Proprietati ale gradientului functionalelor convexe

Proprietati ale gradientului functionalelor convexe

Definitie 2

Fie X un spatiu normat real, dualul sau,Un operator se numeste potential pe multimea daca exista o functionala astfel incat:

. (19)

Functionala se numeste ,in acest caz,potentialul lui F pe .

Rezultatele furnizate de teorema 1 ne vor permite sa dam un exemplu de operator potential si monoton in sens Minty-Browder.

Exemplul 1

Fie X un spatiu normat cu norma diferentiabila in sens Gateaux, si astfel:

(20)

Este usor de vazut ca functionala:

(21)

are drept gradient pe in orice punct .Intr-adevar,deoarece functionala este derivabila in orice punct ,urmeaza,conform lemei 3 din capitolul II,ca functionala este derivabila in orice punct si :

de unde:

Pentru a demonstra monotonia lui observam ca,tinand seama de proprietatile gradientului normei demonstrate in teorema 1,avem:

1)

Intr-adevar,

Cu rezultatele date de 1) si 2) rezulta imediat monotonia lui :pentru orice avem:

Operatorul este,in plus,coerciv,adica are proprietatea:

cu .

Pentru aceasta este suficient sa observam ca din 1) rezulta:

cu

Exemplul de mai sus furnizeaza un exemplu de operator potential si monoton.

In cele ce urmeaza vom formula o conditie necesara si suficienta pentru monotonia operatorilor potentiali.

Teorema    3

Fie X un spatiu Banach real, o multime convexa si deschisa , un operator potential pe si f potentialul lui F.Necesar si suficient pentru ca F sa fie monoton (strict monoton) pe este ca f sa fie convexa(strict convexa ) pe .

Demonstratie

Necesitatea

Fie ca F este monoton (strixt monoton) pe .Vom dovedi ca de aici rezulta ca potentialul lui F,functionala f,este convexa(strict convexa) pe ,deci ca pentru orice si pentru orice ,avem:

sau inca:

(respectiv cu inegalitate stricta pentru stricta convexitate).Utilizand formula lui Lagrange pentru functionale si tinand seama ca pentru orice ,

avem:

,

unde am notat:

si am tinut seama de monotonia lui F pe .

In cazul in care F este strict monoton pe ,inegalitatea fata de zero este stricta,deci f este strict convexa.

Suficienta

Fie f convexa(strict convexa) pe ..Vom demonstra ca de aici rezulta ca F este monotona (strict monotona) pe .

Fie,intr-adevar, si functia numerica:

In virtutea convexitatii (strictei convexitati) a lui f pe ,rezulta ca este convexa(strict convexa) pe .Intr-adevar,pentru orice si pentru orice avem:

Aplicatia este derivabila pe si

(22)

Intr-adevar,

=

Functia fiind convexa si derivabila pe ,derivata ei este crescatoare (respectiv strict crescatoare daca este strict convexa ).Avem deci ,ceea ce ,tinand seama de (22), se scrie:

si demonstreaza monotonia lui F pe .