Schemele echivalente operationale - Ecuatiile operationale ale circuitului

Schemele echivalente operationale

Rezistorul ideal are ecuatia de functionare u(t)=Ri(t) si daca U(s)=L , I(s)=L atunci U(s)=RI(s). Factorul care inmulteste pe I(s) pentru a obtine pe U(s) se numeste impedanta operationala . La rezistorul ideal Z_R(s)=R. Acestei relatii ii corespunde schema echivalenta operationala

Pentru bobina ideala, ecuatiei ii corespunde ecuatia in transformate Laplace U(s)=L[sI(s)-i(0_-)] sau U(s)=LI(s)-j(0_-) unde i(0_-) sau j(0_-) reprezinta conditia initiala la momentul t=0_- pentru curent sau flux magnetic. Pentru i(0_-)=0 se defineste impedanta operationala a bobinei .Schema echivalenta operationala este:

Pentru condensatorul ideal relatiei ii corespunde legatura intre transformatele Laplace I(s)=C[sU(s)-u(0_-)] sau I(s)=sCU(s)-q(0_-) unde u(0_-) sau q(0_-) sunt conditiile initiale la t=0_- pentru tensiunea sau sarcina condensatorului. Pentru u(0_-) =0 se defineste

impedanta operationala a condensatorului Schema echivalenta operationala a condensatorului este data in figura de mai sus.

Pentru doua bobine ideale cuplate:

Aplicand transformata Laplace se obtine

unde sunt fluxurile magnetice ale bobinelor 1 si 2 la t=0_-.Rezulta imediat schemele echivalente operationale.

Daca curentii nu ataca la fel bornele polarizate atunci in toate ecuatiile de mai sus M se inlocuieste cu -M.

Se observa usor ca in cazul circuitelor fara conditii initiale schemele echivalente operationale se obtin direct din schemele in complex inlocuind pe jw cu s.

2. Ecuatiile operationale ale circuitului

Ecuatiile unui circuit liniar in domeniul timpului se pot scrie cu metoda tabloului (vezi capitolul 3)

unde:

- W(t) este vectorul necunoscutelor care cuprinde: potentialele nodurilor v(t), tensiunile si

curentii laturilor grafului u(t) si i(t)

- A este matricea de incidenta a laturilor la noduri iar A^T transpusa acesteia.

- D=d/dt este operatorul de derivare.

- M₀, M₁, N₀, N₁ sunt matrice cu elemente constante in care apar parametri circuitului (R, L, C, )

- u_s(t) este vectorul surselor independente din circuit (functii original).

Se aplica transformata Laplace acestui sistem de ecuatii si se obtin ecuatiile circuitului in domeniul frecventei complexe s.

unde U_s(s) = L si U_i(s) se refera la conditiile initiale.

Se observa usor ca toate aceste ecuatii sunt similare cu cele ale unui circuit liniar de curent continuu sau de curent alternativ. Deci toate teoremele si metodele de analiza studiate in capitolele respective sunt valabile si pentru schemele echivalente operationale: teoremele generatoarelor echivalente, teorema superpozitiei, teoremele de reprezentare a diportului, metoda potentialelor nodurilor, metoda curentilor ciclici, etc. In membrul drept al sistemului de ecuatii apare in plus vectorul U_i(s) al conditiilor initiale.

3. Calculul raspunsului circuitului

3.1. Introducere

Algoritmul de analiza cu transformata Laplace a unui circuit liniar in regim variabil in timp consta in :

- determinarea conditiilor initiale pentru bobinele si condensatoarele din circuit (_L(0_) sau i _L(0_) si Q_C(0_) sau u_C(0_)).

- construirea circuitului cu surse si impedante operationale format din schemele echivalente operationale ale elementelor de circuit

- scrierea ecuatiilor pentru una dintre metodele cunoscute de la circuitele de curent continuu sau de curent alternativ si calculul necunoscutelor U_k(s) si I_k(s).

- determinarea functiilor original u_k(t) si i_k(t) cu teoremele lui Heaviside.

Exemplul 1. In circuitul din fig.a la t=0 se inchide comutatorul K . Se da e(t) =2sin2t, u_C (0_- )=1 V. Se cere sa se calculeze i(t) pentru t>0. Evident i_L(0_- )= 0 si schema echivalenta operationala este

data in fig.b

a

b

Rezulta unde I_0s(s) corespunde raspunsului dat de excitatie (la stare initiala nula) si I_0e(s) corespunde raspunsului dat de starea initiala (la excitatie nula) si Z(s)=s+1/s+1=. Descompunem in fractii simple prin identificarea coeficientilor:

sau

deci A=0, C=0, B=2, D= -2 si

Conform primei teoreme a dezvoltarii (poli complecsi) rezulta .

Raspunsul la stare initiala nula are ocomponenta sinusoidala de pulsatia excitatiei si o componenta sinusoidala amortizata de pulsatia (pulsatie prprie a circuitului).

Similar si

Raspunsul la excitatie nula are o componenta sinusoidala amortizata de pulsatia proprie a circuitului. Raspunsul complet este

Termenul 2sint este componenta de regim permanent (care ramane cand t) iar termenul

- este componenta de regim tranzitoriu care practic dispare pentru t>5t=10s.

Se observa ca daca u_c(0_-)=2V atunci raspunsul complet contine numai componenta de regim permanent, cele doua componente de pulsatie proprie a circuitului reducandu-se intre ele. Rezulta ca daca conditiile initiale corespund regimului permanent (care in acest caz este sinusoidal) raspunsul contine numai aceasta componenta. Aceasta proprietate este valabila indiferent de metoda prin care se determina raspunsul. Presupunem ca se urmareste determinarea raspunsului in regim periodic (permanent) printr-o metoda numerica. Daca se porneste de la conditii initiale oarecare trebuie sa se parcurga mai multe perioade ale excitatiei pana la disparitia componentelor tranzitorii, iar daca se porneste de la conditiile initiale corespunzatoare regimului permanent este suficient sa se parcurga o singura perioada a excitatiei. Deci cunoscand conditiile initiale corespunzatoare regimului permanent se poate reduce foarte mult efortul de calcul.

Exemplul 2 In circuitul din figura la t=0 se inchide comutatorul k. Se da V. Pentru t<0 se considera regimul permanent. Se cere:

1⁰ Sa se calculeze U(s) = L

2⁰ Sa se calculeze u() cu teorema valorii finale si sa se explice rezultatul obtinut.

1⁰. Regimul permanent pentru t<0 este un regim de curent continuu. Pentru determinarea conditiilor initiale la t=0_ se analizeaza circuitul in care bobinele sunt inlocuite cu rezistente nule si condensatoarele cu rezistente infinite.

Schema echivalenta operationala este :

Se determina generatorul echivalent de tensiune al subcircuitului din dreapta bornelor AB

Circuitul devine

Scriem ecuatiile curentilor ciclici:

Rezulta

Circuitul are patru elemente dinamice. Se vede clar ca determinarea unei formule analitice pentru u(t) presupune calcule complicate incluzand rezolvarea exacta a ecuatiei =0.

2⁰. u()=. u() este solutia de regim permanent (curent continuu) si se poate calcula in circutul echivalent

Rezulta u()=1.1=1 V

Din sistemul de ecuatii in domeniul frecventei complexe s rezulta vectorul necunoscutelor

si in domeniul timp unde w₁(t) este solutia corespunzatoare conditiilor initiale nule, w₂(t) este solutia corespunzatoare surselor independente pasivizate, iar w(t) este raspunsul complet. Deci raspunsul complet se poate scrie ca suma dintre raspunsul la stare initiala nula si raspunsul la excitatie nula. La acelasi rezultat se ajunge si daca se aplica teorema superpozitiei.