în tehnica.

Fig. 3.18. Curbe de rezonanta pentru diferite valori ale coeficientului de amortizare:

Astfel, în acest paragraf am constatat ca în cazul oscilatiilor întretinute, sau fortate, forta exterioara produce un lucru mecanic ce compenseaza pierderile de energie din sistemul oscilant. În paragraful urmator vom vedea cum se caracterizeaza din punct de vedere energetic oscilatiile ntretinute.

Fig. 3.19. Variatia modulului fazei intiale a oscilatiei permanente în

2. Consideratii energetice ale oscilatiilor fortate

În continuare vom defini câteva marimi fizice care caracterizeaza transferul energiei mecanice în sistemul ce efectueaza oscilatii fortate, sau ntretinute.

1. Puterea instantanee absorbita de sistemul oscilant întretinut reprezinta derivata la timp a lucrului mecanic efectuat de forta de fortare.

2. Puterea medie absorbita în decursul unei perioade reprezinta integrala pe o perioada a puterii instantanee absorbite P_a (t).

3. Puterea instantanee disipata sub forma de caldura de catre forta de frecare reprezinta derivata la timp a lucrului mecanic efectuat de forta de frecare.

4.Puterea medie disipata ntr-o perioada reprezinta integrala pe o perioda a puterii instantanee disipate.

Fig. 3.20. Puterile medii absorbita si disipata

Oscilatii mecanice ,aplicatii

Oscilatii armonice

Un corp efectueaza oscilatii armonice atunci când asupra lui actioneaza o forta de tip elastic:

F = - k x,

k –constanta elastica; x –elongatie; m –masa;

, ω₀ – pulsatie proprie; , T₀ –perioada proprie;

x(t) = A sin (ω₀ t + φ);

Oscilatii amortizate:  

Oscilatiile unui corp sunt amortizate atunci cand asupra lui actioneaza, pe lânga forta de tip elastic (- k x) si o forta rezistenta proportionala cu viteza (– α v):

F = - k x – α v, α –coeficient de rezistenta;

,,   ω –pulsatia oscilatiei amortizate;

β –factor de amortizare;

Observatie: Avem de-a face cu miscare de oscilatie numai daca .

x(t) = A e ^{- β t} sin (ω t + φ);

- decrement logaritmic;

T – perioada miscarii oscilatorii amortizate.

Oscilatii fortate

Forta care întretine oscilatia este sinusoidala de amplitudine F₀ si pulsatie ω₁:

F = - k x – α v + F₀ sin (ω₁ t);

x(t) = A₁ sin (ω₁ t - φ₁ )

;

A₁ (ω₁) = maxima ω₁= ω_rez =.

1.       O particula efectueaza oscilatii sinusoidale de-a lungul axei Ox în jurul pozitiei de echilibru. Pulsatia oscilatiilor este ω = 5 rad/s. La momentul t₀=0 particula se gaseste în pozitia x₀ = 12 cm si are viteza =0,6 m/s. Determinati legea de miscare si legea vitezei.

R: cm; m/s.

2.       Determinati pulsatia si amplitudinea oscilatiilor sinusoidale efectuate de o particula daca la distantele x₁ si x₂ de la pozitia de echilibru viteza particulei are valorile v₁ si v₂.

R: , .

3.       Un corp de masa m = 0,05 kg fixat de capatul unui resort de constanta elastica k = 20 N/m executa o miscare oscilatorie armonica de-a lungul axei Ox. Stiind ca la momentul t₀ = 0 corpul are doar energie cinetica, iar energia cinetica maxima a corpului este de 9·10 ^-3 J, sa se determine:

a)    legea de miscare;

b)    energia totala a corpului.

R: a) x(t) = 0,03 sin(20 t) m; b) E_t = 9·10 ^-3 J.

4.       Un corp de masa m = 0,05 kg fixat de capatul unui resort executa o miscare oscilatorie armonica de-a lungul axei Ox dupa legea:

m. Sa se determine:

a)          constanta elastica a resortului si perioada oscilatiilor;

b)          energia totala a corpului;

c)           momentele de timp la care energia cinetica este egala cu energia potentiala.

R: a) k = 5 N/m, s; b) E_t = 6.25·10 ^-3 J; c) s, unde n=numar natural.

5.          Un punct material efectueaza o miscare oscilatorie amortizata de-a lungul axei Ox. Perioada miscarii este T=3 s, iar decrementul logaritmic δ=0,6. Sa se scrie legea de miscare, stiind ca la momentul initial t₀ = 0, x₀ = 0, v₀ = 0,5 m/s.

R: .

6.       Sa se scrie expresia vitezei oscilatiilor amortizate.

Rezolvare:

x(t) = A₀ e ^{- β t} sin (ω t + φ),

,

;

,

7.       Un punct material executa oscilatii amortizate cu pulsatia ω. Sa se determine coeficientul de amortizare β daca la momentul t₀ = 0 viteza punctului material este nula, iar elongatia este de n ori mai mica decât amplitudinea.

R: .

8.       Un corp oscileaza într-un mediu cu decrementul logaritmic δ_1. Care este decrementul logaritmic δ₂ daca coeficientul de rezistenta al mediului creste de n ori?

Rezolvare:

;

,

;

,

.

9.       Un corp oscileaza într-un mediu cu decrementul logaritmic δ_1. De câte ori trebuie sa creasca rezistenta mediului pentru ca oscilatia amortizata sa devina miscare amortizata aperiodica (β₂ = ω₀).

R: .

10.    Un corp de masa m=250 g executa o miscare de oscilatie amortizata cu factorul de amortizare β = π/4 s ^{– 1}, perioada oscilatiilor proprii fiind s. Oscilatiile corpului devin fortate în urma actiunii unei forte exterioare periodice N. Sa se scrie elongatia oscilatiilor fortate.

R: m.

11.    Amplitudinea oscilatiilor fortate este aceeasi pentru doua frecvente ν₁ si ν_2. Sa se afle frecventa de rezonanta a oscilatiilor.

R: .

12.    Asupra unui corp, care efectueaza o miscare oscilatorie amortizata cu perioada oscilatiilor proprii T₀, actioneaza o forta exterioara sinusoidala de amplitudine F_0. La rezonanta vitezelor, amplitudinea oscilatiilor este A_0. Sa se afle coeficientul de rezistenta.

Rezolvare:

x(t)=A₁ sin (ω₁ t - φ₁ ) - legea de oscilatie în cazul oscilatiilor fortate;

v(t)=A₁ ω₁ cos (ω₁ t - φ₁ )

Rezonanta vitezelor se realizeaza atunci când :

ω₁ A₁= maxima ω₁ = ω₀

;

Dar , iar .

13.    Un corp care efectueaza o miscare oscilatorie fortata are amplitudinea vitezei egala cu 1/3 din amplitudinea vitezei la rezonanta vitezelor, pentru doua pulsatii ω₁ si ω₂. Sa se afle:

a)    pulsatia proprie a oscilatorului ω₀;

b)   factorul de amortizare β.

R: a) ;   b) .

Compunerea oscilatiilor armonice paralele

a)       Oscilatii cu aceeasi pulsatie

x₁ (t) = A₁ sin (ω t + φ₁),

x₂ (t) = A₂ sin (ω t + φ₂);

Rezultatul compunerii a doua oscilatii armonice paralele de aceeasi pulsatie este tot o oscilatie armonica de aceeasi pulsatie pe aceeasi directie.

x (t) = x₁ (t) + x₂ (t) x (t) = A sin (ω t + φ)

, .

b)       Oscilatii cu pulsatii putin diferite

Rezultatul compunerii a doua oscilatii armonice paralele de pulsatii diferite nu mai este o oscilatie armonica.

x₁ (t) = A sin (ω₁ t + φ₁),

x₂ (t) = A sin (ω₂ t + φ₂),

x (t) = x₁ (t) + x₂ (t) ;

Daca pulsatiile sunt foarte apropiate între ele, iar amplitudinile oscilatiilor care se compun sunt egale, oscilatia rezultanta este aproape sinusoidala:

În cazul frecventelor acustice sunetul de pulsatie se aude succesiv, întarindu-se si slabindu-se cu pulsatia si perioada batailor: .

Compunerea oscilatiilor armonice perpendiculare

a)       Oscilatii cu aceeasi pulsatie

x (t) = A₁ sin (ω t + φ₁),

y (t) = A₂ sin (ω t + φ₂);

Traiectoria unui punct material supus simultan la doua oscilatii armonice perpendiculare de aceeasi pulsatie este o elipsa a carei forma depinde de :

.

b)       Oscilatii cu pulsatii diferite

Un punct material supus simultan la doua oscilatii armonice perpendiculare de pulsatii diferite are o traiectorie complicata. Daca raportul pulsatiilor este un numar rational traiectoria este una din figurile Lissajous, forma traiectoriei depinzând si de diferenta de faza .

14.    Un punct material este supus simultan la doua miscari oscilatorii armonice descrise de legile:

x₁ (t) = 1,2 sin m, respectiv x₂ (t) = 1,6 sin m.

Sa se scrie legea de miscare rezultanta.

R: x (t) = 2 sin ( t + 0,37 π) m.

15.    Un punct material este supus simultan la doua miscari oscilatorii armonice descrise de legile:

a)    m, m;

b)    m, m;

c)    m, m.

Sa se determine ecuatia traiectoriei punctului material, precizându-se forma acesteia.

R: a) , traiectoria este o dreapta; b) , traiectoria este o elipsa având drept axe chiar axele de coordonate; c) , traiectoria este un cerc.

16.    Sa se determine ecuatia traiectoriei unui punct material supus simultan la doua miscari oscilatorii:

a)   x (t) = A sin (ω t), y (t) = A sin (2ω t);

b)   x (t) = A sin (ω t), y (t) = A cos (2ω t).

Rezolvare:

a) x = A sin (ω t)

y = Asin(2ωt) y = 2A sin (ω t) cos (ω t),

- traiectoria este una din figurile Lissajous:

b) Cele doua oscilatii care se compun au acelasi raport al pulsatiilor ca si la punctul a), dar defazajul este altul si deci forma traiectoriei este alta.