Semnalul ca o marime fizica

SEMNALE

Am definit semnalul ca o marime fizica ce poate constitui un suport pentruinformatie

Cantitatea de informatie purtata de semnale se poate definii pe cale matematica. Unitatea de informatie se numeste bit (b).Fie termenul masura cantitatii de informatie pe evenimentul produs.Fie un set de n evenimente independente,atunci cantitatea de informatie purtata se exprima bit simbol(mesaj)

unde .

In teoria informatiei,H reprezinta o entropie,adica o masura a gradului de stabilitate

(inprevizibilitate).Pentru un flux de date,H se calculeaza ca entropia per character -ceea ce este o medie a numarului minim de biti necesari pentru a transmite un simbol presupunand ca se cunosc un anumit numar de simboluri deja transmise.Daca un semnal contine 4b informatie atunci considerand o transmisie de 9600 b/s atunci vorbim de o rata de 2400 baud de semnale discrete pe secunda.

1 Reprezentarea semnalelor

Sa consideram un semnal ca fiind o functie de forma .Multimea tuturor semnalelor se noteaza .

Ex:

semnal digital

Ex:

semnal real

Notam:

o secventa temporala cu perioada T

o secventa temporala finita cu perioada T

Notam clasele de semnale cu:

.

2 Semnal continuu periodic

Orice functie este periodica cu perioada (valoare finita si unica) daca pentru orice avem .

Un astfel de semnal este

unde frecventa unghiulara

A amplitudinea

faza

Sub forma generalizata ca semnal complex periodic(semanl armonic) avem

La fel se obtine

.

Se poate vedea ca:

unde Re si Im inseamna partea reala respectiv imaginara a semnalului complex.

3 Semnal continuu neperiodic

Vom introduce diferite clase de semnale(particulare)de mare importanta in studiul sistemelor:

a.) Semnal treapta unitara

Este un semnal discontinuu in t=0(sau )

b.)Semnal impuls rectangular

c.)Semnal rampa

sau

d.) Semnalul sinc

e.)Semnal Dirac(semnal delta)

Se mai numeste semnal impuls,semnal Dirac delta.

Fie f(t) o functie reala continua in punctul .Definim semnalul impuls dupa cum urmeaza

Semnalul impuls nu este o functie analitica.

Proprietati:

fie f,g doua functii continue in punctul 0 din R

Consecinte:

1^o Daca f(t) este continua in origine atunci

=

2^o

3^o

f.)Semnal

Un sistem de semnale Dirac cu perioada T se numeste semnalul fiin definit prin :

4 Operatii elementare cu semnale

a.) Transformarea domeniului de definitie.

Fie familia de semnale .Sa consideram o transformare bijectiva.

Fie

Definim

Ex:

compresie temporala

dilatare temporala

inversiune temporala

b.) Transformarea codomeniului

Fie

Sa consideram o transformare .

Ex: O transformare de codomeniu in care este o multime finita se numeste cuantificare.

Obs:

-continuitatea din dreapta

-conversie A D nu se accepta     

discontinuitate

c.) Operatii binare(punct cu punct)

Fie semnalele .Se definesc operatiile binare:

5 Reprezentarea Fourier a semnalelor

Sa consideram intr-un spatiu vectorial un set de vectori:

care sa formeze o baza(liniar independenti).Un vector oarecare se poate exprima

unde reprezinta coordonatele vectorului fata de sistemul de referinta data de baza .

Daca consideram o baza ortogonala,adica

atunci (Obs. Operatia este produsul scalar intre doi vectori)

Utilizand aceste idei sa consideram un spatiu de functii(care satisfac anumite conditii) in care se gaseste un set de functii care formeaza o baza.O functie din acest spatiu,definit pe [a,b] se poate scrie .Daca introducem notiunea de numita norma functiei atunci

Daca setul de functii formeaza o baza ortogonala atunci

iar daca este si ortonormata atunci avem si .

(Obs-functiile-semnalele mai sus mentionate trebuie sa fie la patrat integrabile , adicasi pentru cazul .

Ex! Setul de functii formeaza o baza ortogonala pe

].

5.1 Seria Fourier a semnalelor periodice

Sa consideram semnalul armonic .

Este un semnal periodic avand in vedere faptul ca este frecventa unghiulara a acestui semnal(T-perioada ).

Valoarea cea mai mica a lui t pentru care devine egal cu unitatea se numeste perioada fundamentala.

Daca atunci observam ca

Setul formeaza o baza ortogonalape o perioada.

(la fel setul si formeaza o baza ortogonala pe o perioada T ).

Sa consideram un semnal periodic care deci satisface conditia:

Deci putem scrie .O trasatura importanta a unei functii periodice este ca se poate reprezenta ca o suma infinita de functii armonice,obtinand Seria Fourier corespunzatoare semnalului dat.

Conditie suficienta,dar nu necesara ca la un semnal periodica sa corespunda o serie Fourier se numeste conditiile Dirichlet:

-se admite un numar finit de maxime si minime

-sa contina un numar finit de discontinuitati

-sa posede discontinuitati marginite(integrabilitatea absoluta)

Orice semnal periodic s(t) care satisface conditiile Dirichlet se poate sa fie dezvoltata in serie Fourier pe intervalul unde T este perioada semnalului utilizand expresiile:

este continuu in

Daca este semnal real atunci

(conjugata complexa),si astfel obtinem .

Dupa cum se vede dinformula dse mai sus ,insumarea se face pentru o infinitate de termeni.Daca nu se insumeaza decat un numar finit de termeni atunci in punctele in care avea punct de discontinuitate (componente de frecventa inalte!) apar distorsiuni pronuntate a semnalului.Acesta se numeste fenomenul Gibb.

Forma trigonometrica a seriei Fourier

unde

Obs.Putem folosi si forma

unde:

unde si sunt definite mai sus.

Proptietati:

A.)-consideram un semnal continu periodic,pentru care obtinem relatia

care se numeste relatia de energie,si reprezinta (ointerpretatre)energia disipata pe o perioada de o rezistenta de daca se aplica ca tensiune de alimentare pe s(t).

B.)-Daca s(t) este un semnal periodic,par adica s(-t)=s(t) atunci si avem

unde

C.)-Daca s(t) este un semnal periodic,impar adica s(-t)= -s(t) atunci si avem

unde .

Obs.: a.)Pentru orice semnal s(t)

b.) Daca dezvoltarea in serie Fourier a unui semnal periodic se cunoaste pentru o origine a sistemului de referinta,atunci pentru o translatie a originii cu o marime ,dezvoltarea in serie serie se obtine facind translatia in expresiile transformatei(- marime cu semn).

D.)Fie un semnal finit,continuu pe un interval limitat.Acest semnal se poate aproxima pe acel interval limitat cu o serie trigonometrica:

5.2 Transformata Fourier a semnalelor

Fie un semnal oarecare s(t) care satisface conditiile Dirichlet(vezi 5.1). Transfor- mata Fourier a acestui semnal vom nota cu iar transformata inversa cu . Definim

Functia se numeste spectrul semnalului.Putem scrie .

Obs.:Pentru semnale reale,pare =0

Pentru semnale reale,pare =0

Proproetati:

a.) linearitate

b.)   translatie in timp -un moment de timp(real)

c.)   scalare a-o constanta

d.)   translatie in domeniul frecventa

e.)   forme derivate     

f.)     Teorema Parceval . Energia din domeniul timp este egal cu energia din domeniul frecventa.

se numeste densitae de putere a semnalului.

g.)   produs convilutiv

Fie si transformata Fourier a semnalelor si .Atunci

h.) convolutie in domeniul frecventa

-produs convolutiv

i Fenomenul Gibb's

6. Convolutia si correlatia semnalelor

Fie doua semnale reale si .Fie operatorul de convolutie !

Ex.:

Obs.: 1^o Daca

2^o Daca

3^o Daca si

atunci si

Fie doua semnale si .Fie operatorul de corelatie.Atunci

Obs.: 1^o Corelatia nu este o operatie comutativa

2^o daca

3^o intercorelatie

autocorelatie

Transformata Laplace

In cazul transformatei Fourier,unui semnal ,definit in domeniul timp i se ataseza o funtie complexa ,dar forma transformata se restrange la axa (axa imaginara)

din planul complex.

Fie Consideram functia ,care satisface conditiile Dirichlet si consideram marimea frecventa complexa in care caz:

sunt perechile de transformata Laplace directa respectiv inversa.In expresia transformatei inverse avem o integrala in domeniul complex pe o traiectorie intre limitele si .In teoria sistemelor,avand in vedere ca numai cunoasterea intrarii si a conditiei initiale la este suficienta pentru caracterizarea comportarii sistemului definim

Proprietatile transformatei Laplace:

1^o liniaritate

2^o

3^o

4^o cu cond initiale nule

5^o

6^o

7^o

8^o

9^o

10^o

11^o

12^o

Exemple