Paritate, imparitate

Paritate, imparitate

Vom pune in evidenta , pentru inceput , unele principii de baza:

● Multimea a numerelor intregi se poate partitiona in doua submultimi , cea a numerelor pare si cea a numerelor impare : , adica si Pe surt , orice numar intreg este sau par sau impar.

● Suma a doua numere intregi de paritati diferite este un numar par.

● Produsul a doua numere intregi de aceeasi paritate are aceeasi paritate ca si factorii produsului.

● Suma a doua numere intregi de aceeasi paritate este un numar par.

● Produsul a doua numere de paritati diferite este un numar par.

● Produsul a doua numere intregi consecutive este un numar par.

● Suma unui numar par de numere impare este un numar par.

In cele ce urmeaza , vom prezenta unele proprietati si probleme interesante :

P 1) Orice patrat perfect al unui numar intreg este de forma

sau

Demonstratie : E suficient sa consideram formele posibile pentru un numar intreg : daca numarul este par , ,atunci , iar daca numarul este impar , avem si astfel

P 2 ) Suma a 10 numere naturale nenule si distincte este 108. Aratati ca printre acestea cel putin doua sunt impare.

Solutie : Presupunem , prin reducere la absurd , ca in suma data avem cel mult un numar impar ; deoarece suma este egala cu un numar par , deducem ca toti termenii sunt numere pare. Adunam acum cele mai mici 10 numere pare , nenule si distincte : , contradictie cu ipoteza , asadar cel putin doua numere sunt impare. 

P 3 ) Sa se arate ca pentru orice , numarul se poate scrie ca o suma de doua numere naturale impare consecutive.

Solutie :

P 4 ) Sa se arate ca suma a n numere naturale impare consecutive , nu poate fi un numar prim.

Solutie : Evident .Deoarece avem ca suma se divide prin n , deci nu poate fi un numar prim . 

P 5 ) Aratati ca dintre oricare trei numere naturale se pot alege doua astfel incat suma lor sa fie un numar par.

Solutie :Conform principiului cutiei ( Dirichlet )avem ca , din trei numere naturale,cel putin doua au aceeasi paritate , deci suma lor este un numar par. 

P 6 ) Daca notam cu S suma a 100 de numere naturale pare consecutive si cu T suma a 100 de numere naturale impare consecutive , aratati ca nu exista astfel incat .

Solutie : Avem imediat ,deci La fel , Daca ar exista k cu proprietatea din enunt am avea , de unde , adica o egalitate absurda ( membrul stang este impar,iar cel drept este numar impar ) . 

P 7 ) Sa se determine numerele naturale pentru care

Solutie : Deoarece este un numar par , deducem si , imediat , 

P Numerele naturale nenule x , y , z sunt direct proportionale cu numerele .Aratati ca daca este un numar impar , atunci numerele a , b , c au aceeasi paritate.

Solutie : Din ( evident , am notat ) , deducem : .Cum 2 si sunt prime intre ele , avem acum ca este numar par ; analog si sunt numere pare si astfel numerele a , b , c au aceeasi paritate. 

P Sa se arate ca suma patratelor a doua numere naturale distincte de aceeasi paritate poate fi scrisa ca suma patratelor a patru numere naturale nenule.

Solutie : Fie numerele a , b de aceeasi paritate , asadar , . Deducem astfel , de unde imediat avem 

P 10 ) Sa se arate ca daca p si q sunt numere prime si a este numar natural astfel incat , atunci a este numar prim .

Solutie : Consideram cele doua cazuri posibile pentru a ( avand in vedere cadrul in care discutam ) : ( 1 ) a este impar . In acest caz ajungem imediat la cateva subcazuri : ( i ) p , q impare . Folosind

P 1 ) ajungem la egalitatea absurda ; ( ii ) p , q pare , deci ( care este numar prim ) ; ( iii ) p par , q impar , deci si , absurd .

) a numar par . In acest caz vom obtine si , folosind din nou P 1 ) si cele trei subcazuri , ajungem la rezultate contradictorii . 

P Cele casute ale unui tablou cu m linii si n coloane se completeaza numai cu numerele - 1 si 1 astfel incat produsul elementelor de pe fiecare linie si de pe fiecare coloana sa fie - 1 . Sa se arate ca numerele m si n nu pot fi de paritati diferite .

Solutie : Sa presupunem ca m este un numar par , iar n este impar. Calculam produsul elementelor din fiecare linie si inmultim toate aceste produse ; obtinem astfel produsul tuturor celor elemente , care este deci egal cu : .Acum , calculam produsul elementelor din fiecare coloana si inmultim toate aceste produse ; obtinem astfel tot produsul tuturor celor elemente , care este insa egal cu : , absurd.

Ramane totusi o intrebare : conditia ca m si n sa aiba aceeasi paritate este si suficienta , adica exista vreun tablou care sa satisfaca proprietatile din enunt ? Raspunsul e afirmativ , dupa cum arata urmatorul exemplu ( ) :

P Sa se arate ca nu exista numere intregi x , y , z astfel incat

.

Solutie : Presupunand ca exista numere care sa satisfaca egalitatea din enunt , avem ca x trebuie sa fie numar impar , deci .Inlocuind , ajungem la concluzia ca si y ar trebui sa fie impar. Inlocuind mai departe ajungem la o egalitate absurda intre un numar par si unul impar. 

Folosind , in general , aceleasi metode , va propunem sa va incercati puterile cu urmatoarele :

P Daca n numere naturale , nenule si distincte au suma egala cu , aratati ca printre acestea exista cel putin doua numere impare.

P Sa se arate ca oricare ar fi trei numere naturale impare exista un numar natural impar astfel incat suma patratelor celor patru numere sa fie patrat perfect.

P Daca n este un numar natural impar si o permutare oarecare a numerelor , sa se arate ca produsul este un numar par .

P Sa se arate ca orice numar intreg se poate scrie intr-o infinitate de moduri sub forma

P Sa se arate ca pentru orice pereche de numere intregi se poate gasi un numar intreg c astfel incat multimile si sa fie disjuncte.

Bibliografie :

D.M.Batinetu-Giurgiu si colectiv - Olimpiadele nationale de matematica 1990-2003 ( VI - XII ) , Ed.Barchi , 2004

Gh. Eckstein si colectiv - Olimpiadele si concursurile de matematica ( V - VI , VII - VIII 2006 ) , Ed. Barchi , 2006

L.Panaitopol , D.Serbanescu - Probleme de teoria numerelor si combinatorica pentru juniori , Ed. GIL , 2003