INTERPOLARE SI APROXIMARE NUMERICA: Functii de aproximare

INTERPOLARE SI APROXIMARE NUMERICA

Sub termenul de interpolare se intelege determinarea valorii a unei functii necunoscute din interiorul intervalului dat, reiesind din valorile ei cunoscute de la marginile intervalului.

Pentru a efectua o interpolare, functia necunoscuta se aproximeaza cu o functie analitica cuvenita, dupa care se determina valoarea cautata.

Problema aproximarii a unei functii f(x) apare in cazuri cand:

sunt cunoscute numai valorile numerice ale functiei ;

expresia functiei este foarte complicata si este greu de evaluat.

In primul caz, se incadreaza citirea rezultatelor experimentale trecute sub forma unor tabele.

In cel de-al doilea caz, se incadreaza functiile trigonometrice, functiile Bessel cu argumentul complex, sau combinatia acestora, care nu pot fi evaluate direct, ci numai prin metode numerice.

1. Functii de aproximare

Sinteza unei functii noi analitice g(x), care aproximeaza functia data originala f(x), se bazeaza pe utilizarea anumitor combinatii din functii simple, preluate dintr-o clasa de functii , de forma:

(1)

Cele mai utilizate clase de functii sunt:

- monoamele ;

- functiile trigonometrice , k=0,1,,n ;

- functii exponentiale , i= 0,1,,n .

Combinatii liniare ale monoamelor conduc la polinoame de ordinul n:

(2)

Combinatii liniare ale functiilor trigonometrice formeaza serii Fourier :

(3)

Combinatii liniare ale functiilor exponentiale alcatuiesc polinoame exponentiale:

(4)

Dintre posibilitati prezentate mai sus, cea mai des utilizata este aproximarea polinomiala.

Baza teoretica a aproximarii polinomiale o constituie teorema Weierstrass, in care se arata ca orice functia continua f(x) poate fi aproximata cu o precizie oricat de buna pe un interval dat inchis, de un polinom .

NOTA. Din pacate, teorema Weierstrass nu ofera nici un criteriu practic de aflare a polinomului potrivit.

In practica, pentru un polinom de aproximare se impune satisfacerea conditiei de egalitatea valorilor polinomului cu valorile functiei originale in punctele stabilite, sau :

, i=0,1,,n , (5)

unde sunt valorile functiei originale in punctele: . Pentru orice alt punct , dintre functia originala f(x) si polinomul de aproximare exista o anumita diferenta numita eroare sau rest .

Deci, se poate scrie ca

(6)

Daca restul , atunci din (6) cu considerarea (5) rezulta un sistem de n+1 ecuatii liniare:

(7)

Solutia acestui sistem o constituie chiar coeficientii polinomului de aproximare cautat. Determinantul acestui sistem:

este cunoscut ca determinantul lui Vandermonde. Acesta este nenul () pentru orice . Rezulta deci, ca sistemul de ecuatii dat (7) admite o solutie unica pentru coeficientii .

Cu alte cuvinte, in conformitatea cu teorema Weierstrass , pentru o baza de date considerata exista un singur polinom , care reproduce la fix valorile functiei origine f(x) in punctele date.

Interpolare poate fi efectuata prin aproximare cu diferite poliname: polinoame cu diferente divizate, polinoame cu diferente finitesau cu polinoame Lagrange.

2. Interpolarea cu diferente divizate

Se utilizeaza pentru o baza de date numerice aflata sub forma de a unui tabel

cu n + 1 de puncte neechidistante , adica la care

diferentele dintre punctele alaturate nu sunt egale sau la care

.

Diferente divizate , care sunt elemente caracteristice ale acestei metodei, se definesc dupa formulele:

Diferente divizate au urmatoare proprietati:

ordinea argumentelor este nesemnificativa, de exemplu:

;

diferentele divizate se pot fi puse intr-o forma simetrica, de exemplu:

Utilizand relatia generala pentru o functie de aproximare, putem scrie ca

,

la care

(9)

reprezinta polinomul Newton cu diferente divizate de ordinul n.

Eroarea sau restul de aproximare se determina dupa formula:

(10)

3 Interpolarea cu polinoame Lagrange

Se utilizeaza pentru o baza de date neechidistante . Relatia generala de aproximare este data de forma:

,

unde

este polinomul Lagrange , in care lagrangeanul

, iar i=0,1,2,,n (11)

Restul de aproximare se determina dupa formula:

(12)

4 Interpolarea cu diferente finite

In cazul in care punctele din baza de date sunt echidistante, adica exista o diferenta constanta dintre puncte:

, unde h este pasul punctelor,

polinoamele de tip Newton sau Lagrange se pot exprima in forme mai simple.

In loc de diferentele divizate se folosesc asa numite diferente finite.

Se utilizeaza operatori de diferente finite inainte (),de diferente finite inapoi () si de diferente finite centrale (

Operatorii sunt liniari, adica:

(,

,

A.    Operatorul diferente finite inainte se defineste astfel:

..........

Relatia de legatura intre diferentele finite si diferentele divizate este de forma:

Pentru transcrierea polinomului de interpolare Newton intr-o forma mai compacta se introduce parametrul , astfel incat unde pentru valori ale lui x cuprinse in intervalul

Polinomul Newton cu utilizarea formulei (14) devine :

(15)

B.     Operatorul diferente finite inapoi se defineste astfel:

(16)

...........

Introducand parametrul astfel ca unde si polinomul de interpolare Newton va avea forma :

(17)

C.    Operatorul diferente finite centrale se defineste astfel:

(18)

...........

Aproximarea in acest caz se poate face folosind formula lui Gauss :

(19)

Aplicatia 1. Aplicrea interpolarii polinomiale cu diferente divizate ( polinoamelor de interpolare Newton ) pentru operatia de etalonare a unui debitmetru cu diafragma

Se considera operatia de etalonare a unui debitmetru cu diafragma:

Fig. 1. Debitmetru cu diafragma : 1-diafragma, 2- conducta, 3- cupa, 4- surub ,

5 -saiba, 6- piulita, 7- manometrul diferential, 8-garnitura

Datele experimentale sunt prezentate in tabelul 1:

Tabelul 1

Se cere , utilizand functia de etalonare f(x_i) , determinarea cu precizia 10^-2 a indicatiei debitmetrului (caderea de presiune h ) la debitul dat x =40 , aplicand interpolarea polinomiala cu diferente divizate ( polinomul de interpolare Newton ) .

REZOLVARE

1. Inainte de efectuarea procedurii de aproximare cu polinoame Newton cu cu diferente divizate se deternina valorile lor avand ca baza tabelul 1.

Vom nota cu [ ] diferenta divizata de ordinul k, adica

Diferente divizate de ordinul 1:

Diferente divizate de ordinul 2 :

Diferente divizate de ordinul 3 :

Diferente divizate de ordinul 4 :

Rezultatele calculelor diferentelor divizate se aduna intr-un tabel (tab. 2) :

Tabelul 2

2. Pentru interpolarea functiei f(x) in punctul dat (x=40) vom aplica pe rand aproximarea liniara, patratica si cu polinomul de ordinul  

Cazul I. Interpolare liniara.

Aceasta se face pentru o baza formata din 2 puncte . Alegem doua puncte intre care se afla necunoscuta x=40 : x₂=38,25 si x₃ =41,08.

Renumim si

Polinomul de aproximare este de ordinul 1:

Valoarea aproximata a functiei in punctul x=40 va fi:

Cazul 2. Interpolare patratica.

Se face pentru baza formata din trei puncte .Ele se aleg in functie de valoarea pe care o interpoleaza. De exemplu, pentru x=40 vom alege :

Polinomul de aproximare va fi de ordinul 2:

Valoarea interpolata a functiei in acest caz va fi :

Cazul 3. Interpolare cu un polinom de ordinul

Aceasta se face pentru o baza formata din toate cele cinci puncte din tabel : Polinomul Newton de interpolare va avea forma :

iar valoarea aproximativa pentru x=40 este

P₄ (40) =1000+(40-3,28)∙45,4552+(40-30,.22)∙(40-35,72)∙6,632+(40-30,22)∙(40-35,72)∙(40-38,26)∙(-0,7950)+(40-35,72)∙(40-38,26)∙(40-41,08)∙0,5807=1625,2806

RASPUNS.

La debitul de Q =40 , indicatia debitmetru va fi h = 1625,28 mm c. l.

NOTA. Din mecanica fluidelor se cunoaste ca variatia debitului Q al unui fluid de densitatea trecut printr-un orificiu cu sectiunea constanta S in functie de cadere de presiunea ∆P se descrie prin ecuatia patratica : , sau , sau generalizand . In acest caz apriori sa poata spune ca pentru cazul dat va fi suficienta interpolarea patratica.

Aplicatia 2. Stabilirea modelului matematic (functiei empirice) al procesului de fierberea apei , utilzand aproximarea cu polinoame LaGrange

Se considera variatia densitatii a apei la fierbere intr-un cazan in functie de temperatura (tab. 3):

Tabelul 3

Se cere stabilirea modelului matematic (functiei empirice) cu care se descrie procesul de fierbere, utilzand aproximarea bazelor de date cu polinoame Lagrange

Apreciati valabilitatea modelului matematic obtinut (eroarea de aproximare).

REZOLVARE 

Pentru stabilirea functiei empirice (modelul matematic), cu care se descrie procesul de fierbere , vom utiliza aproximarea cu polinomul Lagrange de ordinul 2.

Selectam din baza de date trei puncte necesare:

x₀=100 ; x₁=120 ; x₂=140

Aplicand relatia pentru polinomul Lagrange (11) :

unde   , i=0,1,2,., n , j=0,1,2,., n 

se obtine :

Atunci

sau expresia finala a polinomului de aproximare este :

Pentru aprecierea valabilitatii modelului matematic se determina valoarea calculata a densitatii pentru temperatura T= ( punctul 3 din baza de date,care nu s-a utilizat pentru aproximare ) si se compara cu valoarea originala din tabelul 3:

RASPUNS

1) Formula empirica cautata (modelul matematic) care descrie procesul dat va avea forma :

2) Eroarea de aproximare va fi :