APROXIMAREA FUNCTIILOR

1. INTRODUCERE

Prin aproximarea unei functii , se intelege inlocuirea acesteia cu o alta functie convenabila . Aceasta operatie se realizeaza atunci cand functia este greu de calculat (prin derivare sau integrare), iar functia are o expresie mai simpla, convenabila calculului numeric. Aproximarea functiilor se face si atunci cand functia este obtinuta grafic sau din experimentari si se cere imaginea analitica a acesteia.

La baza aproximarii functiilor stau mai multe principii, si anume:

- principiul interpolarii;

- principiul celor mai mici patrate (minipatrat Gauss);

- principiul maximelor minime (minimax Cebisev).

2. APROXIMAREA FUNCTIILOR PRIN INTERPOLARE

Fie , cu , pentru care se cunosc valorile in nodurile . Se cere determinarea unei functii analitice , destul de simpla, care sa aproximeze functia . Functia fiind imaginea analitica a functiei , operatia de aproximare poarta numele de interpolare si nu are solutie unica deoarece prin (n+1) puncte: , se pot trasa o infinitate de curbe.

De regula, pentru functia se foloseste o combinatie liniara de functii simple, adica un polinom de functii de forma:

(2.1)

Acest polinom de functii se particularizeaza in:

polinom de puteri:

(2.2)

polinom trigonometric:

(2.3)

polinom de exponentiale reale:

(2.4)

polinom de exponentiale complexe:

(2.5)

polinom de functii speciale: Legendre, Laguere, Hermite, Cebisev.

2.2. Interpolarea liniara

Pentru o retea de noduri considerate distincte, presupunem cunoscute valorile . Avand in vedere ca functia este data tabelar, nu putem determina valoarea functiei intr-un punct al carui abscisa difera de nodurile considerate, decat daca apelam la o formula de interpolare. Se va incepe studiul aproximarii functiilor prin interpolare cu cea mai simpla metoda, si anume: interpolarea liniara.

Din setul de puncte date, consideram doar doua puncte, si anume: si (fig. 2.1).

Fig. 2.1. Imaginea interpolarii liniare

Pentru a determina valoarea , intr-un punct (), vom considera ecuatia dreptei ce trece prin cele doua puncte A si B, si anume:

(2.9)

Pentru , rezulta:

Se demonstreaza [11] ca eroarea de trunchiere in nodul considerat , folosind interpolarea liniara, este:

(2.10)

2.3. Interpolarea patratica

Deoarece, in general, functiile de interpolat difera de o functie liniara, se procedeaza la interpolarea polinomiala, cu gradul polinomului mai mare sau egal cu doi. In cazul interpolarii patratice, se considera trei puncte consecutive si (fig. 2.2) si se presupune ca prin cele trei puncte trebuie sa treaca graficul unei functii de forma:

. (2.11)

unde .

Fig. 2.2. Imaginea interpolarii patratice

Pentru determinarea coeficientilor si , se inlocuieste x, din relatia (2.11), succesiv cu si se obtin ecuatiile:

(2.12)

(2.13)

(2.14)

Relatiile (2.12), (2.13) si (2.14) formeaza un sistem de trei ecuatii liniare in necunoscutele si , sistem ce se poate rezolva analitic sau numeric (de exemplu, prin metoda eliminarii gaussiene).

2.4. Polinoame de interpolare Newton

2.4.1. Polinom de interpolare Newton dreapta

(cu diferente finite progresive)

Fie o functie , pentru care se cunosc valorile in nodurile presupuse echidistante, adica: , h fiind pasul retelei. Se pune problema determinarii unui polinom de grad mai mic sau egal cu n, care sa satisfaca conditiile de interpolare:

(2.15)

Pentru aproximarea functiei f, se va considera un polinom de forma:

(2.16)

Folosind conditiile de interpolare (2.15) si expresia (2.16), se obtine:

- pentru

- pentru

- pentru

.........................

- pentru

Nodurile fiind echidistante, se pot scrie relatiile:

(2.17)

(2.18)

(2.19)

.................

(2.20)

Din relatia (2.17) se obtine coeficientul , si anume:

Inlocuind valoarea lui in relatia (2.18), se obtine:

(2.21)

In mod analog se obtin si ceilalti coeficienti, si anume:

(2.22)

Prin inlocuirea valorilor coeficientilor din expresiile (2.17), (2.21) si (2.22), in relatia (2.16), se obtine:

(2.23)

Pentru intocmirea programului de calcul se face o schimbare de notatie, si anume . In acest caz, polinomul (2.23) devine:

(2.23')

2.4.2. Polinom de interpolare Newton stanga

(cu diferente finite regresive)

Polinomul Newton de interpolare stanga are forma:

(2.25)

Pentru determinarea coeficientilor se folosesc conditiile de interpolare:

. (2.26)

Astfel:

- pentru

- pentru

- pentru .........................

- pentru (2.27)

Nodurile fiind echidistante, din relatiile (2.27) se obtin coeficientii , de forma:

(2.28)

Dupa inlocuiri in relatia (2.25), se obtine:

(2.29)

2.5. Polinoame de interpolare Gauss (nu se cer la examen)

2.5.1. Polinom de interpolare Gauss dreapta (de prima speta)

Fie , pentru care se cunosc valorile in punctele din intervalul . Punctele sunt considerate echidistante, iar pasul retelei este h. Pentru aproximarea functiei f,     se construieste un polinom de interpolare pornind de la un punct interior intervalului , care conduce la o eroare minima de interpolare pentru

Polinomul Gauss de interpolare de prima speta este de forma:

(2.31) sau

(2.32)

Pentru determinarea constantelor se pun conditiile de interpolare:

Astfel:

- pentru

- pentru

- pentru

- pentru

Folosind relatiile anterioare, se obtin coeficientii , dupa cum urmeaza:

(2.33)

Dupa inlocuiri in relatia (2.32), se obtine:

(2.34)

Daca se face schimbarea de variabila , rezulta:

(2.35)

2.5.2. Polinom de interpolare Gauss stanga (de speta a doua)

Polinomul Gauss de interpolare de speta a doua este de forma:

(2.36)

Pentru determinarea constantelor , se pun conditiile de interpolare:

Astfel:

- pentru

- pentru

- pentru

- pentru

Folosind relatiile anterioare, se obtine:

Dupa inlocuiri in relatia (2.36), se obtine:

(2.37)

Daca se face schimbarea de variabila , rezulta:

(2.38)

2.6. Polinom de interpolare Lagrange (se cere la examen

Fie , si (n+1) puncte din intervalul , pentru care se cunosc valorile . Punctele sunt considerate echidistante, iar pasul retelei este h. Pentru aproximarea functiei f, se construieste un polinom de interpolare de forma:

(2.39)

unde reprezinta polinoame de gradul n. Conditiile de interpolare sunt:

(2.40)

Pentru a obtine forma polinoamelor , se pun conditiile de interpolare (2.40), si anume:

.........

Prin identificare, rezulta:

(2.41)

...........

Din relatiile (2.41), rezulta ca fiecare dintre polinoamele are n zerouri distincte, ceea ce inseamna ca un polinom oarecare, , are forma:

(2.42)

Constantele se determina din conditiile: , si sunt de forma:

(2.43)

Daca se inlocuiesc relatiile (2.42) si (2.43) in relatia (2.39), se obtine polinomul Lagrange de interpolare, de forma:

(2.44)

Forma polinomului Lagrange se simplifica daca se face notatia:

(2.45)

Derivata functiei este:

(2.46)

Daca se inlocuieste cu , se obtine:

(2.47)

astfel ca polinomul de interpolare Lagrange devine:

(2.48)