TEORIA PROBABILITATILOR

Teoria probabilitatilor este teoria fenomenelor aleatoare (intamplatoare).

1. Definitia clasica a probabilitatii

Camp finit de evenimente

1.1 Experienta, proba,eveniment

Definitie. Se numeste experienta in teoria probabilitatilor, orice act care poate fi repetat in conditii date.

Definitie. Probele sunt rezultatele posibile ale unei experiente.

Experientele pot avea un numar finit sau infinit de probe.

Definitie. Se numeste eveniment, orice situatie legata de o experienta, despre care putem spune ca s-a produs sau nu, dupa efectuarea experientei.

Evenimentele aleatoare se pot nota cu A, B, Csau A , A ,

Definitie. Se numeste experienta aleatoare orice experienta care fiind repetata in aceleasi conditii conduce la rezultate diferite.

Probele unei experiente se mai numesc si cazuri posibile ale experientei.

Prin eveniment se intelege realizarea sau nerealizarea unei probe (de exemplu, obtinerea fetei cu numarul 3 la aruncarea unui zar constitue un eveniment).

Definitie. Se numeste eveniment aleator, un rezultat posibil al unei experiente aleatoare.

Exemplu

Definitie. Evenimentul care poate fi realizat printr o singura proba, se numeste eveniment elementar.

Definitie. Evenimentul care poate fi realizat prin doua sau mai multe probe se numeste eveniment compus.

Definitie. Se numeste spatiu de selectie, multimea evenimentelor elementare asociate experientei respective.

Definitie. Se numeste eveniment sigur, notat cu , evenimentul care se realizeaza cu certitudine la fiecare efectuare a experientei.

Definitie. Se numeste eveniment imposibil, notat cu , evenimentul care nu se realizeaza la nici o efectuare a experientei.

Exemple.

Definitie. Se numeste evenimentul contrar evenimentului si se noteaza cu , evenimentul a carui realizare consta in nerealizarea lui

Exemple.

Evenimentul sigur consta in nerealizarea evenimentului imposibil si reciproc.

, ,

Definitie. Doua evenimente se numesc compatibile daca se pot realiza simultan, ceea ce inseamna exista cel putin un rezultat care favorizeaza pe fiecare din aceste evenimente. In caz contrar se numesc incompatibile.

Exemplu.

Observatie. Evenimentele contrare sunt incompatibile.

In general, un numar finit de evenimente sunt compatibile daca se pot realiza simultan, ceea ce inseamna ca exista o proba care realizeaza fiecare din aceste evenimente. In caz contrar, evenimentele sunt incompatibile.

Observatie. Daca evenimentele sunt compatibile doua cate doua, nu inseamna ca ele sunt compatibile in totalitatea lor.

Exemplu.

Definitie. Se spune ca evenimentul implica evenimentul , daca se realizeaza de fiecare data cand se realizeaza

Se noteaza

Exemple. Observatie. Daca implica si implica , atunci

Orice eveniment implica evenimentul sigur.

Evenimentul imposibil implica orice eveniment.

Evenimentele pot fi reprezentate ca multimi, ceea ce inseamna ca atunci cand ne fixam atentia asupra unui eveniment, este vorba despre o parte din multimea probelor experientei.

Considerand experienta aruncarii unui zar si notand cu A evenimentul care consta in aparitia fetelor cu 1,2 sau 5 puncte, identificam acest eveniment cu multimea probelor care il realizeaza :

Evenimentul este o submultime a multimii probelor atasate experientei.

1.2. Operatii cu evenimente.

Reuniunea. Fiind date doua evenimente si , numim reuniunea lor, evenimentul care se realizeaza atunci cand cel putin unul din evenimentele se realizeaza. Notam:

Intersecta. Fiind date doua evenimente si , numim intersectia lor, evenimentul care se realizeaza atunci cand evenimentele se realizeaza simultan. Notam:

Observatie. Doua evenimente , sunt incompatibile daca

Observatie. Operatiile de reuniune si intersectie se extind pentru orice numar finit de evenimente.

Fiind date n evenimente putem scrie:

,

Diferenta. Numim diferenta evenimentelor si , evenimentul care consta in realizarea lui si nerealizarea lui . Notam: .

Fie multimea tuturor evenimentelor elementare corespunzatoare unei experiente.

ceea ce inseamna evenimente

ceea ce inseamna evenimente

.........................

ceea ce inseamna evenimente

1

Un camp de evenimente contine evenimente, unde n este numarul evenimentelor elementare.

Definitie. Se numeste camp finit de evenimente, perechea , unde este evenimentul sigur, iar este familia tuturor submultimilor lui , care satisface proprietatile :

1) , atunci

2) Daca , atunci

3)

Observatie. Un camp finit de evenimente este format din multimea tuturor submultimilor lui , la care se adauga si

Din definitia de mai sus deriva cateva proprietati ale campului de evenimente , astfel :

1)

2) Fiind date verifica legile lui De Morgan.

3) Daca atunci

4) Fiind date , atunci     , iar relatiile

sunt echivalente.

5) Fiind date atunci

6)

7)

8) Fiind date au loc relatiile :

9) Fiind date au loc relatiile :

10) Fiind date , relatiile  sunt echivalente.

Camp de probabilitate finit

Fie o experientacu n evenimente egal posibile (evenimentele considerate au aceeasi sansa de a se realiza) si un eveniment oarecare atasat experientei, care se poate realiza prin m probe,

Definitie. Se numeste probabilitatea evenimentului , notata cu , numarul :

Numarul reprezinta definitia clasica a probabilitatii si are urmatoarele proprietati:

2)

3) Daca atunci

4)

5)

Generalizare (formula lui Poincar sau principiul includerii-excluderii):

= . + .

6)

Daca

Observatie. Daca sunt evenimente incompatibile, atunci

Exemple.

1.O urna contine 5 bile albe si 10 bile negre. Care este probabilitatea ca sa extragem o bila alba ? Dar o bila neagra ?

2. Se arunca doua zaruri. Care ste probabilitatea ca suma punctelor obtinute sa fie egala cu 8 ?

3. Daca se arunca de patru ori un zar, care este probabilitatea sa obtinem o data fata cu sase puncte ?

4. Daca se arunca de 24 de ori o pereche de zaruri, care este probabilitatea sa apara o dubla de sase puncte ?

Daca A si B sunt multimi finite, numarul elementelor produsului cartezian AxB este egal cu produsul dintre numarul elementelor lui A si numarul elementelor lui B. Se scrie card(AxB)=card(A).card(B).

Prin inductie

In cazul de mai sus E=[1,2,3,4,5,6], ca urmare a celor 4 aruncari se obtine un sistem ordonat de 4 numere din E, adica un element al produsului cartezian ExExExE al carui numar de elemente este 6.6.6.6= .

Intr-o serie de aruncari nu apare niciodata fata sase daca de fiecare data se obtine un numar din multimea [1,2,3,4,5]. Numarul acestor rezultuate este . Rezulta ca probabilitatea ca in cele patru aruncari sa nu apara niciodata fata sase este / .

Daca notam cu A evenimentul care consta in aparitia cel putin o data a fetei cu sase puncte, atunci avem probabilitatea lui A data de .

Notam cu B evenimentul ca in 24 de aruncari sa apara cel putin o data dubla de sase puncte.

In cazul celor 24 de aruncari avem 36 de cazuri posibile, deoarece fiecare din cele sase fete ale primului zar se pot combina cu oricare din cele sase fete ale celui de-al doilea zar, deci in total36.

In cele 24 de aruncari avem cazuri posibile.

La fiecare aruncare a celor doua zaruri sunt 35 de cazuri nefavorabile, ceea ce inseamna

Probabilitatea ca aruncand de 24 de ori sa nu apara dubla este .

2. Definitia axiomatica a probabilitatii

Definitia clasica a probabilitatii poate fi acceptata numai in cazul cand numarul cazurilor posibile este finit. Daca numarul evenimentelor elementare este infinit (Card ), atunci exista evenimente pentru care probabilitatea in sensul clasic nu are nici un inteles. Din acest motiv, Kolmogoroff a introdus teoria axiomatica a probabilitatii.

Definitie. Fiind data o multime , o familie de submultimi (numite evenimente) ale lui , se numeste camp borelian sau - camp, daca :

2) Pentru orice si

3) Daca este o familie numarabila de evenimente atunci

De aici se desprind urmatoarele consecinte :

Daca , atunci

Daca atunci .

Observatie. Proprietatile 1-10 ale campului finit de evenimente sunt valabile si in cazul campului borelian.

Definitie. Fiind dat un -camp , se numeste probabilitate functia R, cu urmatoarele proprietati :

1) pentru orice

2) Daca este o familie numarabila de evenimente distincte atunci

3)

Definitie. Tripletul se numeste camp infinit de probabilitate.

Observatie.Proprietatile 1-6 de la definitia clasica a probabilitatii sunt valabile si in plus avem :

2) Daca atunci

3) Daca atunci

Probabilitati conditionate

Sa consideram experiensa aruncarii aruncarii uni zar si sa notam cu A evenimentul care constam in aparitia uneia din fetele 1,2,3, iar cu B evenimentul care consta in aparitia uneia din fetele 2,3,4.

P(A)=P(B)=3/6=1/2

Ne propunem sa evaluam probabilitatea evenimentului B in ipoteza ca A s-a realizat. Aceasta probabilitate o numim probabilitatea evenimentului B conditionata de A si se noteaza cu sau P(B/A).

In ipoteza ca A s-a realizat, inseamna ca a aparut una din fetele 1,2,3; din aceste cazuri numai doua sunt favorabile evenimentului B: 2,3.

Rezulta P(B)=2/3.

Fie o experienta cu un numar finit de cazuri egal posibile.

Notam: n - numarul cazurilor egal posibile ale experientei.

m - numarul cazurilor favorabile evenimentului A.

p - numarul cazurilor favorabile evenimentului B.

q - numarul cazurilor favorabile evenimentului .

Atunci

Dar

si rezulta

Definitie. Probabilitatea evenimentului conditionata de evenimentul , notata sau este data de relatia :

daca

Definitie. Doua evenimente A si B sunt independente daca fiecare dintre ele nu isi modifica probabilitatea in functie de realizarea sau nerealizarea celuilalt, ceea ce inseamna ca

In practica notiunea de independenta comporta doua aspece.

In unele situatii nu este cunoscuta si ea trebuie dovedita.

Exemplu.Se arunca un zar o singura data. Notam:

A aparitia uneia din fetele cu 1,2,3 puncte.

B aparitia uneia din fetele cu 2,3,4,5 puncte.

Cele doua evenimente sunt independente ?

P(A)=1/2 , P(B)=4/6=2/3

P(A si B)=2/6=1/3

P(A si B)=1/3=1/2.2/3=P(A)P(B)

Evenimentele A si B sunt independente.

In cele mai multe cazuri, independenta este necunoscuta, ea reiesind din context.

Exemplu.Sa presupunem ca se arunca doua zaruri, unul de culoare alba, iar celalalt de culoare neagra. Consideram evenimentele:

A apariia fetei cu 4 puncte pe zarul alb;

B aparitia fetei cu 6 puncte pe zarul negru.

Evenimentele A si B sunt independente.

Fie urnele U si U , care contin bile albe si respectibv bile negre.

Notam cu A evenimentul care consta in extragerea unei bile albe din prima urna, iar cu B evenimentul care consta in extragerea unei bile negre din a doua urna. Cele doua evenimente sunt independente.

Tema de casa nr. 9

O urna contine 10 bile albe si 6 bile negre. Din aceasta urna se extrag 2 bile, nepunandu-se inapoi prima bila extrasa.

Se cere:

a)   probabilitatea ca cele doua bile sa fie albe;

b)   probabilitatea ca cele doua bile sa fie negre;

c)    probabilitatea ca prima bila sa fie alba si a doua sa fie neagra;

d)   probabilitatea ca prima bila sa fie neagra si a doua sa fie alba;

e)    probabilitatea ca bilele sa fie de aceeasi culoare;

f)     probabilitatea ca bilele sa fie de culori diferite.

Intr-un lot de 100 de piese 5 sunt diferite. Se aleg la intamplare 5 piese din lot. Care este probabilitatea ca printre piesele alese cel putin una sa fie diferita?

Intr-un container se afla 25 de piese bune si 5 defecte. In alt container se afla 25 de piese bune si 4 defecte. Din fiecare container se ia cate o piesa.

Care este probabilitatea ca:

a)   obtinerii a doua piese bune?

b)   obtinerii a doua piese defecte?

c)    obtinerii cel putin unei piese bune?

d)   Obtinerii a doua piese de acelasi tip (defecte sau bune)?

O urna contine 3 bile albe si 4 bile negre. Din aceasta urna se extrag succesiv doua bile (fara intoarcerea bilei extrase).

Consideram evenimentele:

A: prima bila extrasa este alba; B: a doua bila extrasa este alba.

Care este probabilitatea ca a doua bila extrasa sa fie alba daca prima este alba?

se arunca un zar o singura data si se considera evenimentele:

A: aparitia uneia din fetele 1, 2, 3. B: aparitia uneia din fetele 2, 3, 4, 5.

Sunt aceste evenimente independente?

Da.

Cursul nr. 10 Matematici speciale

3. Scheme si formule clasice de probabilitate.

Schema lui Bernoulli

In urma efectuarii unei experiente poate sa apara evenimentul cu probabilitatea p sau contrariul sau cu probabilitatea q=1-p.

Se repeta experienta de n ori in conditii identice. Probabilitatea ca in cele n experiente evenimentul sa apara de k ori este

Exemplu. Se arunca o pereche de zaruri de sase ori. Care este probabilitatea ca exact de patru ori sa obtinem un total de sapte puncte ?

Exemplu. Se trunca o moneda de 6 ori. Care este probabilitatea sa apara de 4 ori prima fata si de 2 ori a doua fata ?

Schema lui Bernoulli cu mai multe Stari

In urma efectuarii unei experiente pot aparea evenimentele cu probabilitatile

Se repeta experienta de n ori. Probabilitatea ca in cele n experiente evenimentele sa apara respectiv de ori este

cu

Exemplu. Se arunca un zar de 5 ori. Care este probabilitatea ca de doua ori sa obtinem fata cu un punct, de doua ori fata cu doua puncte si o data nici una din aceste doua fete ?

Exemplu. Probabilitatile ca diametrul unei piese de masina sa fie intre limite mai mici, respectiv mai mari decat cele admisibile sunt 0.05 si 0.10, iar probabilitatea ca diametrul unei piese sa fie intre limite admisibile este de 0.85.

Din intreg lotul se extrag la intamplare 100 piese. Care este probabilitatea intre piesele alese, 5 sa fie cu diametrul mai mic, iar 5 cu diametrul mai mare decat cel admis ?

Schema lui Poisson

Se fac n experiente independente. In urma experientei de rang k poate sa apara evenimentul cu probabilitatea sau cu probabilitatea

Probabilitatea ca in cele n experiente evenimentul sa se realizeze de m ori, cu , este coeficientul lui din polinomul

unde .

Exemplu. Se considera urnele : .

Care este probabilitatea ca lund la intamplare cate o bila din fiecare urna sa obtinem 2 bile albe si una neagra ?

Exemplu. Se experimenteaza 4 prototipuri de aparate, cate unul din fiecare prototip. Probabilitatea ca un prototip sa corespunda este 0.8, 0.7, 0.9 si respectiv 0.85.

Se cere probabilitatea ca toate cele 4 aparate experimentate sa corespunda.

Schema bilei nerevenite

O urna contine a bile albe si b bile negre. Din aceasta urna se se extrag n bile fara a pune bila extrasa inapoi in urna, .

Probabilitatea ca din bilele extrase sa fie albe si negre este data de

Consideram o urna care contine biele de m culori: de culoare de culoare de culoare . Se extrag bile deodata sau una cate una fara intoarcerea bilei extrasa din urna. Probabilitatea de a obtine bile de culoare bile de culoare bile de culoare este

Exemplu. Intr-un lot de 100 piese, 6 piese au defecte remediabile, 4 piese sunt rebuturi, iar restul sunt piese bune. Din acest lot au fost luate la intamplare 10 piese. Care este probabilitatea ca din aceste piese 7 sa fie bune, 2 sa aiba defecte remediabile si una sa fie rebut.

Formula inmultirii probabilitatilor

Teorema. Daca sunt n evenimente astfel incat probabilitatea realizarii simultane este diferita de zero, , atunci

Demonstratie. Folosind probabilitatile conditionate, avem:

pe care inmultindu-le membru cu membru se obtine formula de mai sus.

Exemplu. O urna contine 4 bile albe si 6 bile negre. Se cere probabilitatea ca extragand de trei ori cate o bila (fara a pune bila extrasa inapoi), sa obtinem la prima extragere o bila alba, iar la urmatoarele extrageri cite o bila neagra.

Formula probabilitatii totale

Definitie. O multime de evenimente formeaza un sistem complet de evenimente daca acestea sunt incompatibile doua cate doua si reuniunea lor este evenimentul sigur.

Teorema. Daca formeaza un sistem de evenimente, atunci pentru orice eveniment , avem :

Demonstratie. Din faptul ca formeaza un sistem de evenimente, rezulta ca un eveniment A nu se poate realiza decat impreuna cu unul si numai unul din evenimentele , ceea ce inseamna ca

iar

Conform regulii inmultirii probabilitatilor, avem :

care inlocuite mai sus, conduc la demonstrarea formulei.

Exemplu. Fie trei urne continand bile albe si negre, dupa cum urmeaza :

Dintruna din aceste urne se extrage la intamplare o bila. Care este probabilitatea ca bila extrasa sa fie alba ?

Formula lui Bayes

Teorema. Daca formeaza un sistem complet de evenimente, atunci pentru orice eveniment , avem :

Demonstratie. Aplicand formula inmultirii probabilitatilor, se obtine:

De aici rezulta ca

Pentru calculul lui aplicam formula probabilitatii totale:

si inlocuind, se obtine:

care se mai poate scrie

Exemplu. Fie doua urne care contin bile albe si negre: . Din aceste urne s-a extras o bila alba. Care este probabilitatea ca bila sa fi fost extrasa din prima urna ?

, ,

Variabile aleatoare

Frecvent, in viata de toate zilele, intalnim marimi ale caror valori se schimba sub influenta unor factori intamplatori.

Definitie. O marime asociata unei experiente aleatoare si care ia valori la intamplare, in functie de rezultatul experientei, se numeste variabila aleatoare.

De aici se poate desprinde concluzia ca o variabila aleatoare reprezinta o corespondenta intre multimea rezultatelor posibile ale unei experiente aleatoare si multimea numerelor reale.

Definitie. O variabila aleatoare este o functie care asociaza fiecarui eveniment elementar (fiecarui eveniment al spatiului de selectie) un numar real.

Definitie. Fiind dat un camp de probabilitate , functia R, masurabila ( ) se numeste variabila aleatoare.

Observatie. Unele variabile aleatoare pot lua un numar finit de valori, iar altele pot lua orice valoare dintrun interval.

Definitie. O variabila aleatoare este discreta daca multimea valorilor sale este o multime discreta (finita sau numarabila).

Observatie. Daca multimea valorilor unei variabile aleatoare este finita, variabila aleatoare se numeste simpla.

Definitie. Ovariabila aleatoare este continua daca multimea valorilor sale este o submultime a lui R

Variabile aleatoare discrete

Tinand seama de faptul ca valorile unei variabile aleatoare sunt influentate de cauze aleatoare, iar unele valori pot aparea mai des decat altele, rezulta ca o variabila aleatoare este mult mai bine precizata daca se cunoaste si probabilitatea cu care este luata fiecare valoare.

, unde , si

sau

, unde , si

Operatii cu variabile aleatoare discrete

Fie doua variabile aleatoare discrete care iau o multime finita de valori si o constanta R

Suma si produsul cu o constanta se prezinta astfel:

Suma celor doua variabile se calculeaza dupa cum urmeaza:

unde

,

Daca variabilele aleatoare sunt independente, atunci

Produsul celor doua doua variabile are urmatoarea distributie:

unde au aceeasi semnificatie ca mai sus.

Exemple.

Fie , doua variabile aleatoare.

Suma este data de deoarece

Produsul este dat de sau

deoarece

Independenta variabilelor aleatoare

Fie doua variabile aleatoare discrete simple.

Definitie. Variabilele aleatoare simple sunt independente daca evenimentele sunt independente.

Observatie. Cu alte cuvinte, doua variabile aleatoare sunt independente daca probabilitatea ca una din variabile sa ia o anumita valoare nu depinde faptul ca cealalta a luat o alta valoare.

In cazul variabilelor aleatoare discrete care iau o multime numarabila de valori, distributia se prezinta astfel:

, ,

Observatie. Operatiile cu variabile discrete care iau o multime numarabila de valori se efectueaza la fel ca operatiile cu variabile aleatoare simple.

Media unei variabilei aleatoare discrete simple este

Media unei variabilei aleatoare discrete care ia o multime numarabila de valori este daca seria este absolut convergenta. Suma acestei serii este valoarea medie a variabilei aleatoare , notata cu .

Proprietati. Daca sunt doua variabile aleatoare simple, atunci

1. , , R

Se stie ca ,

,

2. , unde ,

Se observa ca , se inmulteste cu si se insumeaza dupa

, ehivalent cu .

3.

Fie si

, ,

4. Daca sunt independente

,

Fie doua variabile aleatoare independente si produsul lor:

Definitie. Se numeste moment de ordinul al variabilei aleatoare , numarul .

Dispersia variabilelor aleatoare discrete

Pentru caracterizarea unei variabile aleatoare, valoarea medie este, in general, insuficienta. Doua variabile aleatoare simple pot lua acelasi numar de valori si pot avea aceeasi medie, dar in timp ce una ia valori apropiate de valoarea medie, cealalta poate sa ia valori foarte departate de aceasta medie.

Exemplu.

Fie si , ,

De aici rezulta necesitatea introducerii unui indicator numeric, care sa masoare gradul de imprastiere a valorilor unei variabile aleatoare in jurul valorii medii.

Dispersia unei variabile aleatoare discrete este

iar abaterea medie patratica este .

Dispersia se mai noteaza si calculeaza astfel:

unde

Proprietati

1.

2. Doua variabile care difera printr-o constanta au dispersii egale. Daca , a R atunci .

3. , a R.

4. Dispersia unei sume finite de variabile aleatoare independente doua cate doua este egala cu suma dispersiilor variabilelor considerate.

.

Exemplu. Fie variabila aleatoare

Sa se calculeze , , , .

Variabile aleatoarede tip continuu

Definitie. Se numeste lege de probabilitate, o corespondenta intre valorile posibile ale unei variabile aleatoare si probabilitatile corespunzatoare.

In cazul variabilelor de tip continuu, legea de probabiltate este corespondenta dintre intervalele dreptei reale si probabilitatile corespunzatoare acelor intervale.

Definitie. Se numeste functie de repartitie a variabilei aleatoare , functia : R → , .

Functia de repartitie se poate calcula pentru variabile de tip discret, dar ea prezinta mare interes pentru variabile de tip continuu.

Exemplu.

Fie variabila aleatoare simpla:

,

Proprietati

1. Pentru orice variabila aleatoare si R,

deoarece ceea ce inseamna ca

2. = = 0 si = =

Evenimentul este imposibil, iar este evenimentul sigur, de unde rezulta ca , .

3. este continua la stanga, ceea ce inseamna ca R

4. este nedescrescatoare pe R, ceea ce inseamna ca rezulta ca .

Daca rezulta ca , ceea ce inseamna ca si .

Definitie. Spunem ca are densitate de repartitie sau densitate de probabilitate, daca exista o functie : R → astfel

unde este functia de repartitie a variabilei aleatoare .

Definitie. Functia : R → R este densitate de repartitie a variabilei aleatoare , daca

a)    , R

b)    este integrabila pe R si

Observatii.

Exemplu.Sa se determine constantele R astfel ca functia:

sa fie densitate de repartitie.

Exemplu. Fie o variabila aleatoare. Sa se determine constanta R astfel incat functia

Media si dispersia unei variabile aleatoare de tip continuu

Fie o variabila aleatoare care ia valori in intervalul si are densitatea de repartitie pe acest interval.

Definitie. Se numeste valoare medie a variabilei , numarul .

Observatie. Definitia se pastreaza si pentru , .

Proptietati.

Daca sunt doua variabile aleatoare de tip continuu, atunci

2. , R

3. Daca atunci

4. Daca sunt variabile aleatoare independente, atunci

Definitie.Se numeste dispersia variabilei aleatoare , numarul

sau

unde

Proprietati.

oricare ar fi variabila aleatoare . daca si numai daca .

2.

3. , R

4. Daca variabilele aleatoare sunt independente doua cate doua, atunci

Tema de casa nr. 10   

Fie

Sa se calculeze

Se considera trei urne:

Din fiecare din aceste urne se extrage cate o bila. Se cere valoarea medie si abaterea medie patratica a numarului de bile albe obtinute din cele trei urne.

Fie ,

Se cere:

a)   distributia sumei .

b)   distributia produsului

Se considera variabilele aleatoare independente.

,

Sa se calculeze , .

Se arunca un zar de 120 de ori. Sa se gaseasca o margine inferioara pentru probabilitatea unde X reprezinta numarul de aparitii ale fetei cu 6 puncte.

Cursul nr. 11    Matematici speciale

Repartitii clasice de probabilitate

Repartitii clasice discrete

Repartitia uniforma discreta pe

X : => M[X]= si D²[X] =

Repartitia binomiala de parametri n si p

X => M[X]=n∙p si D²[X]=np(1-p)

Repartitia geometrica de parametru p

X : => M[X]= si D²[X]=

Repartitia Poisson de parametru >0:

X : => M[X] = D²[X] = λ

Repartitii clasice continue

Repartitia uniforma pe (a,b) are functia de densitate

f(x) = => M[X]= si D²[X]=

Repartitia exponential negativa de parametru >0

f(x) = => M[X]= si D²[X]=

Repartitia normala (Gauss) de parametri m>0 si σ (X~N(m,

f(x) = => M[X] = m si D²[X] = σ²

. Repartitia uniforma pe (a,b) are functia de densitate

f(x) =

Media variabilei aleatoare X ce are functia de densitate f x) este

M[X] =

Pentru calculul dispersiei folosim tot proprietatea D [X] = M[X ] - M [X], unde

M[X ] =

si deci

D [X] = M[X ] - M [X] =

Exemplu.Presupunem ca intr-o statie de autobuz, vehiculele trec din 3 in 3 minute. Timpul T cat un calator asteapta in statie este o variabila aleatoare repartizata uniform pe intervalul [0, 3].

2.Repartitia exponential negativa de parametru >0 are functia de densitate

f(x) =

Media variabilei aleatoare X ce are functia de repartitie f(x) este

M[X]=

Cum

rezulta ca

M[X] = 0 - 0 +

Pentru calculul dispersiei folosim tot proprietatea D [X] = M[X ] - M [X], unde

M[X ]=

Cum

rezulta ca

M[X ] = 0 - 0 + 2 M[X] =

Revenind,

D²[X] = M[X ] - M [X] = = .

De exemplu, variabila aleatoare X ce reprezinta durata de functionare a unei lampi are repartitie exponential negativa.

c)    Repartitia normala (Gauss) de parametri m>0 si σ (X~N(m, )) are functia de densitate

f(x) =

Media variabilei aleatoare X ce are functia de repartitie f(x) este

M[X]=

=

=

=

Dar

I∙I =

unde se face schimbarea de variabila

=>

Jordanianul schimbarii de variabile este

= = r

Deci

I∙I =

De unde

I =

Revenind,

M[X] = = m

Analog, dispersia variabilei aleatoare X este

D [X] =

=

=

Tema de casa nr. 11

Fie

a) Sa se verifice ca este densitate de repartitie.

b) Sa se calculeze functia de repartitie corespunzatoare.

c) Sa se calculeze stiind ca variabila aleatoare X are densitatea de repartitie

Fie

a) Sa se determine constanta c astfel incat sa fie densitate de repartitie.

b) Sa se determine functia de repartitie corespunzatoare.

c) Sa se calculeze probabilitatea ca variabila aleatoare X sa ia valori intre si

Fie .

a) Sa se determine constanta c astfel incat f sa fie densitate de repartitie.

b) Sa se calculeze functia de repartitie corespunzatoare.

c) Sa se calculeze , , .

d) Daca X si Y sunt variabile aleatoare independente avand densitatea de repartitie f, sa se calculeze

Fie

a) Sa se determine astfel incat F sa fie functie de repartitie.

b) Sa se determine densitatea de repartitie corespunzatoare.

c) Sa se calculeze

Cursul nr. 12+13    Matematici speciale

GRAFURI

Grafuri neorientate

Definitie. Un graf neorientat este definit de perechea ordonata unde este o multim finita, nevida de elemente numite noduri sau varfuri, iar este o multime de perechi de elemente ale lui , numite muchii sau arce.

Graful poate fi descris in plan printr-o figura in care nodurile sunt reprezentate prin puncte, iar muchiile prin segmente de dreapta sau arce de curba.

Fie . O muchie este o submultime cu doua elemente din , deci are forma unde . Virfurile se numesc extremitatile muchiei.

Intrun graf neorientat notatia reprezinta aceeasi muchie deoarece nu este stabilit un sens de parcurgere.

Multe realitati din jurul nostru se pot reprezenta prin grafuri : reteaua cailor de transport intre localitatile unei tari (localitatile sunt reprezentate prin noduri, iar soselele prin muchii), sustemul energetic, sistemul de comunicatii etc.

Ploiesti Brasov

Bucuresti     Sibiu

Pitesti Rm. Valcea