FORME PATRATICE II

1. Reducerea la forma canonica prin metoda Jacobi

2. Reducerea la forma canonica prin metoda Gauss

1. Reducerea la forma canonica prin metoda Jacobi

Teorema 1 Fie f : E → E o forma patratica si fie A = (a_ij)_n,n matricea sa in raport cu baza :

Fie D₀ = 1

D₁ = a₁₁

D_n = det(A)

Daca toti D_i 0, , exista (baza Jacobi) astfel incat in aceasta baza f are forma canonica:

Demonstratie:

Construim baza de forma:

unde constantele se determina din urmatoarele conditii:

F(f₁, e₁) = 1,

Fie F polara lui f Pentru relatia (1) avem:

F(f₁, e₁) = 1 T F(c₁₁e₁, e₁) = c₁₁F(e₁, e₁) = c₁₁a₁₁ = 1, deci:

Pentru relatia (2) avem:

D₂ 0

Pentru relatia (j) avem:

T un sistem linear in c_1j.c_jj

, .

In baza avem X = C X'.

Se inlocuiesc x₁.x_n in functie de , atunci:

, adica

.

Consecinta

Criteriul lui Sylvester

Fie V un spatiu vectorial, dimV = n, f : V → forma patratica cu matricea A = (a_ij) in baza Atunci:

a) f este pozitiv definita D_i > 0, ;

b) f este negativ definita D_i-i D_i < 0, .

Demonstratie:

a)      T' Se poate arata ca daca f este pozitiv definita T D_i

Atunci se poate aplica metoda Jacobi si rezulta ca in V astfel incat:

(*), unde

Daca f este pozitiv definita, aleg succesiv:

T . Dar D₀ = 1 > 0 T D_i > 0,

' ' Daca D_i > 0, T , f(x) > 0, x 0_v.

Aplicatie

Sa se reduca la forma canonica prin metoda Jacobi urmatoarea forma patratica:

f : f(x) = ,

D₀ = 1

D₁ = 1

D₂ =

D₃ =

Forma canonica este:

f₁ = c₁₁e₁ = e₁

f₂ = c₁₂e₁ + c₂₂e₂ T

f₂ = 2e₁ - 4e₂

f₃ = c₁₃e₁ + c₂₃e₂ + c₃₃e₃ T

T , deci

f₃ = e₃

f₄ = c₁₄e₁ + c₂₄e₂ + c₃₄e₃ + c₄₄e₄ T

T

T f₄ = 2e₃ - 4e₄

X = C X'

Verificare din X = C X', adica se scriu x₁, x₂, x₃, x₄ in functie de .

2. Reducerea la forma canonica prin metoda Gauss

Fie f o forma patratica. Atunci exista o baza in care f are forma canonica.

Cazuri

a) i, a_ii 0 se grupeaza toti termenii ce contin pe a_ii si se formeaza un patrat perfect.

b) toti a_ii = 0, i = T a_ij 0. Deoarece

punand si problema se reduce la cazul a).

Aplicatie

Fie n = 3 si

f(x) =

, deci

Notam:

T

Trecerea de la baza la baza , adica trecerea de la elementul
(x₁, x₂, x₃) la elementul (y₁, y₂, y₃) se face prin matricea

,

adica:

In aceasta baza avem:

T

Se poate demonstra:

Teorema de inertie

Fie V un spatiu vectorial si f : V → o forma patratica. Atunci numarul termenilor pozitivi (si implicit al celor negativi) din forma canonica a lui f este aceeasi indiferent de metoda prin care forma patratica a fost adusa la forma canonica.