Ecuatii omogene

Ecuatii omogene.

Ecuatia  

unde a₀a_n ¹ 0, se numeste ecuatie omogena de gradul n in raport cu sinx si cosx.

Cum nu verifica ecuatia (21  ) (toti termenii, incepand cu al doilea sunt nuli, iar primul este diferit de zero) multiplicand ecuatia cu se obtine ecuatia echivalenta

a₀tgⁿx + a₁tg^n-1x + + a_n-1tgx + a_n = 0

care prin substitutia tgx = t, se reduce la rezolvarea unei ecuatii algebrice de gradul n.

Exemplul 8. Sa se rezolve ecuatiile: (Culegere Trigonometrie , Marius Stoka)

Rezolvare. a) Ecuatia a) reprezinta o ecuatie trigonometrica omogena de gradul intai. Se multiplica cu si se obtine ecuatia liniara in raport cu tg2x

tg2x - 1 = 0

de unde tg2x = 1 si

b) Cum sin2x = 2sinxcosx ecuatia b) se scrie sin²x + 2sinxcosx - 3cos²x = 0 si reprezinta o ecuatie trigonometrica omogena de gradul al doilea. Se multiplica cu si se obtine ecuatia patrata

tg²x + 2tgx - 3 = 0

cu solutiile tgx = -3 si tgx = 1. Prin urmare

c) Se scrie 3 = 31 = 3(sin²x + cos²x) si ecuatia devine

5sin²x + 5sinxcosx = 3sin²x + 3cos²x

sau

2sin²x + 5sinxcosx - 3cos²x = 0

adica o ecuatie trigonometrica omogena de gradul al doilea. Se rezolva similar exemplelor precedente si se obtin solutiile x = -arctg3 + pk,   k I Z si

d) Cum cos2x = cos²x - sin²x, sin2x = 2sinxcosx, ecuatia devine

sau

adica este o ecuatie trigonometrica omogena de gradul al doilea. Se multiplica cu si se obtine ecuatia patrata

cu solutia sau, rationalizand numitorul,
Asadar,