PROIECT LA MATEMATICA

FUNCTIA 'PARTE FRACTIONARA'

1. Definitie .Fie f o functie f: |R [0,1) ,astfel incat

(x) = x-[x] = ,

unde [x] se numeste partea intreaga a numarului x cu proprietatea

[x] x < [x] + 1, ( ) x I|R.

Partea intreaga se noteaza cu .

Exemple: = 0,35 ; = 0,22.

Dupa cum ati putut constata, "conjugata" functiei "parte fractionara" este functia "parte intreaga" care se poate defini astfel:

Fie g: |R T Z astfel incat g(x)= [x].

Astfel, cele doua functii au proprietatea : g(x) + f(x) = x.

2.Graficul functiei

1)Tabel de valori

X [-1 - - - 0) [0 1) [1 1 1 1 2) [2 2 2 2 3]

f(X) [ 0 1) [0 1) [0 1] [0 1]

2)Desen grafic

Graficul functie

Observatie. Graficul functiei 'parte fractionara' contine o infinitate de segmente oblice ce alcatuiesc cu axa absciselor un unghi de 45 de grade, segmente cu o extremitate deschisa si una inchisa ,motiv pentru care aceasta functie se mai numeste functia 'parcare oblica '.

3.Proprietati ale functiei

1). Functia 'parte fractionara' este o functia periodica avand ca perioada principala T=1.

Fie k I Z,

rezulta ca f( x + k*T) = ( x + k*T) - [ x + k*T]= x - [x] = f(x) .

2). Functia 'parte fractionara' este o functie surjectiva, deoarece oricare ar fi y I |R , exista prin definitie cel putin un numar x ce apartine intervalului [0,1) cu proprietatea ca f(x)= y.

3).Functia 'parte fractionara' are urmatoarea proprietate :

oricare ar fi k I Z, aceasta functie este strict crescatoare pe intervalul [k, k+1).

Demonstatie: Vom lua ca interval de referinta intervalul [0, 1)

Fie doua numere x si y ce apartin acestui interval. Presupunem ca x > y , rezulta ca

x) - f(y) = ( x - [x] ) - ( y - [y] );

Dar [x] = [y] = 0, rezulta ca f(x) - f(y) = x - 0 - y + 0 = x - y > 0, rezulta ca functia este strict crescatoare pe intervalul [0, 1).

4. Relatii ale functiei "parte fractionara"

Partea fractionara a modulului unui numar real

Oricare ar fi x I |R, avem relatia

, daca xI

1 - , daca x I

Oricare ar fi x I |R si f, g sunt doua functii f: |R T si g:|RT astfel incat

daca xI

f(x) =

daca x I

- daca xI

g(x) =

daca x I 0) , atunci

= f(x) - g(x)

Relatie intre "partea fractionara" si "partea intreaga" a numerelor reale

+ < 1 [x + y] = [x] + [y] , oricare ar fi x si y I |U , unde

|U = < 0 }

5.Ecuatii si inecuatii cu functia 'parte fractionara'

Tipuri de ecuatii

1).=1/k ,unde x I |R ,iar kI (1,+OO)

Solutia acestei ecuatii este multimea S cu proprietatile :

S=

2). = k, a, b, k I |R, a

a). Daca k I [0,1) , atunci

ax + b = k + m, mIZ T x = ( k + m - b ) / a T S = .

b). Daca k 1), atunci S =

3). [ax + b , a, b I |R, a

[ax + b] I Z T [ ax + b ]=0 si x I Z

I ) x I |R

[ ax + b ] = 0 ax + b < 1 -b ax < 1 - b -b / a x < (1-b) /a

T S =.

Tip de exercitiu cu functia "parte fractionara":

Determinati domeniul de definitie D al urmatoarei functii :

f :D |R, f(x)=ax+b , m, n, a, b I |R

m{x)+n

Conditie de existenta : -n/m.   

1). Daca -n/m ), atunci D= |R.

2). Daca -n/m I ), atunci

D=|R - =-n/m}.

TESTUL 1

1.Determinati multimile: A = { x I |R | = 0},

B={ x I |R | = x + 1},

C= = (x - 5) / 2}.

Rezolvare:

a). = 0 x I |R T A = Z;

b). = x+1 x- = 1 [x] = -1 x < 0 x I T B=[-1,0);

c). = (x +1) /3-2 ( x + 1)/3- = 2 [(x+1)/3] = 2

2 (x+1)/3<3 x+1<9 x<8 xI TC=.

xIZ

2.Rezolvati urmatoarele ecuatii:

a). [( 2x +1) / 3] =

b)

c). xx+5x+6 2

2+cos x

Rezolvare:

a). [(2x+1)/3[T1]  IZ T[( 2x + 1) /3] = = 0 [( 2x + 1)/3] = 0 si xIZ

I

0 (2x+1)/3<1 (2x+1)<3 xI TS=;

xIZ

b). = 1/3 (3x-1)/2 = a+1/3, aIZ x = 2/3a +5/9 T

S

c) . x +5x+6 1

2+cos x T S=

2/ 3 <1

3.Determinati domeniul maxim de definitie al urmatoarei functii :

f :D |R, f(x) = x /.

Rezolvare: Conditie de existenta x Z T D= |R- Z.

4.Ordonati crescator numerele: ,,.

Rezolvare: =

= 3 - 1 si

=

Dar ( T 5-2< T 5-2< 2-1< T

( 2+1) si 2-1<

5+2>

T<<.

Punctaj: oficiu 1p

ex.1.3p

ex.2.3p

ex.3.1p

ex.4.2p

TESTUL 2

1.Determinati multimile:

A={x I |R | = 1/2 },

B==x log 2 + 2 + 1/3sin(p

C==

Rezolvare:

a). A=;

b). x log 2 + 2 + 1/3sin(p/6) = (1/2)x + 2 + (1/3)(1/2) = x/2 + 17/6 = (3x + 17) / 6T

T = ( 3x + 17 ) / 6 ( 3x + 5 ) / 6 - [( 3x + 5 ) /6] =(3x+17)/6

[( 3x + 5 ) / 6] = -2 (3x + 5) / 6 < -1 3x + 5 < -6

-17 3x<-11 x I 17 / 3 , -11 / 3 ) T B = [ -17 / 3 , -11 / 3) ;

c).9+4 T

3+2 T

=5 + 3 T 2,dar

I ) TC=

5 + 3 2 > 1

2.Rezolvati ecuatiile:

a). [( 3x + 5 ) / 6]=,

b)

c). = p

Rezolvare:

a).[( 3x + 5) / 6]IZ T [( 3x + 5 ) / 6] = 0 si xIZ T

I

T (3x + 5) / 6< 1 3x + 5 < 6 3x < 1 xI T

xIZ

xI TS=;

b).Conditie de existenta: xI

I ) TS =

5 23 >1

c). = p (4x - 5) / 12 = p/6 + a, aIZ

4x - 5 = 2p + 12a x = p/2 + 5/4 + 3a T

TS=.

3.Determinati domeniul maxim de definitie al urmatoarei functii:

:D [0 , +∞ ), f(x) = (log x - 5) / .

Rezolvare: mon

Conditii de existenta: x Z    x Z T

log3 x - 5 log x 5 xI

TD = (243 , +∞) Z.

Punctaj:

oficiu..1p,

ex.1... 3p,

ex.2....3p,

ex.3....3p .

TESTUL 3

Sa se reprezinte grafic urmatoarele functii:

( x ) = 2 - 1.

g : |R [0,1), f(x)=.

Rezolvare: Se realizeaza tabelele de valori si se traseaza graficele in coordonate(x,f(x)).

Sa se calculeze x I |R, stiind ca:

a). C = [x]

= log 3 + sin(p

b). [x] = lg100 (1 + i)(3 - i) / (2 + i) ]

= 0,15 + 2lg6

c). [x] = 1 + 2 + .. + 1999

Rezolvare:

a). C = [x] [x] = 4!/2! [x]=6;    Tx = +[x] =27/4

= log 3 + sin(p

b). [x] = 2 - (1- i 1 + i) [x] = 2 - 2 = 0 T x = T

T     x = 0,15 + lg36>1 T x I

c) x] = 2000 T [x] = 1 999 000;

Demonstram prin inductie matematica faptul ca:

(1/2!) + . + [(n - 1) / n = 1 - (1/n!) T

T T

Tx = [x] + = 1999 000 + 119/120.

Sa se rezolve urmatoarele inecuatii:

a [ x ];

b). + 7 > x;

c). 3[x] + 6 < 0;

d). > 1/3.

Rezolvare: a). I T I T [x] < 6 x I T S = (-

+ 5 [x]

b). + 7 I 8) T x I T S = (-

c) [x] + 6 = 3x + 3 < 0 x < x I S = (-

d). S = .

4. Sa se ordoneze crescator numerele urmatoare:

, [log 4 + cosp p

Rezolvare: vezi testul anterior.

Punctaj: oficiu .1p

ex.1. 2p

ex.2. 3p

ex.3. 3p

ex.4..1p.