Studiul corzii vibrante

1.DEFINIREA MARIMILOR STUDIATE

O unda reprezinta o perturbatie care se propaga in spatiu, din aproape in aproape ,prin introducerea unui camp,in cazul de fata un camp de forte elastice. Perturbatia care se propaga in spatiu este in general o functie de locul din spatiu si de timp si se caracterizeza printr-o marime y (r,t) numita functie de unda.

Daca se considera o perturbatie, descrisa de functia y, ce se propaga intr-o singura directie, si anume de-a lungul axei Ox,cu viteza constanta v,functia de unda y va avea forma:

y (x,t)=f(x-vt),      (1)

iar marimea j=x-vt se numeste faza undei considerate.

Calculand derivatele partiale ale functiei in raport cu variabilele x si t se obtine:

(2)

Aceasta ecuatie se numeste ecuatia diferentiala a undei.

Fenomenul ce rezulta din interferenta a doua unde plane de aceasi frecventa si de aceasi amplitudine, care se propaga pe aceasi directie, dar in sensuri opuse, constituie fenomenul de unde stationare.

Amplitudinea undei stationare variaza in functie de x, trecand succesiv printr-un maxim numit ventrul si printr-un minim egal cu zero numit nod.

Distanta dintre doua noduri succesive (sau dintre doua ventre) este egala cu l

Fenomenul de unde stationare se caracterizeaza prin aceea ca amplitudinea unui punct dat de pe directia de propagare are aceasi valoare in orice moment , acest lucru nefiind valabil pentru cazul unei singure unde (progresive), cand amplitudinea punctului respectiv variaza in timp.

2.DESCRIEREA FENOMENULUI FIZIC

In lucrarea de fata se studiaza undele stationare produse intr-o coarda elastica, reprezentata dintr-un fir elastic legat la capat.

Sa consideram un element dintr-o astfel de coarda a carei pozitie de echilibru este de-a lungul axei Ox si care sub influenta unei forte exterioare, se deplaseaza din pozitia AB in pozitia CD (fig.1). In punctele B si D ale elementului de coarda actioneaza in sensuri opuse fortele egal ca marime dar pe directii diferite. Rezultanta lor tinde sa readuca elementul de coarda CD in pozitia de echilibru, marimea ei este data de:

R=-Fsina+ Fsinb (3) y D b C a dx A Fig.1 B x

intrucat actioneaza in sens opus axei Oy.Aici asi b sunt unghiurile dintre directiile fortelor si axa Ox.

Pentru unghiuri mici, deci pentru deformatii mici ale corzii avem:

(4)

si atunci gasim pentru rezultanta:

(5)

Dezvoltam functia in serie Taylor si neglijand termenii de ordin superior avem:

(6)

si inlocuind in relatia (5),se obtine:

(7)

Rezultanta va imprima o acceleratie , elementului de coarda, si conform legii a II-a a dinamicii, putem scrie:

(8)

unde dm este masa elementului de coarda de lungime dx. Identificand ultimele relatii se obtine:

(9)

Notand cu m=dm/dx densitatea lineara a firului si cu , ecuatia (9) devine:

(10)

Ecuatia (10) este ecuatia corzii vibrante.

Expresia se exprima in sistemul international in:

si este o viteza si anume viteza cu care se deplaseaza pe perturbatie de-a lungul corzii , deci v este viteza de propagare a unei unde de-a lungul corzii, deoarece (10) este ecuatia unei unde, de forma (2).

Daca se considera o coarda elastica fixata la capete de-a lungul ei se vor forma unde care intrefera producand unde stationare care au noduri la capetale fixate ale corzii (fig.2).

Pentru aceasta lungimea l a corzii trebuie sa fie un multiplu intreg de semilungimi de unda adica:

n=1,2,3. (11)

n fiind numarul de ventre ale undei stationare.

M N

A

Figura 2.

Dar

-frecventa undei (12)

si atunci

(13)

Atunci pentru m, densitatea lineara a corzii se obtine:

(14)

3.DESCRIEREA INSTALATIEI

Dispozitivul experimental consta dintr-un fier de sarma fixat la capete, (la un capat cu un resort A care indica variatia tensiunii din fir, iar la celalalt capat firul este fixat cu un surub B) alimentat la o sursa de curent alternativ (figura 2). Acest fir trece printre polii unui electromagnet E alimentat cu curent continuu, ce produce camp magnetic. Oscilatiile corzii sunt produse datorita fortei electromagnetice ce actioneaza asupra unui conductor parcurs de curent electric atunci cand acesta se gaseste in camp magnetic,de forma:

(15)

Aici I este intensitatea curentului, l este lungimea corzii iar B inductia produsa de electromagnet.

Forta electomagnetica actioneaza pe directie verticala si isi modifica sensul cu o frecventa egala cu frecventa curentului alternativ deci si coarda va oscila cu aceasi frecventa(figura 3)

l=2l figura nr. 3

4.MODUL DE LUCRU

Intrucat scopul acestei lucrari este obtinerea si studiul undelor stationare intr-o coarda elastica precum si determinarea densitatii lineare a corzii m, este necesara, dupa (14) determinarea fortei F de tensiune din fir.

Pentru aceasta se desface surubul B si cu ajutorul unui scripete se agata de capatul firului un platen pe care se aseaza mase marcate. In acest moment se noteaza diviziunea ce reprezinta pozitia de zero a indicatorului resortului A.

Se aseaza mase marcate pe platen si se noteaza diviziunile aratate de indicatorul resortului,pentru fiecare masa.

Se traseaza grafic curba F=f(a) unde F =mg(g se ia 10 m/s² iar masa atasata in kg)iar a este numarul de diviziuni in mm fata de pozitia de zero.(figura 4)

F 4.Se pune in functiune instalatia de alimentare a firului,si electomagnetului.

5.Se modifica tensiunea din coarda cu ajutorul unui dispozitiv T pana se obtine undele stationare.In acest moment se citeste indicatia resortului, numarul de ventre n si se

a(div) masoara lungimea corzii l, cu o rigla.

6.Se calculeaza din grafic, corespunzator indicatiei resortului forta de tensiune fir.

7.Se determina m cu relatia (14), stiind ca u=50 Hz.

8.Se fac mai multe determinari, pentru diferite valori ale lui n, F, l si se trec in tabelul de forma celui de mai jos:

2.3.

d_k m_med m_k (k=1,2,3.,9)

d 10^-3N/m²-1,909 10^-3N/m²= -0,042Td =0,0018 N/m²

d 10^-3N/m²-1,881 10^-3N/m²= -0,014Td =0,0002 N/m²

d 10^-3N/m²-1,795 10^-3N/m²= 0,072Td =0,0052 N/m²

d 10^-3N/m²-1,909 10^-3N/m²= -0,042Td =0,0018 N/m²

d 10^-3N/m²-1,884 10^-3N/m²= -0,017Td =0,0003 N/m²

d 10^-3N/m²-1,795 10^-3N/m²= 0,072Td =0,0052 N/m²

d 10^-3N/m²-2,287 10^-3N/m²= -0,42Td =0,1764 N/m²

d 10^-3N/m²-1,882 10^-3N/m²= -0,015Td =0,0002 N/m²

d 10^-3N/m²-1,462 10^-3N/m²= 0.405Td =0,1640 N/m²

5.