PLANUL

PLANUL

1. REPREZENTAREA PLANULUI

Un plan poate fi reprezentat prin proiectiile elementelor geometrice care il determina:

- trei puncte necoliniare (figura 1, a);

- o dreapta si un punct exterior (figura 1, b);

- doua drepte concurente (figura 1, c) ;

- doua drepte paralele (figura 1, d).

In desenul tehnic, se utilizeaza reprezentarea planului prin urme, deoarece din aceasta reprezentare se poate deduce pozitia planului fata de planele de proiectie.

Se numesc urmele planului, dreptele dupa care planul se intersecteaza cu planele de proiectie.

Se considera planul , care intersecteaza triedrul de proiectie Oxyz (figura 2, a). Dreapta de intersectie dintre plan si planul orizontal se numeste urma orizontala a planului si se noteaza cu P, dreapta de intersectie cu planul vertical se numeste urma verticala si se noteaza cu iar dreapta de intersectie cu planul lateral se numeste urma laterala si se noteaza cu Planul P intersecteaza axele de proiectie in punctele notate cu P_x, P_y si P_{z ,} care reprezinta punctele de concurenta intre urmele planului, corespunzatoare planelor de proiectie ce determina axa respectiva. Prin rabaterea planelor de proiectie, se obtine reprezentarea in epura a planului (figura 2, b).

Observatii:

- Planele se noteaza cu majuscule intre paranteze drepte. Exemplu: etc;

- Urmele planelor se noteaza cu majuscule, cu aceeasi litera ca si planul, folosind pentru urma verticala si laterala notatiile "prim", "secund". Exemplu: urmele planului sunt: si .

2. REPREZENTAREA DREPTEI SI PUNCTULUI CONTINUTE DE UN PLAN

O dreapta este continuta de un plan in urmatoarele cazuri:

- daca un punct al dreptei este continut de plan si este paralela cu o dreapta ce apartine planului;

- daca doua puncte ce apartin dreptei sunt continute de plan;

- daca urmele dreptei sunt situate pe urmele de acelasi nume ale planului (in cazul cand se utilizeaza reprezentarea planului prin urme).

In figura 3, a si b se arata reprezentarea dreptei D continute de planul P. Urma orizontala a dreptei (H = h) este continuta de urma orizontala P, iar urma verticala a dreptei (V = v') este situata pe urma verticala a planului.

Un punct apartine unui plan, daca este continut de o dreapta a planului.

In epura, un punct apartine unui plan P daca el are proiectiile situate pe proiectiile de acelasi nume a unei drepte D ce indeplineste conditiile de apartenenta la planul P (are urmele situate pe urmele de acelasi nume ale planului).

Punctul M (figura 3) apartine planului P, deoarece este situat pe dreapta D, continuta de plan. Proiectiile punctului sunt situate pe proiectiile de acelasi nume ale dreptei ; si .

DREPTE PARTICULARE ALE PLANULUI

Dreptele particulare ale planului sunt drepte continute de plan dar care au o pozitie particulara fata de planele de proiectie.

1. Drepte continute in plan si paralele cu unul din planele de proiectie

Dreapta de nivel sau orizontala unui plan se numeste dreapta continuta de plan, paralela cu planul orizontal de proiectie (figura 4). Proiectia orizontala d este paralela cu urma orizontala P, iar proiectia verticala d', paralela cu Ox.

Dreapta de front sau frontala unui plan se numeste dreapta continuta de plan, paralela cu planul vertical de proiectie (figura 5).

Proiectia orizontala d este paralela cu axa Ox, iar proiectia verticala este paralela cu urma verticala .

Dreapta de profil a unui plan se numeste dreapta continuta de plan, paralela cu planul lateral (figura 6).

Proiectia laterala este paralela cu urma laterala , proiectia orizontala d este paralela cu axa Oy iar proiectia verticala este paralela cu axa Oz.

Figura 4

Figura 5

2. Dreapta de cea mai mare panta fata de unul din planele de proiectie

Linia de cea mai mare panta a unui plan, in raport cu planul orizontal de proiectie, se numeste dreapta continuta de plan, perpendiculara pe urma orizontala si pe dreptele de nivel ale planului (figura 7). Conform teoremei celor trei perpendiculare, proiectia orizontala a liniei de cea mai mare panta fata de planul orizontal este perpendiculara pe urma orizontala a planului.

Linia de cea mai mare panta reda valoarea unghiului diedru format de plan cu planul respectiv de proiectie (in figura 7 unghiul format de plan cu planul orizontal).

O dreapta de cea mai mare panta determina singura planul.

Generalizand, dreapta de cea mai mare panta (d.c.m.m.p) fata de unul din planele de proiectie este dreapta continuta de plan care este perpendiculara pe urma respectiva a planului.

In epura, dreapta de cea mai mare panta a unui plan fata de unul din planele de proiectie are proiectia pe acel plan perpendiculara pe urma de acelasi nume a planului.

4. POZITIA PLANELOR FATA DE PLANELE DE PROIECTIE

4.1. Plane paralele cu planele de proiectie

Planul de nivel este paralel cu planul orizontal de proiectie (figura 8). Are urma verticala paralela cu axa Ox, iar urma laterala paralela cu axa Oy. Orice figura plana continuta in planul de nivel se proiecteaza in adevarata marime pe planul orizontal si ca un segment pe urma verticala si laterala.

Planul de front este paralel cu planul vertical de proiectie (figura 9).

Planul de profil este paralel cu planul lateral de proiectie (figura 10).

4.2. Plane perpendiculare pe planele de proiectie

Planul vertical sau proiectant pe planul orizontal de proiectie (figura 11).

Urma verticala este perpendiculara pe axa Ox, iar urma laterala , perpendiculara pe axa Oy.

In epura urma orizontala P, face un unghi cu axa Oy egal cu unghiul diedru dintre planul si planul lateral de proiectie si un unghi cu axa Ox egal cu unghiul diedru dintre planul si planul vertical de proiectie .

Un punct , continut de planul , proiectant pe planul orizontal, are proiectia orizontala m, situata pe urma orizontala P a planului.

Planul de capat sau proiectant pe planul vertical este perpendicular pe planul vertical de proiectie (figura 12).

In epura, urma verticala , face un unghi cu axa Ox egal cu unghiul diedru dintre planul si planul orizontal de proiectie .

Planul perpendicular pe planul lateral de proiectie

Planul perpendicular pe planul lateral de proiectie poate fi:

plan paralel cu axa Ox;

plan ce trece prin axa Ox.

Planul paralel cu axa Ox este perpendicular pe planul lateral de proiectie (figura 13).

In epura, urma verticala si orizontala P sunt paralele cu axa Ox, iar urma laterala face un unghi cu axa Oy₁ egal cu unghiul diedru dintre planul si planul orizontal de proiectie si un unghi cu axa Oz egal cu unghiul diedru dintre planul si planul vertical de proiectie .

Planul care trece prin axa Ox se mai numeste si plan axial si este perpendicular pe planul lateral (figura 14).

Figura 14

4. Pozitiile relative a doua plane

Doua plane pot fi paralele sau concurente

Plane paralele. Doua plane paralele au urmele de acelasi nume paralele intre ele (figura 15). Aceasta reprezentare se bazeaza pe urrmatoarea teorema: doua plane paralele se intersecteaza cu un al treilea, dupa doua drepte paralele.

Plane concurente. Doua plane concurente se intersecteaza dupa o dreapta. Planele concurente se pot intalni sub un unghi oarecare sau pot fi perpendiculare.

Pentru a determina dreapta de intersectie a doua plane, se stabilesc doua puncte comune celor doua plane (figura 16) sau un punct comun si directia (pozitia) dreptei de intersectie (figura 17).

In figura 16, se determina dreapta de intersectie a planelor si , stabilind doua puncte comune celor doua plane. Planele si fiind reprezentate prin urme, punctele comune sunt situate la intersectia urmelor de acelasi nume ale planelor. La intersectia urmelor orizontale ale planelor, rezulta un punct comun iar la intersectia urmelor verticale ale planelor al doilea punct comun . Pentru dreapta de intersectie a celor doua plane, punctele H si V reprezinta urmele dreptei.

In figura 17, planele si sunt perpendiculare pe planul orizontal de proiectie, deci si dreapta lor de intersectie va fi perpendiculara pe planul orizontal. La intersectia urmelor orizontale ale planelor, rezulta un punct comun, care corespunde cu urma orizontala si cu proiectia orizontala a dreptei, dreapta de intersectie fiind o verticala.

Plane perpendiculare. Un plan este perpendicular pe alt plan, daca va contine o dreapta perpendiculara pe acel plan.

4.4. Pozitiile dreptei fata de un plan

Dreapta paralela cu un plan. O dreapta este paralela cu un plan, daca este paralela cu o dreapta continuta de acel plan (figura 18). Dreapta D₁ este paralela cu planul , deoarece este paralela cu dreapta D, continuta de planul .

Dreapta concurenta cu un plan. Pentru a determina punctul de interscctie dintre dreapta D si planul (figura 19), se executa urmatoarele constructii:

se duce prin dreapta D un plan auxiliar , ;

se determina dreapta de intersectie , dintre cele doua plane si, ;

se stabileste punctul de intersectie I, dintre dreapta data si dreapta de intersectie , care reprezinta punctul de intersectie dintre dreapta si plan, .

In exemplul din figura 19, b si 19, c, s-a utilizat ca plan auxiliar care contine dreapta , un plan vertical, iar in figura 19, d, un plan de capat.

Dreapta perpendiculara pe un plan. O dreapta perpendiculara pe un plan are proiectiile perpendiculare pe urmele de acelasi nume ale planului. Se considera dreapta , perpendiculara pe planul, pe care-l intersecteaza in punctul I (figura 20). Prin punctul de intersectie I, se considera D₁, ca dreapta de nivel a planului.

Dreapta D va fi perpendiculara si pe dreapta D₁. Conform teoremei unghiului drept, cele doua drepte vor avea proiectiile orizontale d si d₁, perpendiculare intre ele. Proiectia orizontala d₁ fiind paralela cu urma orizoutala a planului, rezulta ca proiectia orizontala d va fi perpendiculara pe urma orizontala P, a planului. Daca prin punctul I se considera si o frontala a planului, rezulta ca proiectia verticala d' va fi perpendiculara pe urma verticala (figura 20, b).