CAMPURI DE EVENIMENTE. CAMPURI DE PROBABILITATE

CAMPURI DE EVENIMENTE. CAMPURI DE PROBABILITATE

1. Campuri de evenimente

Definitii

Experienta = alegerea, printr-un procedeu susceptibil de a fi repetat, a unui element dintr-o multime data; realizarea unui complex de conditii;

Ex: - aruncarea unui zar

- extragerea unei bile dintr-o urna

- prezentarea la examen a unor studenti

- jucarea unie partide de sah.

2.Proba = orice rezultat al unei experiente

Ex:- aparitia fetei "2"

- extragerea unei bile albe

3. Eveniment aleator = oricare din rezultatele potentiale ale unei experiente, a carui realizare poate fi confirmata de o singura proba.

4. = multimea tuturor rezultatelor posibile ale unei experiente

P() = multimea tuturor partilor lui

5. Eveniment sigur (notat ) = evenimentul care se realizeaza in orice proba

6. Fie A un eveniment oarecare. Se numeste eveniment opus lui A ( sau contrar) acel eveniment care se realizeaza daca si numai daca nu se realizeaza A.

Notatie: CA sau

7. Eveniment imposibil = evenimentul care nu se realizeaza in nici o proba.

8. Reuniunea a doua evenimente A si B este evenimentul care se realizeaza daca si numai daca se realizeaza cel putin unul din evenimente

Notatie : A B ( A sau B)

9. Intersectia a doua evenimente A si B este evenimentul care se realizeaza daca si numai daca ambele evenimente se realizeaza.

Notatie : A B ( A si B)

10. Diferenta evenimentelor A si B este evenimentul care se realizeaza daca si numai daca se realizeaza A si nu se realizeaza B.

Notatie : A - B = A B

11. A implica B daca realizarea evenimentului A atrage in mod necesar realizarea evenimentului B.

Notatie: A B

12. Doua evenimente A si B sunt echivalente (egale) daca A implica B si B implica A.

AB si B A

13. Doua evenimente A si B sunt incompatibile daca nu se pot realiza simultan ( A B = )

14. Fie K o subfamilie din P() cu proprietatile:

1. Daca A K atunci si K
2. Daca A₁, A₂,,A_n,este un sir arbitrar de evenimente din K atunci si face parte din K

Perechea (, K) se numeste camp de evenimente sau populatie statistica

15. Daca este o multime finita atunci (,K) se numeste camp finit de evenimente si K = P()

Numarul tuturor evenimentelor campului este 2ⁿ, unde n = numarul de evenimente aleatoare.

2. Campuri de probabilitate

Fie campul de evenimente (, K)

Definitie

Se numeste probabilitate pe (,K) o functie P : K R care satisface conditiile:

1. 0 P(A) 1 , A K
2. P() = 1
3. Orice sir de evenimente A₁, A₂,,A_n, doua cate doua incompatibile ( A_i A_j = , pentru i j) are loc egalitatea P () =

Definitie

Tripletul (, K, P ) se numeste camp de probabilitate.

Definitia clasica a probabilitatii

P(A) =

Proprietati ale probabilitatii

1. P(B-A) = P(B) - P(AB)

Oricare doua evenimente A si B au loc egalitatile:

B = (B - A) (A B)

si

evenimentele (B - A) si (A B) sunt incompatibile , adica (B - A) (A B) = .

Aplicand definitia probabilitatii avem:

P(B) = P(B - A) + P(A B) adica

P(B - A) = P(B) - P(A B).

2. Daca A B atunci P(B-A) = P(B) - P(A)

Daca A B rezulta ca A B = A.

Aplicand proprietatea 1) vom avea:

P(B - A) = P(B) - P(A B) = P(B) - P(A)

3. Daca A B atunci P(A) P(B)

Din proprietatea 2) avem relatia:

P(B-A) = P(B) - P(A), si

Conform definitii probabilitatii, P(B-A) 0

Rezulta ca P(B) - P(A) 0, deci P(B) P(A).

4. P() = 1 - P(A)

A=       si A =

Din definitia probabilitatii avem:

P(A) = P() adica P(A) = 1.

Si

P(A) = P(A) + P()

Rezulta ca P(A) + P() = 1 , adica P(A) = 1 - P()

5. P() = 0

Folosim proprietatea 4) considerand A = si implicit = . Rezulta ca:

P() = 1 - P()

Dar P() = 1 din definitia probabilitatii,

deci P() = 0.

6. P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

Putem scrie : A B = A (B - AB)

Aplicand definitia probabilitatii si proprietatea 1) avem:

P (A B) = P(A) + P(B - AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

Probleme

1. Un lift urca cu 5 persoane intr-un bloc cu 9 etaje. Care este probabilitatea ca la un etaj sa coboare cel mult o persoana ?

R: P(A) =

2. Fie A evenimentul ca o piesa luata la intamplare dintr-un lot de piese sa aiba defect de fabricatie si B evenimentul ca o piesa sa aiba defect de montaj. Sa se exprime evenimentele:

a)      o piesa luata la intamplare sa fie respinsa la control

b)      o piesa sa fie acceptata la control

c)      o piesa sa aiba ambele defecte.

R : a) A₁ = AB

b) A₂ =

c) A₃= AB

3. Se supun controlului n piese extrase din productia unei masini. Se noteaza cu A_i , i=1,n , evenimentul ca cea de a i piesa extrasa sa fie defecta. Sa se exprime evenimentele

a)      A: cel putin o piesa extrasa sa fie defecta

b)      B: toate piesele extrase sunt bune

c)      C : numai o piesa este defecta

d)      D: numai doua piese sunt defecte

4. O firma se aprovizioneaza de la 4 furnizori. Fiecare furnizor, la termenul convenit prin contract, poate sau nu sa onoreze contractul cu firma. Fie A_i evenimentul ca furnizorul i onoreaza contractul cu firma, i = 1,4. Sa se indice semnificatia urmatoarelor evenimente

a)      A =

b)      B = (A₁

c)      C =

d)      D=

e)      E =

f)        F =

R: a) toti furnizorii isi onoreaza contractul

b) numai un furnizor isi onoreaza contractul

c) nici un furnizor nu isi onoreaza contractul

d) cel putin un furnizor isi onoreaza contractul

e) cel putin 2 furnizori isi onoreaza contractul

f) cel putin un furnizor nu isi onoreaza contractul

5. Fie = spatiul de selectie asociat unei experiente. Sa se indice :

a)      evenimentele elementare

b) doua evenimente incompatibile

c)          doua evenimente opuse

d)          doua evenimente astfel ca unul il implica pe celalalt

6. Un lucrator executa n piese. Fie A_i, i = , evenimentul care consta in faptul ca cea de i piesa executata sa fie defecta. Sa se scrie urmatoarele evenimente:

a)      nici un adin piesele executate nu este defecta

b)      cel putin una din piesele executate este defecta

c)      numia una din piesele executate este defecta

d)      doua piese executate sunt defecte

e)      cel mult doua piese executate sunt defecte.

7. Intr-un magazin, la sfarsitul unie zile stocul din produsul a₁ se termina cu probabilitatea 0,3 ; din produsul a₂ cu probabilitatea 0,4 iar stocul ambelor produse cu probabilitatea 0,1. Sa se determine probabilitatea ca :

a)      sa se termine cel putin un stoc

b)      sa se termine numai stocul din produsul a₁

c)      sa nu se termine nici un stoc.

8. Se produce un anumit tip de dispoyitive la care se inregistreaza 2% defecte de fabricatie si 5% defecte de finisaj. Sa se calculeze probabilitatea ca un astfel de dispozitiv sa reprezinte un rebut.