Operatii cu siruri care au limita

Operatii cu siruri care au limita

I. Operatii cu siruri convergente

Fie (a_n)_n si (b_n)_n doua siruri convergente (limita lor exista si este finita). Fie si . Atunci:

1. (a_n+b_n)_n convergent si (limita sumei = suma limitelor)

Observatie:

Teorema ramane valabila si pentru limita sumei unui numar finit de siruri convergente, dar se schimba in cazul in care numarul de siruri adunate depind de n.

2. (a_n-b_n)_n convergent si (limita diferentei = diferenta limitelor)

3. daca este o constanta, atunci (la_n)_n convergent si

(constanta iese in fata limitei)

4. convergent si

(limita produsului = produsul limitelor)

Observatie:

Teorema ramane valabila pentru un numar finit de siruri care se inmultesc , dar isi pierde valabilitatea daca numarul de siruri depinde de n.

5. a) daca b_n 0 atunci sirul convergent si

( limita catului = catul limitelor )

b) daca b_n 0 si a_n = 0 atunci sirul ()_n nu este convergent, dar are limita si ( a constanta ), si anume:

c) daca b_n =a_n = 0 atunci sirul ()_n limita sirului va fi: nedeterminare

6. daca exista un numar n₀ є N fixat astfel incat sa aiba sens oricare ar fi n ≥ n_o , atunci sirul (a_n^bn)_n este convergent si (limita se distribuie si bazei si exponentului)

Caz de nedeterminare: 0⁰

Caz particular : (radicalul permuta cu limita)

7. daca are sens , atunci sirul (log_ka_n)_n este convergent si (logaritmul permuta cu limita)

Observatie:

Enunturi asemanatoaree se pot stabili daca in locul logaritmului se considera alte functii : sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, arcctg, etc.

Exemple:

;