Conditii necesare si suficiente pentru diferentiabilitatea normei

Conditii necesare si suficiente pentru diferentiabilitatea normei

Spatiile furnizeaza un exemplu de spatii Banach cu norma derivabila in sens Gateaux in orice punct .Consideratiile care urmeaza sunt menite sa dea raspuns ,sub forma unor conditii necesare si suficiente,la problema generala a diferentiabilitatii normei.Obtinerea acestor conditii necesita insa unele rezultate preliminare.

Fie X si Y doua spatii normate reale.Vom nota cu multimea operatorilor pozitivi omogeni,definiti de la X in Y.

Definitia 14

Un operator este directional diferentiabil in sens Gateaux pe X daca exista operatorul

(95)

astfel incat ,pentru orice x si orice h din X,

(96)

Observam ca,intr-adevar,daca exista si este reprezentabila sub forma

,atunci,cu necesitate,

,

Intr-adevar,

unde ,cu

Proprietatea de pozitiv omogenitate a operatorului arata ca este suficient ca limita din (96) sa existe pentru orice cu ,pentru ca sa existe pentru orice ,deoarece

Alaturi de operatorul vom introduce operatorul ,

(97)

definit de:     (98)

La fel ca pentru operatorul se arata ca daca exista pentru orice x si orice si este reprezentabila sub forma ,atunci,cu necesitate,

de unde rezulta concluzia ca daca in (98) limita exista pentru orice cu ,atunci exista pentru orice si

Lema 4

Daca in punctul exista ,atunci exista si si

(99)

Demonstratie

Intr-adevar,avem:

=,

unde s-a notat si deci cand .

Din lema 4 si din definitia 14,rezulta imediat:

Teorema 2

Fie X si Y doua spatii normate reale si fie .O conditie necesara si suficienta pentru ca P sa fie diferentiabil in sens Gateaux pe X este ca sa fie directional diferentiabil si sa avem:

(100)

Vom da un exemplu de functionala directional diferentiabila in sens Gateaux(G-directional diferentiabila).

Lema 5

Fie X un spatiu normat real si o forma subliniara pe X,adica astfel incat:

, (101)

. (102)

Atunci p este G-directional diferentiabila pe X.

Demonstratie

Observam mai intai ca functia numerica

, (103)

este crescatoare.Fie,intr-adevar,.Avem:

,

de unde

sau,inca

care,tinand seama de (103),arata ca:

(104)

Pe de alta parte,

,

de unde :

(105)

Cu (104) si (105) am demonstrat ca functia numerica g definita de (103) este crescatoare si marginita inferior,deci exista:

Tinand seama ca aplicatia este o forma subliniara pe X,din lema 5 rezulta:

Lema 6

Fie X un spatiu normat real.Functionala este G-directional diferentiabila.

Exista asadar

(106)

Din lema 4 rezulta atunci ca exista

iar din teorema 2 obtinem urmatoarea conditie necesara si suficienta de diferentiabilitate a normei:

Teorema 3

Fie X un spatiu normat real.O conditie necesara si suficienta pentru ca aplicatia

sa fie diferentiabila dupa Gateaux pe este ca:

(107)

In continuare vom formula conditii suficiente pentru a avea (107).Conform teoremei 3,acestea vor fi conditii suficiente pentru diferentiabilitatea normei.

Fie aplicatia

, (108)

x,h fiind doua elemente arbitrare din X.Aplicatia este convexa.Intr-adevar,oricare ar fi si oricare ar fi

=.

Din convexitatea lui pe R si din faptul ca t=0 este punct interior pentru R rezulta ,conform teoremei 1,ca exista ,exista si .Dar

(110)

In baza lui (109) si (110) este evident ca o conditie necesara si suficienta pentru ca sa existe este ca =,deci ca functia convexa sa fie derivabila in punctul t=0.Ori,conform propozitiei 2,aceasta este echivalent cu a spune ca graficul functiei admite o singura dreapta suport in punctul .Obtinem astfel urmatoarea teorema.

Teorema 4

Fie X un spatiu normat real.Necesar si suficient pentru ca functionala sa fie diferentiabila pe X este ca graficul functiei sa admita o singura dreapta suport in punctul

In cele ce urmeaza vom formula un alt criteriu de diferentiabilitate a normei.

Fie sfera inchisa centrata in x si de raza r si fie .Atunci exista un hiperplan suport la in punctul ,adica exista astfel incat :

Intr-adevar,conform corolarului teoremei Hahn-Banach ,pentru cu , exista astfel incat :

,

din aceasta ultima conditie rezultand:

.

Teorema 5

Fie X un spatiu normat real si ,.O conditie necesara si suficienta pentru ca norma sa fie G-diferentiabila in este ca sfera inchisa centrata in origine si de raza sa admita un singur hiperplan suport in .

Incheiem consideratiile privind diferentiabilitatea normei cu:

Teorema 6

Fie X un spatiu normat real.Daca norma este G-diferentiabila pe ,atunci norma este G-derivabila pe .

Demonstratie

Fie .Prin ipoteza, exista oricare ar fi In plus,se stie ca:

. (111)

Vom arata ca de asemenea

+ (112)

Pentru orice ,avem:

.

Fie .Din inegalitatea de mai sus rezulta:

Dar din existenta lui pentru orice si orice rezulta existenta lui

si egalitatea:

=.

In particular,

=

=+.

Adica

+ (113)

Cum aceasta inegalitate este adevarata pentru orice ,schimband cu -, cu - si tinand seama de omogenitatea functionalei din (113) rezulta

+ (114)

Din (113) si (114) rezulta

+ (115)

Iar cu (111) si (115) am demonstrat ca in orice punct din ,functionala

este liniara,deci un element al lui ,ceea ce justifica notatia .

Asadar,daca norma este diferentiabila (in orice punct ) ,diferentiala ei in punctul x este liniara.Pentru a incheia demonstratia,sa demonstram si marginirea diferentialei normei.Pentru orice ,orice si orice ,avem:

,

de unde :