SIRURI DE INTEGRALE

Cuprins

Notiuni teoretice

Aplicatii siruri de integrale

Bibliografie

Notiuni teoretice

Definitie: In analiza matematica, integrala unei functii este o generalizare a notiunilor de arie, masa, volum si suma. Procesul de determinare a unei integrale se numeste integrare.

Termenul 'integrala' se poate referi si la notiunea de primitiva o functie F a carei derivata este functia data f.

Exemple de integrale:

Definitie. Se numeste un sir de numere reale o functie ,f(n) = a_n, care asociaza fiecarui numar natural un numar real.

Notam . Sirul poate fi definit ca o infinitate de numere,distincte sau nu,scrise unul dupa altul

Exemple de siruri:

1)

2) 1, -1, 2, -2, ., n, -n, .

Aplicatii siruri de integrale

1) Fie .

a)     Sa se arate ca este monoton.

b)    Sa se gaseasca o relatie de recurenta intre si

c)     Sa se calculeze

Rezolvare:

deoarece daca .Cum pentru si .Integrand prin parti se obtine:

Se scrie relatia de recurenta: si se trece la limita 0.

2) Fie

a) Sa se calculeze : si sa se stabileasca o relatie de recurenta pentru

Rezolvare:

;

3) Sa se stabileasca o relatie de recurenta pentru urmatoarele integrale:

a)

b)

c)

Rezolvare:

a)

b)

c)

4) Fie sirul:

a) Sa se arate ca sirul este monoton si marginit.

b) Sa se gaseasca o relatie de recurenta intre si sa se calculeze

Rezolvare:

a) Cum si deci ,iar de aici prin integrarea .Deci este marginit.De asemeneaadica sirul este monoton descrescator.Conform teoriei lui Weierstrass sirul este convergent.

b) Integrand prin parti sau .Trecand aici la limita

5) Fie N

1. Sa se calculeze

2. Se cere

Rezolvare

1.

2. N

N. Sirul fiind descrescator si marginit inferior rezultand sir convergent.

Din se deduce prin trecerea la limita .

Altfel, din se obtine.

6) Se considera N.

a) Sa se calculeze ;

b) Sa se arate ca sirul este monoton si marginit.

Rezolvare:

a)

b) implica pentru .

De aici si N.

De asemenea pentru ca daca si deci

.

Se noteaza N.

1. Sa se calculeze ;

2. Sa se arate ca .

Rezolvare:

1.

;

2. Se pune , deci . Avem . De aici rezulta .

8) Fie sirul de functii R N

Sa se calceleze .

Rezolvare

Avem , iar de aici prin integrare se obtine .

Deci .

9) Fie RR

N.

a)   Pentru sa se calculeze ;

b)  Fie R. Sa se stabileasca o relatie de recurenta pentru ;

c)   Sa se arate ca

Rezolvare:

Avem .

Se spune , unde .

Din se deduc relatiile de recurenta : .

De aici ;

b)    Integrand prin parti avem : ;

c)     Avem :

De aici rezulta

Dar

Deci

10) Fie sirul ,

a) Sa se arate ca , daca

b) Sa se arate ca sirul este convergent

c) Sa se calculeze .

Rezolvare :

a) Fie . Cum daca , atunci se deduce ca este descrescatoare pe . Deci din rezulta ca .

b) Avem , daca si deci , care prin integrare da ; pe de alta parte , adica este descrescator .

c) Din punctul a) rezulta ca

11) Sa se arate ca .

Rezolvare:

Se integreaza prin parti si se obtine :

12) Se considera , .

1) Sa se calculeze

2) Sa se calculeze

Rezolvare:

1)

2) 2, pentru ca