TEHNICI DE MODELARE FIZICA - Teoremele analizei dimensionale

Universitatea Tehnica de Constructii Bcuuresti

Facultatea de Instalatii

TEHNICI

DE MODELARE FIZICA

= CURGEREA CU NIVEL LIBER CU SUSPENSII SOLIDE =

1. CONSIDERENTE TEORETICE

1.1 Teoremele analizei dimensionale

1.1.1 Prima teorema a analizei dimensionale

A reduce o relatie fizica (intre marimi fizice) la o relatie matematica insemna a o folosi ca o relatie intre numere abstracte. Conditia in care o relatie fizica se reduce la o relatie intre numere este precizata de prima teorema a analizei dimensionale, numita si teorema omogenitatii: o relatie fizica poate fi reductibila la o relatie intre numere, daca ea este omogena din punct de vedere dimensional in raport cu un sistem coerent de unitati de masura.

Reamintind structura sistemelor coerente, conditia exprimata de teorema omogenitatii inseamna, de fapt, ca intr-o relatie toti termenii trebuie sa aiba aceeasi formula dimensionala intr-un anumit sistem dimensional. In acest mod, termenii relatiei se exprima cu aceeasi unitate de masura cu care, formal, se poate simplifica, relatia devenind abstracta. Dupa efectuarea calculului matematic, rezultatul este din nou corelat, in majoritatea cazurilor, cu semnificatia sa fizica reala, reatribuind marimilor fizice unitatile de masura.

1.1.2 A doua teorema a analizei dimensionale

O relatie fizica, omogena in raport cu un anumit sistem coerent de unitati de masura, nu isi modifica forma la schimarea sistemului de unitati de masura, daca si numai daca dimensiunile marimilor derivate se exprima in ambele sisteme sub forma de produse de puteri.

Conform acestei teoreme, formula dimensionala a unei marimi derivate x_i se exprima univoc in functie de dimensiunile fundamentale A₁,.,A_k:

.

Marimea derivata x_i se scrie deci:

1.1.3 A treia teorema a analizei dimensionale

O marime adimensionala (fara dimensiuni) este definita ca o marime a carei formula dimensionala este egala cu unitatea, adica:

.

Conditia este indeplinita de rapoarte dintre produse alcatuite din marimi la diferite puteri si definite, in practica, in legatura cu un acelasi fenomen fizic:

sau, sub forma matematica echivalenta,

astfel incat marimea π sa fie adimensionala, [π]=1.

Prima relatie este convenabila interpretarii fizice, in timp ce cea de-a doua justifica alegerea literei π - notatie consacrata in matematica pentru produs.

Toate marimile definite in acest mod se numesc complexe adimensionale, iar litera π este de regula insotita de un indice care precizeaza o marime caracteristica.

Complexele adimensionale importante, cu rol deosebit, se numesc criterii si primesc denumiri si notatii speciale.Complexele adimensionale pot fi privite si ca numere, deoarece ele rezulta din raportul a doua marimi (sau produse de marimi) cu aceleasi dimensiuni. Fiind formate intr-un mod legat concret de fenomenul studiat, complexele adimensionale π au caracterul unor numere specifice sau numere intrinseci ale fenomenului fizic pentru care sunt definite.

Interpretarea fizica pe care aceste complexe adimensionale o pot primi este diferita, ele fiind privite in general ca rapoarte intre diferite categorii de energii, forte sau marimi cinematice importante pentru fenomen.

A treia teorema a analizei dimensionale, teorema π sau teorema produselor sau teorema Vaschy-Buckingham se enunta astfel: o relatie fizica

,

care reflecta un fenomen concret dat, scrisa cu respectarea primelor doua teoreme ale analizei dimensionale si cuprinzand n marimi exprimate intr-un sistem standard (coerent) de unitati de masura, poate fi scrisa ca o relatie intre n-k complexe adimensionale, daca se renunta la sistemul standard si se adopta un sistem de unitati de masura propriu fenomenului studiat, sistem format din k marimi alese dintre cele n marimi care participa la fenomen.

Numarul k este rangul matricei dimensionale a marimilor x₁,.,x_n. Consideram ca relatia de mai sus este o relatie completa, adica x₁,.,x_n reprezinta toate marimile fizice, variabile sau constante, care determina fenomenul. Alegand un anumit sistem dimensional, de exemplu LMT, pentru fiecare dintre marimile x₁,.,x_n se pot scrie formule dimensionale, adica:

.

Matricea din tabelul de mai jos:

se numeste matricea dimensionala M a marimilor x₁,.,x_n, in sistemul de marimi fundamentale ales.

Se poate demonstra ca pentru k<n se obtine o solutie in care cele n-k complexe adimensionaleformate sunt independente intre ele (nu se pot deduce unele din altele prin inmultiri sau impartiri).

1.2 Similitudinea hidraulica

Similitudinea hidraulica este un caz particular al similitudinii fizice in general. Doua fenomene se considera ca sunt similare daca fac parte din aceeasi clasa de fenomene si daca intre marimile omoloage exista relatii de proportionalitate.

Similitudinea nu trebuie confundata cu analogia care se poate face intre fenomene fizice din clase diferite dar descrise de acelesi ecuatii si conditii auxiliare, de obicei in forma adimensionala. Astfel, intre doua fenomene din hidraulica de aceeasi natura poate exista similitudine, deoarece fac parte din aceeasi clasa. In schimb, este posibila stabilirea unei analogii intre un fenomen din hidraulica si unul din electricitate, sau intre doua fenomene hidraulice de natura diferita.

Notand cu indicele N o marime x_i a unui fenomen din natura si cu indicele M marimea omoloaga a fenomenului similar realizat prin modelare fizica, se definesc scara S_xi si coeficientul de scara k_xi pentru marimea x_i:

_.

Scara si coeficientul de scara difera in general de la o marime la alta, dar sunt constante pentru marimile fizice din aceeasi categorie care intervin in fenomen. Daca similitudinea se refera la notiunea de model fizic, realizat in laborator, de obicei S_xi<1, cu exceptia marimilor x_i cu caracter de constante fizice, pentru care de foarte multe ori S_xi=1.

Teoremele similitudinii hidraulice stabilesc conditiile de similitudine, avand o mare utilitate practica in modelarea hidraulica.

Teorema 1

La doua fenomene similare, toate complexele adimensionale ale marimilor omoloage sunt identice.

Pentru demonstrare, fie doua marimi de aceeasi natura x₁ si x₂, care apar la fenomenele similare M si N. Complexele adimensionale corespunzatoare sunt:

si .

Din definitia scarii rezulta ca S_x1= S_x2, deoarece [x₁]=[x₂], marimile fiind de aceeasi natura.

Scriind

,

si deci sau, intr-o notatie mai generala,

.

Teorema 2

Doua fenomene N si M sunt similare daca si numai daca fac parte din aceeasi clasa de fenomene si au complexele adimensionale determinante identice.

Teorema se refera la conditiile necesare si suficiente pentru realizarea practica a similitudinii si se aplica in legatura cu metoda modelarii hidraulice. Conditiile de similitudine precizate sunt mai putin restrictive decat cele care rezulta din definitia similitudinii si se obtin prin introducerea notiunii de complexe adimensionale determinante, numite si criterii de similitudine. Ele corespund marimilor fizice determinante si rezulta din aplicarea teoremei π asupra relatiilor functionale ce caracterizeaza fenomenul fizic.

Problema principala devine acum stabilirea marimilor determinante (care pot descrie cat mai apropiat de realitate fenomenul hidraulic) din totalitatea marimilor fizice care participa la fenomen, prin neglijarea acelor marimi care nu influenteaza semnificativ.

Marimile fizice se incadreaza in urmatoarele categorii:

marimi determinante, , cu valori care determina fenomenul concret (conditii de unicitate);

marimi descriptive independente, timpul t si componentele x,z,y ale vectorului de pozitie intr-un sistem cartezian, prin care se cerceteaza domeniul spatio-temporal;

marimi descriptive dependente y_i, care in hidraulica sunt, de obicei, viteza locala u sau presiunea p.

Pornind de la anumite scari impuse (de exemplu, pentru caracteristicile fizice ale fluidului sau pentru campul de forte masice) si de la un numar de scari alese (de exemplu, scara lungimilor), se pot determina valorile tuturor celorlalte scari, care acum joaca rolul de scari de modelare si se poate trece la proiectarea modelului fizic. Transpunerea in natura a rezultatelor obtinute prin exploatarea modelului se face, de asemenea, conform scarilor de modelare.

Pentru realizarea si exploatarea modelelor fizice o importanta deosebita o are intelegerea naturii si semnificatiei conditiilor de similitudine. Acestea pot fi impartite in urmatoarele categorii:

similitudine geometrica (scara caracteristica este scara lungimilor S_l);

similitudine cinematica (scara caracteristica este scara temporala S_t);

similitudine dinamica (scara caracteristica poate fi alesa scara fortelor S_F).

Pentru fluidul incompresibil, realizarea similitudinii dinamice pe modele geometric similare asigura automat similitudinea cinematica.

1.3 Criterii de similitudine

Obtinerea unei similitudini totale (dinamice) intre doua fenomene, cel de pe prototip si cel de pe model, presupune existenta unor relatii intre coeficientii de scara ai marimilor ce intervin in desfasurarea celor doua fenomene. Aceste relatii se numesc criterii de similitudine.

Se va considera cazul a doua miscari laminare, una pe prototip si cealalta pe model. Aceste miscari sunt descrise de ecuatiile Navier-Stokes:

pentru prototip, respectiv

pentru model.

Intre marimile de pe prototip si cele de pe model se pot scrie relatiile:

, , , , , , .

Rezulta:

.

Este necesara proportionalitatea coeficientilor, adica:

.

Prin impartirea relatiei cu se obtine:

.

Egaland rapoartele cu unitatea (1) se obtin cele patru criterii fundamentale de similitudine in hidraulica:

sau () - criteriul lui Strouhal;

.

Presupunand ca fluidele sunt grele, deci , rezulta:

sau () criteriul lui Froude;

sau () - criteriul lui Euler;

sau () - criteriul lui Reynolds.

Aceste patru criterii fundamentale mai pot fi obtinute si prin metodele Rayleigh sau metoda produselor (teorema π), tinand cont ca functia care descrie miscarea fluidului este:

.

Criterii de similitudine folosite in hidraulica:

Reynolds () () - miscarea in conducte sub presiune;

Euler () () - calculul rezistentelor la inaintare;

Froude () () - miscarea cu suprafata libera (sistem omogen);

Froude densimetrie () : () - miscari libere cu diferente de densitate;

Strouhal () (fortele de inertie) - miscarea nepermanenta, fenomene variabile in timp si periodice;

Weber () () - miscarea cu suprafata libera cu adancime foarte mica;

Cauchy () : () - studiul vibratiilor solidelor induse de un fluid in miscare;

Mach () () - miscari cu viteze mari, in care se resimte efectul compresibilitatii fluidului;

Galilei () - miscarea cu suprafata libera a lichidelor;

Lagrange () - curgerile lente ale lichidelor vascoase;

Newton () - criteriul principal al similitudinii dinamice.

2. DESCRIEREA FENOMENULUI

Se modeleaza erodarea albiei unui rau cu aluviuni, pornind de la urmatoarele premise

- erodarea albiei raului in natura are loc la viteza v_n = 1,5 m/s;

- diametrul aluviunilor prezente in albia raului este d_n 30mm iar densitatea acestora este ρ_n = 2,8 g/cm³.

3. CRITERII DETERMINANTE

Pentru fenomenul studiat, forma generala a ecuatiei criteriale este:

, in care

Fr - este criteriul Froude

Re_d - este criteriul Reynolds;

este criteriul privind antrenarea si transportul in suspensie a particulelor       solide de catre curent.

Conditiile de similitudine pentru acest caz sunt

Fr = idem;

Re_p = Re_l.

4. ALEGEREA SCARILOR DE MODELARE

Tinand cont de faptul ca avem de-a face cu o curgere cu nivel liber, pentru alegerea scarilor de modelare se porneste de la relatia:

Fr = idem, respectiv

Uzual pentru modelarea fenomenelor de curgere cu nivel liber, se utilizaza scarile: 1:70, 1:150, 1:250. Alegem ca scara a lungimilor scara = 150. Astfel, avem:

, scara vitezelor fiind = 12,25.

Pentru determinarea regimului de miscare al curentului in jurul particulei solide prototip (in natura), utilizam relatia

, in care reprezinta densitatea relativa a materialului solid de pe patul albiei;

g - reprezinta acceleratia gravitationala [m/s²];

d - reprezinta diametrul particulei solide [m]

υ - reprezinta vascozitatea cinematica a apei [m²/s]

Rezulta

.

Diametrul particulei model este determinat cu relatia

, in care este scara lungimilor.

Rezulta

.

Diametrul de 0,2 mm pentru material este inacceptabil deoarece la diametre mai mici de 0,5 mm, apar forte de coeziune intre particule. Acest lucru ne conduce la concluzia ca este necesara distorsionarea geometrica a modelului, adica adoptarea pe verticala a unei scari diferite de cea pe orizontala (). Astfel, avem

Considerand distorsiunea minima n=2, determinam scara inaltimilor

, cu aceasta valoare putand determina scara densitatii relative, cu ajutorul relatiei

Rezulta

Vom determina in continuare scara diametrelor aluviunilor, corespunzatoare scarii rezultate a densitatii relative :

.

Cunoscand scarile diametrelor si densitatilor, si , putem determina diametrul aluviunilor si densitatea acestora

;

.

5. ERORI

Datorita rotunjirii rezultatelor din considerente de realizabilitate fizica, metoda de modelare induce erori, care au ca efect deformarea modelului natural studiat.

Astfel, eroarea relativa ce apare datorita rotunjirii la valoare intreaga a scarii diametrelor particulelor si a diametrului acestora, pentru a putea fi realizate fizic, va fi:

Eroarea relativa datorata rotunjirii scarii densitatilor este:

, eroare considerata ca fiind tolerabila.

Eroarea relativa datorata rotunjirii valorii vitezei, pentru a putea fi realizata fizic, este

, eroare acceptabila pentru studierea fenomenului fizic natural.

6. CONCLUZII

Fenomenul natural studiat poate fi modelat la scara 1:150, cu o acuratete destul de mare, abaterea fiind de 10,4%, valoare la care se adauga erorile de masura si cele de executie a modelului.