Un resort ideal de constanta elastica k, aflat initial in stare nedeformata are un capat legat de un corp de masa m, iar celalalt este fixat de un perete, ca in figura alaturata. Suprafata de sprijin are coeficientul de rugozitate μ.

Corpul se departeaza cu o distanta fata de pozitia de echilibru iar apoi este lasat sa oscileze liber. Sa se analizeze miscarea acestuia pana la oprirea definitiva.

Energia potentiala de tip elastic furnizata prin deformatia initiala se pierde treptat prin frecare. Fie, sirul alcatuit din amplitudinile succesive ale oscilatiei corpului de-o parte si de alta a pozitiei de echilibru initial.

Bilant energetic:

Notam , decrementul oscilatiei amortizate.

Observatie: D ramane constant in timp, pana la oprirea miscarii oscilatorii.

Conditia de oprire a miscarii oscilatorii este data de raportul fortelor ce actioneaza asupra corpului: .

Evident ca

Observatie: Daca ultima amplitudine, notata , oprirea are loc in pozitia de echilibru initial. In caz contrar, oprirea se face in pozitia data de ultima amplitudine.

Perioada de oscilatie, .

Daca

Oprirea are loc in pozitia de echilibru initial;

Numarul de opriri (amplitudini), .

Distanta parcursa,

Durata de timp .

Daca

Oprirea are loc in pozitia data de ultima amplitudine;

Numarul de opriri (amplitudini),

Distanta parcursa,
si durata de timp .

Observatie: Daca n este par, oprirea se face de aceiasi parte fata de pozitia de echilibru ca si deformatia initiala, in caz contrar se face pe partea opusa.

Problema rezolvata:

Un resort ideal de constanta elastica k=100 N/m, aflat initial in stare nedeformata are un capat legat de un corp de masa m=9 kg, iar celalalt este fixat de un perete. Suprafata de sprijin are coeficientul de rugozitate μ=0,01.

Corpul se distanteaza cu o distanta mm fata de pozitia de echilibru iar apoi este lasat sa oscileze liber. Sa se analizeze miscarea acestuia pana la oprirea definitiva. (Se considera cunoscuta acceleratia gravitationala )

Solutie:

Utilizand formulele obtinute mai sus, obtinem:

m; .

Oprirea se face in pozitia de echilibru initial dupa 111 opriri.

Perioada de oscilatie, .

Distanta parcursa,

Durata de timp .

Probleme propuse

1. Sistemul din imagine este alcatuit dintr-un resort de lungime =2 m in starea nedeformata initiala si constanta elastica k=100 N/m avand un capat fix legat de axul din imagine iar, celalalt este agatat de un corp de masa m=0 kg. Se stie ca suprafata de sprijin are coeficientul de rugozitate , iar acceleratia gravitationala, .

La un moment dat se imprima sistemului o miscare de rotatie in jurul axului vertical cu viteza unghiulara ω. Stiind ca tensiunea de rupere a resortului este T = 500 N, sa se calculeze:

a)      viteza unghiulara maxima pentru care resortul nu se rupe;

b)      deformatia resortului in situatia de la punctul a;

c)      in conditiile de la punctul a, consideram ca sistemul este oprit brusc si apoi este lasat sa oscileze liber. Unde se va opri corpul si dupa cat timp?

Raspunsuri:

a) ω = 12 rad/s b) ∆l=5 m c) in pozitia de echilibru, t=13,87 s

2. Un resort ideal de constanta elastica k=100 N/m, aflat initial in stare nedeformata are un capat legat de un corp de masa m=9 kg, iar celalalt este fixat de un perete. Suprafata de sprijin (un plan inclinat cu unghiul α=30 fata de verticala, ca in figura alaturata) are coeficientul de rugozitate μ=0,01. Corpul se distanteaza cu o distanta mm fata de pozitia de echilibru iar apoi este lasat sa oscileze liber.

Sa se studieze miscarea acestuia pana la oprirea definitiva. (Se considera cunoscuta acceleratia gravitationala )

Indicatie: Miscarea oscilatorie amortizata va avea decrementul m.

Scopul lucrarii: desprinderea cu marimile si relatiile specifice oscilatiilor amortizate.

Consideratii teoretice: se utilizeaza dispozitivul prezentat in figura 1.

Figura 1

La bornele circuitului R₀LC-serie se cupleaza generatorul electronic de impulsuri G care transmite circuitului impulsuri de tensiune la intervale determinate. La bornele condensatorului C se cupleaza osciloscopul catodic O, pe ecranul caruia se obtine graficul variatiei tensiunii dintre armaturile condensatorului.

In intervalul de timp dintre doua impulsuri consecutive, condensatorul se va descarca prin circuit.

Amintim urmatoarele relatii:

tensiunea U_R la bornele unui rezistor de rezistenta R, parcurs de un curent electric cu intensitatea I este, potrivit legii lui O.

U_R=Rj (1)

capacitatea electrica a unui condensator este definita prin relatia:

de unde q=CU (2)

in care q este modulul sarcinilor electrice de pe armaturi iar U este tensiunea electrica dintre armaturi.

intensitatea momentana a unui curent electric variabil este:

(3)

tensiunea elctromotoare autoindusa la bornele unui circuit, inductanta constanta L, parcursa de un curent elctric variabil c intensitatea I este, potrivit legii lui Faraday:

(4)

Echilibrarea tensiunilor din circuit in timpul descarcarii condensatorului, duce la conditia:

(5)

Din (1), (2), (3) rezulta:

(6)

iar din (2), (3), (4),

(7)

inlociund in (5), obtinem:

sau, impartind intreaga ecuatie prin produsul LC,

(8)

Introducand notatiile

(9)

(9¹)

rezulta in final ecuatia:

(10)

care admite solutia de forma

U=U_me^{-b t}sin(wt+j (11)

Constatam astfel prezenta unei descarcari oscilante a condensatorului prin circuit. Remarcam de asemeni analogia perfecta din ecuatiile oscilatiilor mecanice amortizate, de forma

Y=Ae^{-b t}sin(wt+j

si a celor electrice (11), in cazul de fata marimea oscilanta fiind tensiunea U dintre armaturile condensatorului.

Valoarea maxima a acestei tensiuni (amplitudinea de variatie a tensiunii) este deci:

U₀= U_me^{-b t} (12)

deci U₀ scade exponential cu timpul, cu atat mai repede cu cat factorul b este mai mare. Din acest motiv, b este numit factor de amortizare. Potrivit relatiei (9),

(13)

In cazul de fata,

R=R₀+R      (14)

Unde R₀ este rezistenta de valoare cunoscuta inseriata a circuitului (rezistenta firului bobinei, rezistenta interioara a generatorului, etc.),deocamdata necunoscuta.

Cum si in cazul oscilatiei amortizate perioada este constanta, graficul oscilatiei va fi de forma celui din figura 2.

Figura 2.

Se mai defineste decrementul logaritmic de amortizare ca fiind logaritmul natural al raportului dintre doua amplitudini (valorile maxime ale marimii oscilante) succesive. In cazul de fata deci

(15)

Modul de lucru.

Etapa I-a.

1.Se pun in functiune generatorul de impulsuri si oscilatodic si se regleaza convenabil frecventa impulsurilor, pentru a le obtine pe ecranul osciloscopului gradicul variatiei tensiunii de la bornele condensatorului.

2.Se determina, la o scara arbitrara, valorile a 6 amplitudini succesive, dupa care se calculeaza 5 valori ale decrementului ritmic de amortizare.

si valoarea medie a acestuia

(15¹)

3.din graficul oscilatiei de pe ecranul osciloscopului, se determina perioada oscilatiei (T).

4.Se calculeaza valoarea factorului de amortizare

de unde rezulta imediat

(16)

in care, pe de alta parte, potrivit relatiei (13), (14),

(17)

Etapa a II-a.

1.Se scurtcircuiteaza rezistenta R₀;se va obtine un alt grafic pentru care noul factor de amortizare va fi

(18)

2.Se repeta operatiunile 2, 3,4 din etapa precedenta determinanduse noile valori q ,T¹,b

3.Cunoscandu-se valorile marimilor,b b si R₀,din sistemul format din ecuatiile (17) si (18) se calculeaza inductanta circuitului (L) si rezistenta sa interna R_i.

Pentru R=0

Þ ,

Pentru R=3500W

Þ ,