Pitagora si Pythagorienii

(ap. 580 - ap. 500 i.e.n.)

Pitagora a avut mai mult noroc decat alti savanti ai lumii antice. Despre el s-au pastrat o multime de legende si mituri, adevarate sau ba. De numele lui se leaga mari descoperiri din domeniul matematicii, si in primul rand - teorema care poarta numele lui. Insa aceasta teorema n-a fost descoperita de Pitagora. Ea a fost cunoscuta pentru cazuri particulare in China Antica, Babilonia, Egipt. Unii considera, ca Pitagora a fost primul care a dat o demonstratie riguroasa a acestei teoreme, altii nu recunosc nici meritul acesta.

Probabil insa, nu exista o alta teorema care ar avea atatea comparatii. In Franta si unele regiuni ale Germaniei in evul mediu teorema lui Pitagora se numea 'puntea magarilor'. La matematicienii Orientului ea era cunoscuta sub denumirea de 'teorema miresei'. Istoria este urmatoare: in unele texte - 'Elemente' lui Euclides - aceasta teorema se numea 'teorema nimfei' pentru asemanarea desenului cu albina sau fluture, ceea ce in limba greaca se numea 'nimfa'. Dar unele zeite si in general femeile tinere si miresele erau cunoscute, la greci, ca nimfe. La traducerea din limba greaca in cea araba insa nu s-a atras atentie la desen, si 'nimfa' s-a transformat din 'fluture' in 'mireasa'.

Se spune, desigur, fiind numai legenda, ca Pitagora, dupa ce a demonstrat celebra teorema, a multumit zeii, sacrificand 100 de boi. Dar exista si anumite contradictii, deoarece Pythagoras a fost un vegetarian si adversar neimpacat al taierii animalelor si varsarii de sange.

Pentru noi Pythagoras este un matematician, iar in antichitate n-a fost la fel. Herodot il numeste pe Pythagoras 'invatatorul intelepciunii', dar indica ca adeptii lui nu inmormantau mortii in imbracamintele de lana. Aceasta seamana mai mult cu religia, decat cu matematica.

Pentru contemporanii sai Pythagoras a fost in primul rand un profet religios despre care spuneau, ca are o coasta de aur sau apare simultan in doua localitati diferite. Unele texte il prezinta ca semizeu, asa cum el insusi s-ar fi imaginat: fiul lui Hermes. Pythagoras a considerat ca exista trei feluri de fiinte - divinitati, oameni obisnuiti si 'fiinte in felul lui Pythagoras'. In literatura pythagorienii se reprezentau mai mult ca vegetarieni pretentiosi si superstitiosi, decat ca matematicienii.

Despre viata lui Pythagoras multa vreme informatiile au fost contradictorii, fiind considerat cand ca un personaj legendar, cand ca omul istoric.

Se stie ca s-a nascut in prima perioada a secolului al VI-lea (ap.580) si ca ar fi trait pana la anul 500. Se zice ca ar fi fost de 'neam berber', etrusc din Italia, nascut pe insula Samos. Pythagoras a cunoscut indeaproape cultura greceasca a timpului sau, 22 de ani a calatorit in Egipt (unde ar fi aflat ca sufletul este nemuritor), 12 ani se ocupa cu stiinte in Mesopotamia. Probabil ca, anume de la preotii si magii Babilonului a preluat misticismul numarului, care a fost transformat de catre Pythagoras in filosofie proprie. L-ar fi cunoscut pe Zarathustra, conceptia acestuia influentandu-l mai ales in expunerea viziunii despre contrarii si rolul lor. Reintorcandu-se la Samos, Pythagoras a infiintat o scoala, mai exact a strans in jurul lui oameni care ii impartaseau ideile, i-a organizat, practicand un invatamant specific inchis, cu reguli draconice, asemanator mai degraba unei secte.

Scoala lui Pythagoras a devenit un 'ordin' cu cicluri de initiere, reguli si norme de comportare, in care intrarea era tot atat de dificila ca si iesirea. Erau trei reguli forte ale acestui 'ordin' - ascultarea, tacerea si supunerea. Sa observam, ca nici un text nu vorbeste despre suprimarea gandirii novicelui, ci doar de supunere, tacere si ascultare, iar aceasta pentru o perioada de 2-5 ani. Abia dupa ce invatau 'lucrurile cele mai grele - tacerea si ascultarea' - abia atunci unii puteau sa vorbeasca, sa intrebe si sa-si spuna parerile lor. O alta regula a scolii era pastrarea secretului. Aceasta regula era cu mult mai aspra decat cele dinainte. Nerespectarea ei putandu-se penaliza, in anumite cazuri, chiar cu pierderea vietii. Regula a avut efect negativ, pentru ca obligativitatea secretului n-a facut din doctrina o parte componenta a culturii in circulatie.

Pythagorienii se trezeau impreuna cu rasaritul de soare, cantau poeziile, acompaniind la lira, apoi faceau gimnastica, se ocupau de teoria muzicii, filosofie, matematica, astronomie si alte stiinte. Deseori studiile se petreceau la natura sub forma de discutie. Intre primii ucenici ai scolii au fost si femei, inclusiv si Teano - sotia lui Pythagoras.

Dar ideologia aristocratica si net antidemocratica a scolii pythagoriene intra in contradictii cu democratia antica, care domina in acest timp la Samos. Parasind insula, Pythagoras si adeptii sai si-au gasit refugiul la Crotona, unde pentru un timp au trait in admiratia oamenilor, fiind apreciati pentru comportarea lor.

In pythagorism s-au format de timpuriu doua orientari care nu aveau sa fie unitare, dar cu timpul, ele vor fi chiar profund divergente 'asumaticii' si 'matematicii'. In prima orientare vor prevede aspectele de ordin etic si politic, pedagogic-educativ, iar in cea de-a doua - cercetarile din domeniul mai ales al geometriei. Filosofia lui Pythagoras cuprinde principiile, valori stiintifice propriu zise, o viziune despre om si educatia omului, ideile social-politice. Pythagorismul a asumat numarul ca principiu, a dat unei valori stiintifice semnificatia universala (performanta repetata de atunci si de alte sisteme filosofice). Omagiul de numar se datoreaza observatiilor asupra fenomenelor lumii inconjuratoare, care au fost insotite de speculatii mistice.

Ocupandu-se de armonie, pythagorienii au observat ca deosebirile calitative ale sunetelor sunt cauzate de deosebiri cantitative ale coardelor sau flautelor. Astfel un acord armonic in sunetul a 3 coarde se obtine in cazul, cand lungimile lor se raporta ca 3:4:6. Acelasi raport a fost observat si in multe alte cazuri, de exemplu, raportul intre fete, varfuri si muchii ai unui cub este 6:8:12.

Ocupandu-se de intrebarea despre acoperirea suprafetei plane cu poligoane regulate de acelasi fel, pythagorienii au aflat, ca sunt posibile numai trei cazuri de asa acoperiri: in jurul unui punct al planului pot fi aranjate sau 6 triunghiuri regulate, sau 4 patrate, sau 3 hexagoane regulate.

Numerele de poligoane in aceste trei cazuri se afla in raport de 6:4:3, iar raportul numerelor de muchii ale poligoanelor este 3:4:6.

Pe baza unor observatii de asa natura in scoala lui Pythagoras a aparut credinta, ca toate fenomenele universului sunt supuse numerelor intregi si relatiilor intre acestea. De fapt, nu atat matematicul capata transfigurare filosofica in pythagorism, ci geometricul. Punctul, fiind scos din situatia lui de constructie geometrica se transforma in numar, iar numai apoi in marea realitate a lumii.

Pentru Pythagoras principiul lumii este numar, avand punctul ca expresia corporala a lui. Tot ceea ce este, este numar. Indiferent este vorba de un corp oarecare, de un lucru, de o structura a universului ori de o melodie, de suflet, de iubire, de minte, toate vin din numar si toate sunt numere. Numar este, deci, esenta lumii si realitatea ei actuala, originea si cauza ei, dar nu este o 'idee' sau o 'abstractie'. Universul e rezultatul 'devenirii' numarului.

Deogene Lartios nota ca, pentru pythagorieni 'principiul tuturor lucrurilor este unitatea, dar in aceasta unitate provine doimea nedefinita, servind ca suport material al unitatii, care este cauza'. Din unitate si doime, continua Deogene Lartios, se extrag numerele, din numere - punctele, din puncte - liniile, din linii - figurile plane, din figurile plane - figurile solide.

Astfel educatia in matematica si prin matematica avea destinatia precisa a adeptilor pythagorismului. Cercetand numerele, scoala lui Pythagoras a pus inceputurile teoriei numerelor. Aici insa, ca si in toata Grecia Antica, practica calculelor nu se considera un lucru demn pentru scolile filosofice, ci o chestiune zilnica a oamenilor de rand. De aceea pythagorienii studiau numai proprietatile numerelor, dar nu calculul practic.

Numarul pentru pythagorieni reprezenta o colectie de unitati, deci pot fi numai numere intregi pozitive. Unitatile care alcatuiesc numarul au fost considerate indivizibile si au fost reprezentate prin puncte, situate in felul unor figuri geometrice regulate. In asa fel pythagorienii au obtinut siruri de numere 'triunghiulare', 'patratice', 'pentagonice'. Fiecare sir reprezenta in sine sumele consecutive ale unei progresii aritmetice.

Pe desen sunt aratate numerele 'triunghiulare' 1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10; reprezentare generala a lor fiind:

.

Pe desenul precedent sunt aratate numerele 'patratice' 1, 1+3=4, 1+3+5=9; forma generala a lor:

1 + 3 + 5 + + (2n-1) = n².

Numerele 'pentagonice' 1, 1+4=5, 1+4+7=12, aratate pe desenul de mai sus, au urmatoare reprezentare generala:

.

La fel, pythagorienii au evidentiat numerele 'cubice' 1, 8, 27, ; numerele 'piramidale' - sumele celor 'triunghiulare':

Studiind proprietatile numerelor, pythagorienii primii au atras atentie la legile de divizibilitate. Ei le-au impartit pe toate in pare si impare, in simple si compuse. Numerele compuse, ce se descompun in produs de doi factori, pythagorienii le numeau 'numerele plane' si le reprezentau sub forma de dreptunghiuri. Iar numerele compuse, ce se descompun in produs de trei factori, - 'numerele corporale', si le reprezentau sub forma de paralelipipede. Numerele simple, ce nu se descompun in produs de factori, au fost numite 'numere liniare'. Pythagorienii au creat invatatura despre numerele pare si impare, care din pozitiile contemporane poate fi considerata ca teoria devizibilitatii prin 2.

Sunt cunoscute unele probleme teoretice cu care se ocupau pythagorienii. Ei au studiat ecuatia

x + y² = z²,

solutiile intregi ale careia inca de atunci se numesc 'triplete pythagorice', si au aflat o infinitate de asa triplete de forma

.

Pythagorienii se ocupau de problema gasirii numerelor perfecte, care sunt egale cu suma tuturor divizorilor sale (cu exceptia a insasi numarului) ca, de exemplu, 6=1+2+3 sau 28=1+2+4+7+14. Numerele perfecte nu-s prea multe. Intre numerele uniforme - numai 6, intre numere compuse din doua, trei si patru cifre numai 28, 496 si 8128 respectiv. Toate aceste sunt pare si au formula 2 ^p-1(2 ^p-1), unde p, 2 ^p-1 sunt numere prime. Pana in prezent nu se stie nici un numar perfect impar si, in genere, daca aceste exista.

Doua numere, care poseda proprietatea ca suma divizorilor unuia sa fie egala cu suma divizorilor altuia, se numesc prietene. Se afirma, ca Pythagoras la intrebarea cine este prietenul a raspuns: 'Acela care este alt eu, ca numerele 220 si 284'. Alte numere prietene pythagorienii n-au stiut.

Cu ajutorul calculatorului electronic intr-o universitate din S.U.A. au fost cercetate toate numerele pana la milion. In rezultat s-a obtinut colectia din 42 de perechi de numere prietene:

s.a.m.d.

Exista si perechi de numere prietene impare:

s.a.

Insa formula generala pentru acestea nu este cunoscuta si pana azi, se stie foarte putin si despre proprietatile lor.

Magia numerelor cu fascinatia ei a generat speculatii frumoase. Corpul este numarul 210, focul numarul 11, aierul numarul 13, apa numarul 9. Calitatea si culoarea ar fi exprimate cu cifra 5; 6 este potenta creatoare de viata; 7 semnifica inteligenta, lumina primordiala, principiul vietii, sanatatea, ciclurile sau bioritmurile; 8 (octava) semnifica dragostea, prietenia, chibzuinta, gandirea. Universul este analogat cu numarul 10, iar 10 reprezinta perfectiunea, echivalenta cu tetraktys-ul (1+2+3+4). Tetraktys-ul a fost gandit ca 'numar ce cuprinde izvorul si radacina vesnic curgatoarei naturii'. Pentru a demonstra ca 10 este perfectiunea si ca exprima universul, Pythagoras avea sa adauge celor noua cercuri (cer, Soarele, Luna, Pamant, Mercuriu, Venus, Martie, Jupiter si Saturn) cel al zecelea - al Anti-Pamantului (o inventie arbitrara).

O semnificatie aparte a avut numarul 36. El i-a impresionat pe pythagorieni foarte mult datorita proprietatilor sale. Pe de o parte, el reprezinta suma cuburilor primelor trei numere (1³+2³+3³), pe de alta - este suma primelor patru numere pare si impare:

Conform parerii pythagorienilor toata lumea, a fost construita pe primele patru numere pare si impare, de aceea cel mai groaznic juramant se considera juramantul cu numarul 36.

Descoperirea faptului incomensurabilitatii laturii si diagonalei patratului a adus la prima criza. Doctrina lui Pythagoras, bazata pe numere intregi pozitive, nu putea sa accepte existenta altor numere. De aceea pythagorienii au jurat cu numarul 36, ca vor pastra aceasta descoperire in secret. S-a creat o legenda conform careia Gippas de la Metapont (adeptul lui Pythagoras), care a incalcat juramantul, a fost 'pedepsit de catre zei' si s-a pierdut in urma naufragiului.

Rezolvarea unei asa probleme dificile ca construirea poligoanelor si poliedrelor regulate i-a impresionat foarte mult pe cei, care au gasit solutia, fiind ca aceste figuri se considerau 'cosmice'. Fiecareia i se atribuia denumirea unei stihii, incluse dupa parerea grecilor, in bazele existentei: tetraedrul se chema foc, octaedrul - aer, icosaedrul - apa, hexaedrul - pamant, dodecaedrul - univers. Din toate corpurile geometrice cea mai perfecta a fost sfera. Pythagoras primul a ajuns la concluzie ca Pamantul are forma sferica, a stabilit un foc, insa nu Soarele, se afla in centrul Universului, iar Pamantul se roteste in jurul lui pe o circumferinta.

Pythagorismul admite existenta a zece 'principii' ca unele care germineaza cosmosul: finitul si infinitul, unul - pluritatea, repaus - miscare, lumina - intuneric, bun - rau s.a. Primele fiind pozitive, celelalte negative. Cosmosul (notiunea se datoreaza lor) este armonie, tetraktys, perfectiune, ordine, masura. Un univers generat de numar (geometric, aritmetic), de principii polare (de limitat - nelimitat), comporta logic si cu necesitatea, masura. Masura a fost corelata cu timpul oportun - 'momentul potrivit' sau 'potrivirea favorabila'.

Un loc important in doctrina pythagorismului a fost acordat sufletului si, fireste, comportarii omului. 'Pythagoras, - informeaza Diogene Lartios, - mai spune ca sufletul omului se imparte in trei: ratiune (nous), minte (phrenes) si pasiune (thymos)'. Sufletul este o existenta in trei, o armonie a functiilor sale, o triada, cum se vede, complexa. Sufletul este nemuritor prin minte, elelalte doua (ratiune si pasiune) fiind comune omului si animalului. A fost adept frecvent al metempsihozei: sufletul calatoreste dupa moartea omului, trece prin alte fiinte, plante, etc, pana sa revina in om, aceasta tinand, cumva, de practicile sale pamantesti. Conservand traditia si chiar amplificandu-i dimensiunea religioasa, pythagorienii au vazut sufletul peste tot, parandu-li-se chiar, ca tot vazduhul este plin de suflete, care trimit oamenilor visele, semnele de boala si sanatate.

In 'regulile' educatiei fundamentate pe ideea despre suflet, intrau ca obligatorii: respectul zeului, respectul parintilor, cultivarea prieteniei, a curajului, supunerea fata de varstnic si superior. Au conceput un sistem diferential al educatiei, luand in consideratie varsta: copiii sa invete literele si alte discipline; tinerii sa deprinda randuiala si legile cetatii, datine, barbatii sa se consacre treburilor practice si slujbelor cetatenesti; batranii sa cugete cum ar fi mai bine, sa tina sfat si sa judece. Au dispretuit disproportia, dezordinea, anarhia.

Pythagorismul, astfel, este un aliaj intre stiintific si magic, rational si mistic.

Insa ideologia, pusa in baza activitatii pythagorienilor, ii atrage dupa sine in pierire. Majoritatea adeptilor doctrinei au fost reprezentanti ai aristocratiei, in mainile careia era concentrata guvernarea in Crotona. Astfel ordinul a avut o influenta mare in viata politica, servind intereselor aristocratiei, pe cand in Atena si alte colonii grecesti s-a instaurat guvernare democratica. Cu timpul tendintele democratice au inceput sa predomine si in Crotona. Pythagorienii au starnit intr-atat furia crotonatilor, incat acestea au dat foc cluburilor pythagorice si 'au ars de vii' cei adunati intr-o locuinta. Ramas viu, Pythagoras de la Crotona s-a retras in Metapont, unde fiind batran de optzeci de ani, a decazut intr-o ciocnire cu adversarii sai. Nu i-a ajutat lui nici experienta bogata a luptei de pumn, primul campion olimpic in care el a fost candva.

S-a sfarsit viata lui Pythagoras. Nu insa si pythagorismul. Metafizica, stiinta si viziunea despre educatie au constituit motivele reale ale durabilitatii lui si influentei exercitate atat in stiinta, cat si in metafizica.

Cu numele lui Pythagoras a fost numit un crater de pe partea vizibila a Lunii.

Teorema lui Pitagora

Numai dreptunghic daca este

Un biet triunghi, nu e poveste,

Ci-n totdeauna este adevarat:

Ipotenuza la patrat

Egala este, neaparat,

Cu o cateta la patrat

Ce adunata trebuie-ndat

Cu cealalalta la patrat