REGIMURI TRANZITORII ALE CIRCUITELOR LINIARE

REGIMURI TRANZITORII ALE CIRCUITELOR LINIARE

Teoremele comutatiei

Regimul tranzitoriu corespunde comutatiei circuitului electric de la un regim permanent la alt regim permanent. Apare la conectarea si deconectarea circuitelor, la introducerea sau scoaterea unor elemente din circuit, la scurtcircuite, puneri la pamant, etc.

Aparitia regimului tranzitoriu se explica prin modificarile energetice in campul magnetic al bobinelor si in campul electric al condensatoarelor. Vehicularea acestor energii nu are loc instantaneu, caci ar presupune transferul unei puteri infinite, ceea ce fizic nu este posibil.

Durata regimului tranzitoriu este, teoretic, infinita. Practic, este de la sutimi de secunda la minute, iar aprecierea sa face obiectul acestui capitol. Studiul regimului tranzitoriu include, de obicei, variatia unor curenti si tensiuni dupa momentul comutatiei.

Prima teorema a comutatiei se refera la bobine. Expresia tensiunii la bornele bobinei fiind data de relatia (1.15):

curentul prin bobina este o functie continua. Momentul comutatiei fiind considerat ,

(1)

Daca s-ar admite variatia curentului prin salt, atunci , puterea vehiculata ar fi infinita, ceea ce fizic e imposibil.

Fenomenul care se opune saltului de curent este autoinductia.

A doua teorema a comutatiei se stabileste plecand de la expresia curentului prin condensator, data prin relatia (1.29):

Tensiunea la bornele condensatorului e o functie continua. Un salt al sau ar face , puterea vehiculata ar fi infinita, practic imposibil.

(2)

Sarcina condensatorului fiind e de asemenea o functie continua:

(3)

Fenomenul care se opune saltului de tensiune si sarcina este cel de incarcare sau descarcare a condensatorului, cand trece la un alt regim permanent de functionare.

2 Circuitul R, L serie in regim tranzitoriu

La momentul comutatiei, , circuitul se pune sub tensiunea u(t) (fig. 1). Curentul e solutie a ecuatiei diferentiale:

(4)

Se cauta solutiile sub forma:

Fig. 1

in care este componenta libera, solutia generala a ecuatiei omogene, iar este componenta fortata (de regim permanent), solutie particulara a ecuatiei neomogene.

Ecuatia omogena:

are solutie generala de forma:

Cu notatiile si , se inlocuieste in ultima relatie, obtinand:

Expresia curentului prin circuit este deci:

(5)

Raporul L/R este, dimensional, un timp. Se numeste constanta de timp a circuitului:

(6)

iar forma finala a expresiei (5) este:

(7)

Semnificatiile marimilor sunt:

- curentul care se va stabili, la , in noul regim permanent; la are valoarea ;

- curentul prin bobina fiind o functie continua, conform primei teoreme a comutatiei , curentul la este egal cu curentul prin bobina, inainte de comutatie.

a) Cazul

In regimul permanent, se va stabili curentul continuu caci bobina va reprezenta o legatura directa. Inlocuind expresia (7) devine:

(8)

In graficul din figura 2, daca s-ar pastra viteza initiala de crestere a curentului (curentul ar evolua dupa tangenta la grafic):

s-ar atinge valoarea finala la

Practic, la curentul atinge valoarea iar la , valoarea Regimul tranzitoriu se considera a Fig. 2

fi mai "scurt" sau mai "lung" functie de constanta de timp, considerandu-se incheiat, de obicei, la .

Tensiunea la bornele bobinei este:

cu graficul din figura 2.

Pe durata regimului tranzitoriu (teoretic infinita), in campul magnetic al bobinei se acumuleaza energia:

expresie care era cunoscuta. Aceasta acumulare de energie explica, de altfel, inevitabilitatea aparitiei regimului tranzitoriu.

b) Cazul

La punerea sub tensiune sinusoidala a circuitului R-L serie, in regim permanent se va stabili curentul:

Curentul i(t) se apropie, cu trecerea timpului, de

La trasarea graficului din figura 3, se are in vedere corelarea, pe axa timpului, a constantei de timp cu perioada a tensiunii aplicate.

Fig. 3

3 Circuitul R, C serie in regim tranzitoriu

Punerea acestui circuit, la momentul comutatiei , sub tensiunea u(t), e caracterizata de ecuatia:

(9)

sau, schimband necunoscuta i(t) in sarcina:

ecuatia devine: Fig. 4

(10)

Ecuatia diferentiala (9) fiind similara cu (4), mersul rezolvarii este acelasi. Notatiile si semnificatiile marimilor sunt similare.

(11)

Constanta de timp a circuitului R, C serie este

(12)

Expresia finala a variatiei sarcinii condensatorului:

(13)

Tensiunea pe condensatorul cu capacitatea constanta C fiind:

(14)

Semnificatiile marimilor sunt:

- tensiunea care se va aplica la bornele condensatorului, in noul regim permanent; la are valoarea

- tensiunea pe condensator fiind o functie continua, conform teoremei a doua a comutatiei, la este egala cu tensiunea pe condensator inainte de momentul comutatiei.

a) Cazul

In noul regim permanent, se va stabili curentul continuu caci condensatorul va reprezenta o intrerupere a circuitului. Condensatorul se incarca de la la

Sarcina, tensiunea si curentul prin condensator decurg din relatia (13):

(15)

(16)

cu variatii in graficele din figura 5.

Se verifica valoarea energiei acumulate in campul electric al condensatorului, pe durata regimului tranzitoriu:

Fig. 5

b) Descarcarea unui condensator

Descarcarea unui condensator printr-o rezistenta (fig. 6) are aplicatii in electronica la relee de timp. Daca rezistenta R este reglabila, se regleaza constanta de timp

Initial, condensatorul e incarcat cu sarcina Se va stabili un regim permanent, cu condensatorul descarcat:

Fig. 6

Variatia sarcinii si a tensiunilor pentru deriva din relatia (13):

cu graficele din figura 7.

Caldura disipata in rezistenta R:

Fig. 7

consuma exact energia care era acumulata in campul electric al condensatorului.

O aplicatie in energetica apare la calculul rezistentelor de descarcare a condensatoarelor destinate imbunatatirii factorului de putere. De exemplu, se calculeaza rezistenta necesara, astfel ca la 10 minute dupa comutare, tensiunea sa scada la valoarea nepericuloasa de 24V.

4 Transformata Laplace

Se vor rezuma cateva dintre principalele proprietati ale transformatei Laplace, indispensabile rezolvarii catorva aplicatii la acest capitol.

O functie reala f(t), numita functie original, admite transformata Laplace, daca satisface conditiile:

a) este nula in intervalul ;

b) e neteda pe portiuni: marginita, contine cel mult discontinuitati finite si e integrabila in origine;

c) exista pentru care:

pentru

Imaginea sau transformata Laplace a acestei functii original este o functie de variabila complexa definita astfel:

(17)

Functia F(s) este analitica in tot semiplanul

Cateva proprietati ale transformatei Laplace

a) Liniaritatea deriva din proprietatile integrarii:

(18)

b)Transformata derivatei unei functii:

(19)

este demonstrabila aplicand integrarea prin parti in relatia (17).

c) Transformata Laplace a integralei:

(20)

d) Teorema translatiei variabilei complexe (sau a deplasarii):

(21)

rezulta din insasi definitia (17).

e)Teorema intarzierii (sau a retardarii):

(22)

unde este functia treapta unitate, iar demonstrarea teoremei decurge din schimbarea de variabila

f)Teorema schimbarii scalei (sau a asemanarii):

(23)

rezulta direct din definitia (17).

Transformate Laplace ale unor functii uzuale

a) Functia treapta unitate este definita astfel, (fig.8):

(24) Fig. 8

b) Functia impuls dreptunghiular (fig. 9) este :

iar din relatiile (18), (22) si (24) rezulta:

Fig. 9

(25)

c) Functia impuls unitate (Dirac sau delta) poate fi definita la limita ca derivata a functiei treapta unitate:

Fig. 10

Desigur ca functia nu e derivabila dar, la limita, in figura 10a se poate considera ca saltul are loc de la 0 la 1 in timpul . Derivata acestei functii e impulsul dreptunghiular din figura 10b, cu valoarea , iar

Transformata Laplace a impulsului unitate e data de relatiile (19) si (24):

(26)

d) Functia exponentiala are imaginea:

(27)

iar in cazul particular se obtine relatia (24). Alta functie uzuala:

(28)

e) Functii trigonometrice. In electrotehnica, marimile sinusoidale apar sub forma canonica, asa ca intereseaza expresia:

(29)

dar cazurile particulare si dau relatiile:

f) Functii hiperbolice. Date fiind definitiile lor:

transformatele Laplace se afla cu relatiile (18) si (27):

Fig. 11

(30)

Utilizarea transformatei Laplace la studiul regimurilor tranzitorii ale circuitelor evita (fig. 12) rezolvarea dificila a unor sisteme de ecuatii integro-diferentiale. Datorita proprietatilor (19) si (20), derivatele si integralele unor functii de timp sunt inlocuite in domeniul s cu inmultiri, respectiv impartiri cu s.

Sistemele devin algebrice si sunt mai accesibile. Ramane problema revenirii in domeniul timp, deci aflarea transformatei Laplace inverse a unor functii.

Fig. 12

Metode de inversiune. Fiind data transformata Laplace, se cere functia original. Formula Mellin-Fourier:

prezinta mai mult interes teoretic.

Practic, aflarea functiei original:

are la baza teoremele dezvoltarii, ale lui Heaviside. Functia F(s) fiind de obicei un raport de polinoame cu coeficienti reali (desi variabila s este complexa), se poate descompune in fractii simple. Pe urma, o fractie simpla poate avea numitor de gradul I, cand are ca inversa o exponentiala data de relatia 27), sau de gradul II, cind numitorul are radacini imaginare si inversa Laplace a functiei e, conform relatiei (29), o functie trigonometrica.

Tabel cu principalele transformate Laplace

Sunt utile tabelele cu transformate Laplace, iar pentru a aduce fractia simpla la forma exacta din tabel, sunt necesare deseori proprietatile (18)-(23).

Exemplu

Se cere inversiunea Laplace:

Radacinile numitorului fiind complexe, se aduce functia la forma din relatia (29), dar numaratorul avand si termen de gradul intai, se face apel la teorema translatiei sau deplasarii (21):

Evident ca, in expresia fortata la numarator, a si b nu sunt, in general, sinus respectiv cosinus ale aceluiasi unghi , decat daca De aceea, s-a scos in fata fractiei factorul

Graficul functiei e al unei sinusoide amortizate (fug. 13), cu extremele pe exponentialele . Se acorda atentie corelarii constantei de timp cu perioada sinusoidei .

Fig. 13

5 Metoda operationala

Metoda operationala studiaza regimurile tranzitorii, utilizand transformata Laplace.

5.1 Rezistorul ideal

La conectarea sa sub tensiunea u(t), legea lui Ohm precizeaza:

,

iar datorita liniaritatii transformatei Laplace (18):      Fig. 14

U(s)=RI(s). (31)

Impedanta operationala a rezistorului, respectiv admitanta operationala, sunt:

; (32)

5.2 Bobina ideala liniara, necuplata inductiv

Fig. 15

Se aplica transformata Laplace legii lui Ohm (1.15):

; ;

; (33)

Impedanta operationala, respectiv admitanta operationala:

; (34)

sunt, in schema operationala, completate cu una din sursele fictive:

a) sursa de tensiune egala cu fluxul magnetic total initial , inseriata cu impedanta operationala, in sensul curentului initial ;

b) sau sursa de curent (fig.15b), in paralel, conform relatiilor (33).

5.3 Bobina ideala cuplata inductiv

Fig. 16

Legea lui Ohm pentru circuitul din figura 16a, derivata din relatiile lui Maxwell (1.22)-(1.25), da in continuare, cu relatia (19):

;

(35)

Intervin impedantele operationale mutuale (de cuplaj):

, (36)

iar sursa fictiva de tensiune e valoarea fluxului initial total prin bobina:

(37)

suma algebrica, cu sensul de referinta (pozitiv) in sensul curentului propriu initial ,ca in figura 16b. Include si fluxul propriu .

5.4 Condensatorul ideal

Fig. 17

La punerea sub tensiunea a unui condensator aflat sub tensiunea initiala , se pleaca de la relatia (1.29):

.

Transformata Laplace a expresiei, cu relatiile (20) si (24), este:

. (38)

Ultimele relatii se concretizeaza in schemele operationale din figura 17b,c, in care impedanta operationala, respectiv admitanta operationala:

(39)

sunt completate cu o sursa fictiva:

a) sursa de tensiune egala cu , inseriata cu impedanta operationala, in sens contrar tensiunii initiale pe condensator ;

b) sau sursa de curent egala cu sarcina initiala cu care e incarcat condensatorul, , in paralel cu admitanta operationala.

5.5 Latura cu conditii initiale nule

In general, latura poate sa contina elementele R, L si C. Conditiile initiale nule sunt legate de absenta unei energii initiale in campul magnetic al bobinei , respectiv in campul electric al condensatorului

Conditiile initiale nule, la momentul comutatiei , sunt la bobina , iar la condensator

Fig. 18

La punerea sub tensiunea u(t), o astfel de latura (fig.18a) e caracterizata in domeniul timp de ecuatia :

iar in domeniul s se trece cu relatiile (18)-(20):

(40)

Impedanta operationala proprie a laturii este:

(41)

rezultand prin insumarea impedantelor operationale ale elementelor din circuit inseriate.

Observatie. In regim permanent sinusoidal a fost definita impedanta complexa :

,

care era caz particular al impedantei operationale, cand , respectiv , deci variabila s era pur imaginara.

5.6 Teoremele lui Kirchhoff

Datorita proprietatilor de liniaritate ale transformatei Laplace (18), teoremele lui Kirchhoff generalizeaza in forma operationala expresiile luate in regim permanent sinusoidal.

Teorema intai a lui Kirchhoff se refera la noduri:

(42)

iar teorema a doua, similara relatiei (3.53), se refera la bucle:

. (43)

Semnificatiile impedantelor operationale sunt:

, impedanta operationala proprie laturii ;

, este impedanta operationala mutuala intre laturile si .

Sistemul Kirchhoff utilizeaza noduri si bucle independente. Schema operationala se deseneaza pentru momentul , de dupa comutatie, iar la intocmirea sa nu se va uita de sursele fictive corespunzand conditiilor initiale nenule.

Derivand din teoremele lui Kirchhoff, datorita proprietatilor de liniaritate ale transformatei Laplace, in schemele operationale se mentin metodele de analiza a buclelor (curenti de bucla) si a nodurilor (potentiale la noduri).

Aplicatia 1

Se reia in figura 19a aplicatia de la punctul 2.a. Schema operationala din figura 19b, are in vedere pozitia comutatorului dupa comutatie, surse fictive nu apar (conditii initiale nule) iar sursa E va fi inlocuita cu:

. Fig. 19

Legea lui Ohm, sub forma operationala, da imaginea curentului:

Dupa descompunerea functiei I(s) in fractii simple, s-au utilizat relatile (18), (24) si (27).

Aplicatia 2

Se reia succint, in mod similar, si aplicatia de la paragraful 3a (fig. 20).

Fig. 20

;

Aplicatia 3

La descarcarea condensatorului din figura 6, momentul comutatiei surprinde condensatorul incarcat, sub tensiunea . Schemele operationale din figura 21b, c cuprind surse fictive, potrivit figurii 17.

Fig. 21

In figura 21b , curentul I(s) si tensiunea operationala U_R(s) sunt:

;

; .

Schema operationala duala din fig.21c conduce, desigur, la aceleasi rezultate: injectia de current CE a sursei se divide prin doua impedante operationale (sau admitante) dupa relatiile divizorului de curent.

6 Regimul tranzitoriu al circuitului R, L, C serie

La conectarea circuitului, cu conditiile initiale nule , la t.e.m continua E (fig. 22a), schema operationala aferenta este cea din fig. 22b.

Fig. 22

Functia imagine a curentului este data de legea lui Ohm:

Forma functiei original i(t) depinde de natura radacinilor numitorului:

.

Se introduc urmatoarele marimi , cu notatiile lor:

- amortizarea circuitului

- pulsatia proprie

- pseudopulsatia circuitului

Se disting trei cazuri:

a) Regimul aperiodic apare cind , situatie in care , iar . Functia imagine se poate scrie succesiv:

.

Transformata Laplace are forma din prima relatie (30), in care apare si translatia variabilei complexe (deplasarea), fiind necesara corelarea cu relatia (21). Se obtine functia original:

.

Variatia curentului i(t) e aperiodica, dupa cum rezulta din graficul functiei sh(at) (fig. 11).

b) Regimul oscilant intervine daca δ<ω , deci in cazul unor amortizari mai mici. Pseudopulsatia e pur imaginara:

Se inlocuieste in expresia (44):

Cu relatiile (21) si (29) se obtine expresia curentului, o sinusoida amortizata:

. (46)

c) Regimul aperiodic critic e regimul limita intre primele doua, corespunde amortizarii , cand . Expresia curentului se poate obtine din relatia (46), trecand la limita:

. (47)

Din graficele de variatie ale curentilor in cele trei regimuri (fig.23) rezulta ca in regim aperiodic critic (c), procesul tranzitoriu este cel mai "scurt", curentul stabilindu-se cel mai rapid la valoarea finala, nula in circuitul considerat.

Aplicatiile sunt numeroase. De exemplu, la aparatele de masura, amortizarea prea mare duce la evolutia lenta a acului indicator, iar la amortizare prea mica apar oscilatii in jurul valorii finale. Fenomene similare apar, la depasirea unei denivelari, in cazul automobilelor cu amortizare defectuoasa.

Fig. 23

In concluzie, este de remarcat ca se aplica circuitului o t.e.m continua E si se va stabili un regim permanent cu un curent nul (din cauza condensatorului, care constituie in circuite de curent continuu o intrerupere a circuitului). Totusi, la amortizare, apare in circuit un curent sinusoidal amortizat, cu perioada .

Interpretarea fizica a fenomenului e oscilatia energiei intre campul magnetic al bobinei (autoinductie), si campul electric al condensatorului (incarcare-descarcare). In final dupa depasirea regimului tranzitoriu, si , deci va fi acumulata energie numai in condensator. Rolul rezistorului e de a amortiza oscilatiile, cheltuind din energia vehiculata.

7 Comutatia fortata

Exista situatii limita in care nu se respecta prima teorema a comutatiei (1) sau a doua teorema (2).

a) Comutatia fortata la bobine poate sa apara la inserierea unor bobine care aveau . In urma comutatiei intervine brusc egalizarea conditiilor initiale , aceasta antrenand impulsuri cu t.e.m. foarte mari (teoretic infinite) prin bobine. Un fenomen similar se petrece la inserierea unei bobine cu o sursa ideala de curent, daca .

In aceasta situatie, teorema a doua lui Kirchhoff aplicata unei bucle B care contine bobinele in cauza, sub forma (1.35), este , dar in componenta tensiunilor la bornele laturilor buclei intra tensiunile la bornele bobinelor (1.15):

.

Aceasta inseamna:

constant.

In concluzie, in cazul comutatiei fortate se renunta la conditiile respectiv pentru fiecare bobina in parte, punand conditia continuitatii sumei fluxurilor bobinelor pentru bucla:

, (48)

suma fiind algebrica, cu sensul de parcurgere al buclei luat ca sens de referinta.

b) Comutatia fortata la condensatoare este forma duala a precedentei. Intervine la punerea in paralel a unor condensatoare care aveau Egalizarea brusca conduce la curenti foarte mari prin condensatoare. Un fenomen similar apare la punerea condensatorului in paralel cu o sursa de tensiune, daca .

Prima teorema a lui Kirchhoff, aplicata nodului N (1.34), si curentul prin condensator (1.29), duc succesiv la conditia pusa:

In locul conditiilor mai restrictive , respectiv pentru fiecare condensator in parte, in cazul comutatiei fortate se pune conditia continuitatii sumei algebrice (sensul de referinta iesire din nod) a sarcinilor condensatoarelor din laturile care concura in nodul N:

. (49)

8 Analogia ca metoda de cercetare

Similitudinea e o metoda prin care se cerceteaza un fenomen prin altul avand aceeasi natura fizica, dar la o scara geometrica mai convenabila. De exemplu, se fac machete pentru profilul aripei de avion in tunel aerodinamic, machete pentru baraje, dar si pentru schimbatoare de caldura, etc.

Analogia modeleaza un fenomen prin altul, care are natura fizica diferita, dar comportarea lor e descrisa prin ecuatii integro-diferentiale similare. Este larg utilizata modelarea prin circuite electrice a unor fenomene de curgere a fluidelor, de transfer al caldurii, la care analogia e evidenta: diferenta de potential (tensiunea) corespunde diferentei de presiune, respectiv diferentei de temperatura, iar curentul corespunde debitului de fluid, respectiv fluxului termic. Se si definesc rezistente hidraulice, respectiv termice.

Pentru a se recurge la modele de alta natura fizica, trebuie sa existe argumente. Modelele electrice sunt ieftine, permit masurari si inregistrari simple si de mare precizie, se preteaza la transmiterea la distanta a informatiei.

Mai putin evidente sunt analogiile electromecanice. Sistemul mecanic din figura 24a are un corp de masa m care, sub actiunea fortei F(t), culiseaza cu coeficientul de frecare vascoasa (forta de frecare e considerata proportionala cu viteza ). Corpul e retinut de un resort cu constanta elastica k.

Fig. 24

Rezultanta fortelor accelereaza corpul dupa ecuatia:

. (50)

O ecuatie integro-diferentiala similara descrie functionarea circuitului R, L, C serie din figura 24b:

, (51)

cu conditia proportionalitatii coeficientilor:

(52)

Fiind necunoscuta evolutia vitezei v(t), etapele cercetarii sunt urmatoarele:

a) se alege in mod convenabil raportul si se realizeaza circuitul R, L, C serie avand:

b) cu ajutorul unui generator special, se aplica o tensiune, in general valabila in timp, proportionala cu forta:

;

c) se inregistreaza variatia curentului i(t) si se trag concluzii asupra variatiei vitezei:

,

caci ecuatiile integro-diferentiale (50) si (51) au solutii proportionale.

Observatii

a) Daca se dispune de o sursa de curent corespunzatoare, circuitul R, L, C paralel poate reprezenta o optiune duala, caci ecuatia de functionare e similara:

.

O concluzie e ca si functionarea circuitului R, L, C paralel poate fi cercetata experimental pe schema sa duala din figura 24b.

b) Analogia nu e o simpla speculatie matematica asupra proportionalitatii solutiilor unor ecuatii similare. Intre ecuatiile (50) si (51) exista profunde asemanari, tradand unitatea fizica dintre doua fenomene atat de diferite:

- masa m, respectiv inductivitatea L, cauzeaza inertia in mecanica, respectiv in circuite electrice;

- frecarea cu coeficientul si rezistenta R sunt elementele care disipa caldura;

- resortul cu constanta elastica k, respectiv condensatorul de capacitate C, acumuleaza static energie.

9 Aplicatii

Aplicatia 1

Intrerupatorul aflat in circuitul din figura 25a se inchide la si se deschide la Cunoscand , se cere variatia curentului i(t).

Fig. 25

Sunt de rezolvat doua regimuri tranzitorii:

a) Pentru , conditia initiala este , iar schema operationala e in figura 25b, cu scoasa din circuit.

Constanta de timp este .

b) Pentru , conditia initiala a bobinei este . Dupa comutarea de la , in schema operationala intra (fig. 25c).

In acest regim tranzitoriu, timpul masurat de la momentul comutatiei este

.

Curentul prin bobina, potrivit primei teoreme a comutatiei (1), este functie continua , iar. In a doua etapa, constanta de timp este

Graficul e prezentat in figura 26.

Fig. 2.26

Aplicatia 2

Sa se afle variatia tensiunilor si a curentilor in circuitul din figura 27a, la inchiderea intrerupatorului, daca: .

Tensiunile initiale pe condensatoare sunt:

Schema operationala din figura 27b are sursele fictive corespunzatoare acestor tensiuni initiale. Rezolvarea apeleaza la metoda potentialelor la noduri, luand ca potential de referinta .

Fig. 27

Analiza nodurilor se rezuma la noduri:

Cu solutia , se scrie legea lui Ohm pentru latura pentru a afla curentul prin latura:

Succesiv, se calculeaza si celelalte marimi cerute, iar pentru o parte se traseaza graficele din figura 2

, caci

Se verifica a doua teorema a comutatiei (2), tensiunile pe condensatoare fiind functii continue.

Fig. 28

Aplicatia 3

Se cere variatia curentului , la deschiderea intrerupatorului in circuitul din figura 29. Se dau :

Schema operationala din figura 29b include doua surse fictive, corespunzand conditiilor initiale respectiv

Fig. 29

Coreland relatiile (21) si (29), se obtine functia original:

Graficul din fig. 30 respecta, pe abscisa, constanta de timp si perioada Curentul trece printr-o bobina, deci e o functie continua, conform relatiei (1).

Energia acumulata la in bobina si condensator:

e disipata in cele doua rezistoare:

Fig. 30

Aplicatia 4

In circuitul din figura 31a, comutatorul basculeaza la . Se cer curentii din circuit, daca E=12V, .

Fig. 31

In schema operationala (fig. 31b), se introduce sursa fictiva care corespunde conditiei initiale . Impedantele operationale R si sL sunt in paralel, iar rezultanta in serie cu , deci:

astfel ca relatiile (29) si (21) conduc la:

.

Curentul se afla cu relatia divizorului de curent:

Dintre cei trei, curentul prin bobina e fara discontinuitati, respectand prima teorema a comutatiei (1). Toti trei curentii au perioada si constanta de timp .

Energia acumulata la in campul electric al condensatorului, , se disipa in rezistor: .

Cei trei curenti sunt reprezentati in graficul din figura 32.

Fig. 32

Aplicatia 5

La inchiderea intrerupatorului in figura 33a, tensiunea pe condensator este . Care este expresia u(t) a acestei tensiuni si dupa cat timp devine 150V? Se dau

Fig. 33

Metoda I. Se aplica teniunea-test dipolului A-B (fig. 33b):

,

obtinandu-se rezistenta echivalenta a dipolului la borne:

,

negativa, fiindca dipolul e activ, datorita sursei comandate.

Buclei echivalente din figura 33c i se aplica teorema a doua a lui Kirchhoff:

Tensiunea u(t) creste nelimitat, daca nu intervin aparate de decuplare. Atinge valoarea de 150V dupa timpul

Metoda a II-a. Schema operationala din figura 33d, avand doar doua noduri, se rezolva cel mai avantajos printr-o singura ecuatie, teorema intai a lui Kirchhoff in nodul A:

,

primul termen, curentul in latura cu condensatorul, rezultand din legea lui Ohm.

Se obtine aceeasi solutie:

Variatia se prezinta in figura 34. Fig. 34

Aplicatia 6

In circuitul din figura 35a, comutatorul se inchide la momentul . Sa se calculeze curentii fiind cunoscute valorile:

.

Fig. 35

Circuitul are nod independent () si bucle independente (). Curentii anteriori comutatiei sunt:

Fluxurile totale prin bobine, anterior comutatiei (37):

permit intocmirea schemei operationale din figura 35b. S-au respectat concluziile paragrafului 5.3, figura 16b.

Teoremele lui Kirchhoff, date de relatiile (42) si (43), formeaza sistemul:

Solutiile numerice ale sistemului sunt:

Aplicand transformata Laplace inversa curentilor obtinuti, rezulta:

.

Cei doi curenti sunt reprezentati grafic in figura 36.

Fig. 36

Comutatia e fortata, curentii prezinta salturi la , astfel ca . Se verifica insa conditia continuitatii sumei fluxurilor bobinelor pentru bucle, potrivit relatiei (48):

Aplicatia 7

Se reia aplicatia 2 (fig. 27a), schimband locul intrerupatorului astfel ca la inchiderea acestuia sa aiba loc o comutatie fortata. In figura 37a, se dau . Se cer variatiile tensiunilor si .

Fig. 37

Inainte de comutatie:

Comutatia este fortata, deoarece:

deci condensatoarele incarcate se pun in paralel cu o sursa avand t.e.m. diferita de tensiunea la care sunt incarcate.

Schema operationala din figura 37b se intocmeste dupa precizarile de la paragraful 5.4. Se aplica metoda potentialelor nodurilor:

Cu valori numerice, se obtin tensiunile:

care dau functiile originale in timp:

Fig. 38

Reprezentarile grafice ale tensiunilor sunt in figura 3 Discontinuitatile (salturile) tensiunilor trebuie, la comutatia fortata, sa respecte relatia (49):

.

Intr-adevar:

Aplicatia 8

Doua experiente mai importante au permis lui M. Faraday formularea, in 1831, a legii inductiei electromagnetice. La una dintre ele, a infasurat doua bobine pe acelasi suport, intuind ca prin alimentarea uneia (in curent continuu) ar obtine o t.e.m. si un curent in circuitul bobinei a doua. A descoperit ca simpla prezenta a fluxului magnetic nu induce t.e.m. in bobina secundara, ci doar variatia acestuia (transformatorul nu functioneaza in curent continuu). Practic, aparatul de masura A din figurile 39a si 41a indica impulsuri (de semne contrare) numai la inchiderea, respectiv deschiderea intrerupatorului k.

a) Inchiderea intrerupatorului. Se cer variatiile celor doi curenti.

Fig. 39

Se dau: .

Conditii initiale nule: .

La comutatia fortata (fig. 40) trebuie sa se conserve fluxul total in bucle, (48):

Fig. 40

b) Deschiderea intrerupatorului. Schema operationala din figura 41b se bazeaza pe principiile de la paragraful 5.3, relatia (37).

Conditiile initiale fiind nenule:

in schema operationala apar doua surse fictive:

Fig. 41

Comutatia este fortata: curentii au salturi la , respectiv (fig. 42). Relatia (48), privind continuitatea fluxului magnetic total in bucle, se verifica:

Variatia brusca a curentului induce o t.e.m. infinita in bobina. In realitate, la o anumita valoare a t.e.m., spatiul dintre contactele intreruptorului k se strapunge. Arcul electric mai mentine circuitul inchis, curentul fiind functia continua desenata in figura 42 cu linie intrerupta.

Fig. 42