Rezolvarea numerica a ecuatiilor cu derivate partiale (metoda diferentelor finite)

Rezolvarea numerica a ecuatiilor cu derivate partiale

(metoda diferentelor finite)

Tematica lucrarii: 1. Generalitati;

2. Rezolvarea numerica a ecuatiilor cu derivate partiale;

3. Metoda diferentelor finite pentru ecuatia lui Laplace;

4. Problema de rezolvat;

5. Concluzii.

1. Generalitati

Ecuatiile diferentiale cu derivate partiale din domeniul electrotehnic rezulta din modelele matematice ale problemelor de camp. Prin definirea unui camp se asociata fiecarui punct din spatiu fizic bidimensional sau tridimensional o valoare numerica, in cazul campurilor scalare sau un vector in cazul campurilor vectoriale. Astfel campul este o functie scalara sau vectoriala definita pe multimea punctelor (a vectorilor de pozitie) din spatiul fizic. Campul poate fi static, adica independent de timp, sau variabil in timp. De exemplu campul definit de distributia de temperatura sau de valorile potentialului electric reprezinta un camp scalar, iar campul definit de vectorii corespunzatori campului electric sau magnetic reprezinta un camp vectorial.

Ecuatiile diferentiale cu derivate partiale reprezinta operatori definiti pe multimea functiilor constand in campuri scalare sau vectoriale. In cazul campurilor vectoriale, daca reprezentarea se face pe componente se obtine un set de ecuatii implicand numai marimi scalare. Astfel pentru un camp scalar problema este definita de o ecuatie diferentiala cu derivate partiale, iar pentru un camp vectorial problema este definita de un sistem de ecuatii cu derivate partiale.

Ecuatiile diferentiale cu derivate partiale au un caracter local. Prin utilizarea operatorilor de derivare este descrisa comportarea campului in vecinatatea unor puncte ale domeniului de calcul pe care este definit campul, si eventual modul de variatie in functie de timp. De fapt ecuatia diferentiala stabileste anumite dependente intre vitezele de variatie ale valorilor asociate campului, atunci cand ne deplasam in interiorul domeniului, si eventual atunci cand timpul variaza.

Pentru ca solutia problemei de camp sa existe si sa fie unica este necesar ca ecuatiile cu derivate partiale sa fie completate cu un set de relatii reprezentand conditiile la limita sau conditiile pe frontiera domeniului de calcul. Acestea ofera informatii asupra valorilor marimilor de camp sau asupra derivatelor dupa normala la curba sau suprafata care descrie frontiera domeniului.

Ecuatiile cu derivate partiale pot fi clasificate dupa modul de dependenta a solutiei intr-un punct (intr-un anumit moment de timp), fata de (evolutia) solutiei din restul domeniului de calcul. Astfel daca solutia ecuatiei intr-un punct oarecare este continuu dependenta de conditiile la limita si independenta de timp, este vorba de o ecuatie de tip eliptic. Daca solutia ecuatiei depinde de conditiile la limita si de starea la momentul initial ecuatia este de tip parabolic. Daca solutia ecuatiei depinde de starea la momentul initial si depinde numai de solutia intr-o anumita zona din domeniu, ecuatia este de tip hiperbolic.

De exemplu ecuatiile campurilor statice sunt ecuatii eliptice. Ecuatia caldurii este o ecuatie de tip parabolic, iar ecuatiile de propagare (ecuatiile undelor) sunt ecuatii de tip hiperbolic.

2. Rezolvarea numerica a ecuatiilor cu derivate partiale

Metodele de rezolvare numerica a ecuatiilor cu derivate partiale difera fundamental de cele utilizate pentru rezolvarea ecuatiilor diferentiale ordinare. Ecuatiile diferentiale ordinare au o solutie reprezentata de o functie de o singura variabila (de regula timpul). In cazul problemei cu conditie initiala (de tip Cauchy) este cautata evolutia functiei intr-un anumit interval de timp, pentru o anumita valoare initiala data. Acest lucru permite rezolvarea prin proceduri secventiale, pas cu pas.

Solutia unei ecuatii cu derivate partiale este o functie de mai multe variabile care depinde de conditiile pe frontiera si eventual de starea initiala atunci cand exista dependenta de timp. In acest caz metodele numerice se bazeaza pe rezolvarea unor sisteme de ecuatii algebrice simultane. Acestea au ca necunoscute esantioane ale functiei cautate si contin date asupra conditiilor pe frontiera. Daca campul este static va rezulta un singur sistem de ecuatii. Daca campul este dependent de timp rezolvarea se va face pas cu pas, la fiecare pas fiind necesara rezolvarea unui sistem de ecuatii.

Metodele numerice pentru rezolvarea ecuatiilor cu derivate partiale se deosebesc dupa modul de determinare al coeficientilor si termenilor liberi ai sistemelor de ecuatii. Exista doua clase importante de metode. Prima se bazeaza pe aproximarea operatorilor de derivare. Cea de-a doua se bazeaza pe transformarea problemei diferentiale intr-una integrala. Metoda diferentelor finite face parte din prima categorie. Metoda elementului finit si metoda elementului de frontiera fac parte din cea de-a doua categorie. Modul de realizare a modelului discret al problemei depinde de fiecare metoda in parte.

3. Metoda diferentelor finite pentru ecuatia lui Laplace

Una dintre cele mai simple, dar si reprezentative ecuatii cu derivate partiale este ecuatia de tip Laplace. In acest caz termenul liber al ecuatiei este nul. Atunci cand acesta nu este nul se spune ca ecuatia este de tip Poisson. Aceasta poate modela campuri scalare, de exemplu campul electrostatic. Operatorul lui Laplace este un operator diferential de ordinul doi, continand derivatele dupa coordonatele spatiale:

(1)

Daca notam cu u functia necunoscuta (camp scalar), atunci ecuatia Laplace se scrie:

u = 0 (2)

Conditiile la limita se numesc de tip Dirichlet daca impun valoarea campului pe frontiera domeniului si de tip Neumann daca impun valoarea derivatei dupa normala la frontiera. Conditiile la limita pot fi de acelasi tip pe toata frontiera domeniului sau de tip mixt.

Sa consideram ca domeniul de calcul este bidimensional, deci apartine multimii planului real: R² . Sa consideram ca frontiera domeniului este descrisa de curba

In acest cadru functia reala u este definita in domeniul , u: --> R , operatorul Laplace si implicit ecuatia Laplace va contine numai doua coordonatele (x,y), iar conditiile pe frontiera sunt definite pe curba . Astfel problema este definita de relatiile:

(3)

* conditii Dirichlet: u = u_o pe o anumita portiune a curbei (4)

* conditii Neumann: pe o anumita portiune a curbei (5)

Metoda diferentelor finite consta in discretizarea operatorilor de derivare. Acestia vor fi definiti in functie de diferentele functiei necunoscute u in anumite puncte ale domeniului. In acest scop se considera ca domeniul (continuu) este divizat (discretizat) intr-o multime de puncte aflate in varfurile unei retele rectangulare cu un anumit pas h. Aceasta inseamna ca deplasarea in domeniu se poate face numai dealungul axelor de coordonate. Pasul de discretizare poate fi diferit pe cele doua axe x si y, iar in anumite cazuri poate fi variat chiar in intervalul de variatie a unei coordonate.

Daca alegem coordonatele (x_o,y_o) pentru punctul de referinta, pentru un pas de discretizare unic h, reteaua de discretizare a domeniului este descrisa de relatiile:

x_i = x_o + ih y_j = y_o + jh (6)

Pentru valorile discrete ale functiei u utilizam notatia:

u_ij = u(x_o + ih,y_o + jh) (7)

In acest context, pentru fiecare punct interior, de coordonate (x_o + ih,y_o + jh), operatorii de derivare partiala pot fi exprimati prin relatiile:

(8)

Pentru fiecare punct de pe frontiera , de coordonate (x_o + ih,y_o + jh), operatorii de derivare partiala pot fi exprimati prin relatiile:

(9)

4. Problema de rezolvat

Sa consideram o problema Laplace definita pe un domeniu patrat ABCD, discretizat de o retea cu 5 noduri pe fiecare dimensiune, cu urmatoarele conditii la limita de tip Dirichlet:

u = 0 pe latura de baza AB;

u = 10 pe latura opusa CD;

u = pentru nodurile corespunzatoare laturilor BC si DA astfel incat sa rezulte o variatie liniara intre laturile cu valori constante.

Pentru rezolvarea numerica a ecuatiei Laplace prin metoda diferentelor finite substituim termenii diferentiali in forma discretizata si apoi asamblam sistemul de ecuatii algebrice, avand ca necunoscute esantioanele functiei in nodurile retelei. In forma matriceala acesta are reprezentarea:

AX = B (10)

Matricile A, B si X (determinat prin rezolvarea sistemului de ecuatii) au forma urmatoare (11):

Structura matricii A este construita dupa criteriile urmatoare. Nodurile din reteaua de discretizare trebuie numerotate. Modul de numerotare va determina distributia elementelor nenule ale matricii. Fiecarui nod luat in consideratie (nod central) ii corespunde o anumita linie a matricii cu un anumit element diagonal. Acestea au o valoare constanta corespunzatoare schemei de discretizare utilizate. Celelalte elemente ale liniei corespund contributiilor nodurilor vecine adiacente nodului central. Restul elementelor matricei      sunt nule. Vectorul termenilor liberi B pentru fiecare componenta reprezinta suma contributiilor nodurilor de pe frontiera adiacente nodului central corespunzator liniei respective.

Datele si solutia problemei de camp pot fi reprezentate matriceal. Consideram o matrice auxiliara R care are elementele in corespondenta biunivoca cu nodurile retelei rectangulare a domeniului discretizat. In acest fel atribuim elementelor matricii R valorile date si calculate pentru esantioanele u_ij ale functiei u in nodurile retelei. Coordonatele i si j vor fi aceleasi pentru elementele matricei R si pentru nodurile retelei.

Pentru a se putea urmari corespondenta dintre reteaua de discretizare, valorile calculate ale esantioanelor u_ij in nodurile retelei si structura sistemului de ecuatii algebrice utilizam matricea auxiliara E care reprezinta tot reteaua de discretizare cu valorile date pe frontiera, dar cu deosebirea ca in nodurile interioare sunt figurate valorile numerelor necunoscutelor asa cum au fost utilizate in sistemul de ecuatii de mai sus. Astfel rezulta ca matricele E si R au forma urmatoare:

(12)

Programul MathCad permite definirea matricilor si realizarea operatiilor matriceale. Astfel ecuatia matriceala rezultata din modelul matematic prezentat mai sus pentru rezolvarea ecuatiei Laplace poate fi introdusa si rezolvata. Astfel vectorul X este determinat de produsul A B. Mai mult, forma matriceala a datelor si solutiei asociate retelei de discretizare prin matricea cu matricea auxiliara R poate fi utilizata pentru reprezentarea grafica a functiei u(x,y). Cu ajutorul comenzii <alt><2> poate fi apelata procedura de generare a graficului tridimensional. Pentru accesul la informatiile corespunzatoare variatiei functiei u este indicata matricea R . Calculatorul traseaza suprafata corespunzatoare evolutiei lui u(x,y) considerand ca variatia discreta a argumentelor x,y se face dupa o retea rectangulara, echidistanta.

Se cere:     

Construirea in limbaj MathCad a matricelor corespunzatoare problemei propuse;

Realizarea graficului solutiei ecuatiei cu derivate partiale, ca functie de doua variabile.

5. Concluzii

Ecuatiile diferentiale cu derivate partiale, spre deosebire de ecuatiile diferentiale ordinare, au mai multe variabile independente. De obicei acestea sunt coordonatele spatiale (in doua sau trei dimensiuni). In cazurile problemelor de evolutie una dintre variabile reprezinta timpul. In cadrul problemelor din electrotehnica, solutia ecuatiei cu derivate partiale reprezinta de obicei potentialul campului electric sau potentialul scalar al campului magnetic. Aceasta este o functie avand ca argumente coordonatele spatiale si eventual timpul. Ecuatia lui Laplace reprezinta cazul cel mai simplu de ecuatie cu derivate partiale. Aceasta poate modela probleme de camp static (independent de timp) fara surse (sarcina electrica, curentul electric, polarizatia electrica si magnetica sunt nule.

Valorile potentialului in domeniul de calcul sunt determinate de datele pe frontiera si de configuratia geometrica a domeniului de calcul. Ecuatia cu derivate partiale creaza o dependenta locala intre valorile asociate punctelor domeniului, pe de o parte si o dependenta fata de datele pe frontiera, pe de alta parte.

Rezolvarea numerica, prin procesul de discretizare presupune considerarea unui numar finit de valori pentru potentialul asociat unor anumite puncte ale domeniului. Rezulta astfel un sistem de ecuatii, pentru valorile necunoscute ale potentialului, care reprezinta dependentele create de ecuatia cu derivate partiale.

Metodele numerice pentru rezolvarea ecuatiilor cu derivate partiale pot utiliza modele matematice si modele de discretizare diferite. Metoda diferentelor finite, din punct de vedere structural este cea mai simpla si recurge la aproximarea derivatelor partiale cu diferente finite. Totusi performantele si modul de aplicare a metodei poate fi anevoios in majoritatea cazurilor. Astfel, atunci cand geometria domeniului nu poate fi descompusa in portiuni dreptunghiulare, atunci cand conditiile pe frontiera sunt de tip Neumann sau atunci cand solutia variaza rapid in anumite zone ale domeniului, metoda nu mai este avantajoasa.