Calcul limite cu criteriul majorarii, criteriul "clestelui"

TEMA

2.2) Folosind criteriul majorarii, criteriul "clestelui" sau criteriul Stolz-Cesaro, sa se calculeze urmatoarele limite:

d) .

Rezolvare

= . Notam si aplicam consecinta criteriului Stolz-Cesaro. Rezulta:

= .

2.3) Folosind criteriul general al lui Caughy pentru siruri, sa se studieze convergenta sirurilor:

a) = , x ϵ R

b) = , x > 1.

Rezolvare

a)      Fie ɛ > 0 astfel incat | | < ɛ. Dar | | = | | ≤ || ≤ = =< , astfel ca impunand conditia < ɛ, adica n > - ɛ, obtinem | | < ɛ, n ≥ , p ϵ N. S-a considerat ca = .

b)      Vom arata ca sirul nu este convergent. Va trebui sa aratam ca exista ɛ > 0 si p ϵ N astfel incat | | > , n ϵ N.

Dar | | = .

Am folosit faptul ca , daca k, p ϵ N, k p.

Pentru p = 3n, gasim ca | | > si deci () este divergent.

P 2.9) Folosind criteriul "clestelui" sau criteriul Stolz-Cesaro, sa se calculeze limitele urmatoarelor siruri :

b) , n ≥ 1

Rezolvare

Lema Stolz-Cesaro conduce la:

R 4.3) Sa se calculeze limitele :

a) , n ϵ , n ≥ 2

b)

c)

d)

e)

f)

Rezolvare:

a)

Limita este egala cu

b)

c)

d)

e)

f)

R 4.4) Sa se studieze existenta urmatoarelor limite:

d)

e)

Rezolvare:

d) Se observa ca

Deoarece 0 ≤ , daca , atunci

e)