Exercitii si probleme rezolvate - Probabilitati

Exercitii si probleme rezolvate

1. Se aruncǎ o monedǎ de trei ori. Sǎ se determine

a)      Spatiul al probelor,

b)      probele care favorizeazǎ aparitia evenimentelor: - ca la prima aruncare sa se obtinǎ marca, - la ultimele douǎ aruncǎri sǎ se obtinǎ marca, respectiv - marca sǎ aparǎ o singurǎ datǎ in cele trei aruncǎri,

c)      c)evenimentele , , , , , , , , , , ,

d)      probabilitǎtile evenimentelor precizate la punctele precedente.

Solutie. a) Dacǎ notǎm prin aparitia fetei cu marca (valoarea monedei) la o aruncare si prin aparitia fetei opuse, atunci spatiul al probelor este

.

Asadar, spatiul are 8 probe.

b) Probele care favorizeazǎ aparitia evenimentului , care inseamnǎ cǎ la prima aruncare apare marca sunt: , adicǎ

.

In mod analog, avem cǎ

.

c) Evenimentul inseamnǎ cǎ marca apare la prima aruncare sau o singurǎ datǎ in cele trei aruncǎri, adicǎ

.

Evenimentul este evenimentul ca marca sǎ aparǎ in toate cele trei aruncǎri, adicǎ .

Evenimentul inseamnǎ aparitia mǎrcii numai la prima aruncare, adicǎ

Evenimentul este evenimentul imposibil, deci , adicǎ evenimentele si sunt incompatibile.

Deoarece , rezultǎ cǎ .

Evenimentele, , , si , inseamnǎ respectiv cǎ la prima aruncare se obtine , la ultimele douǎ aruncǎri se obtine cel putin odatǎ , marca nu apare o singurǎ datǎ in cele trei aruncǎri. Astfel, putem scrie

Evenimentul diferentǎ inseamnǎ cǎ la prima aruncare apare marca si cǎ marca apare cel putin de douǎ ori, adicǎ

Evenimentul diferenta inseamnǎ cǎ la prima aruncare apare marca si cǎ marca apare cel mult douǎ ori, adicǎ

Evenimentul diferentǎ inseamnǎ cǎ marca apare o singurǎ datǎ, dar nu la prima aruncare, deci

d) Folosim definitia calasicǎ a probabilitǎtii. Pentru aceasta avem cǎ numǎrul cazurilor posibile este dat de numǎrul probelor lui , adicǎ 8.

Numǎrul cazurilor favorabile evenimentului este 4, prin urmare se obtine cǎ

Analog avem cǎ

De asemenea avem cǎ

sau folosind formula

In mod analog,

La fel, avem cǎ si

2. Un aparat este format din trei componenete. Se noteazǎ cu , si respectiv evenimentele ca prima, a doua si a treia componentǎ sǎ fie defectǎ. Sǎ se exprime cu ajutorul evenimentelor , si evenimentul ca:

a)      cel putin o componentǎ este defectǎ,

b)      exact o componentǎ este defectǎ,

c)      nici o componenta nu este defectǎ,

d)      toate componentele sunt defecte.

Solutie. a) Dacǎ este evenimentul ca cel putin o componentǎ sǎ fie defectǎ, atunci , adicǎ sau prima componentǎ este defectǎ, sau a doua componentǎ sǎ fie defectǎ, sau a treia componentǎ sǎ fie defectǎ, ceea ce nu exclude cǎ douǎ sau trei componente sunt defecte.

b) Evenimentul ca exact o componentǎ sǎ fie defectǎ se realizeazǎ dacǎ prima componentǎ este defectǎ si celelalte douǎ nu sunt defecte, sau a doua componentǎ este defectǎ si celelalte douǎ nu sunt defecte, sau a treia este defectǎ si celelale douǎ nu sunt defecte, adicǎ

c) Evenimentul ca nici o componentǎ sǎ nu fie defectǎ, adicǎ fiecare componentǎ sǎ fie bunǎ, se poate exprima prin sau

d) Evenimentul ca toate cele trei componente sǎ fie defecte are exprimarea

3. Pe un raft sunt asezate la intamplare 10 cǎrti, dintre care trei reprezintǎ cele trei volume ale aceluiasi roman. Sǎ se calculeze probabilitatea ca:

a)      cele trei volume ale romanului sǎ fie asezate unul langa altul in ordinea naturalǎ (vol.1,2,3),

b)      cele trei volume ale romanului sǎ fie asezate unul langǎ altul in orice ordine,

c)      cele trei volume ale romanului sǎ fie asezate unul langǎ altul in ordinea naturalǎ, la inceputul raftului.

Solutie. Numǎrul cazurilor posibile este dat de numǎrul total al modurilor de aranjare a celor 10 cǎrti de pe raft, adic

a) Dacǎ este evenimentul ca cele trei volume sǎ fie asezate unul dupǎ altul in ordine naturalǎ, atunci pentru a stabili cazurile favorabile, considerǎm cele trei volume ca o singurǎ carte. In acest fel, numǎrul cazurilor favorabile evenimentului este dat de numǎrul modurilor de aranjare a celor 8 cǎrti pe raft (cele 7 rǎmase la care se adaugǎ una formatǎ din cele trei volume), adicǎ 8! Prin urmare, avem cǎ

b) Notǎm cu evenimentul ca cele trei volume sǎ fie asezate unul langǎ altul in orice ordine. Se repetǎ rationamentul de la punctul precedent, cu observatia cǎ 8! se va inmulti cu 3!, ceea ce reprezintǎ in cate moduri se pot aseza cele trei volume unul langǎ altul. Asadar obtinem, cǎ

c) Fie evenimentul ca cele trei volume sǎ fie asezate la inceputul raftului, in ordine naturalǎ. Deoarece "cartea" formatǎ din cele trei volue este asezatǎ la inceputul raftului, numǎrul cazurilor favorabile evenimentului este dat de numǎrul modurilor de aranjare pe raft a celor 7 cǎrti rǎmase, adicǎ 7!. Astfel, rezultǎ cǎ

4. Cu ocazia sǎrbǎtorilor de iarnǎ, la un magazin cu dulciuri sunt pregǎtite pachete pentru copii. Stiind cǎ pentru pregǎtirea unui pachet se dispune de ciocolatǎ in 6 sortimente, cutii cu bomboane in 10 sortimente si cutii cu biscuiti in 9 sortimente si cǎ in fiecare pachet se pun la intamplare 5 sortimente de dulciuri(ciocolatǎ, bomboane, biscuiti), sǎ se determine probabilitatea ca un pachet luat la intamplare sǎ contin

a)      douǎ ciocolate, douǎ cutii cu bomboane si o cutie cu biscuiti(toate de sortimente diferite),

b)      trei ciocolate si douǎ cutii cu bomboane.

Solutie. Numǎrul total de sortimente de dulciuri de care se dispune pentru formarea unui pachet este 25, iar pentru fiecare pachet se ia la intamplare 5 sortimente    de dulciuri. Prin urmare, numǎrul total a modurilor de formare a unui pachet este si care reprezintǎ numǎrul cazurilor posibile.

a) Dacǎ este evenimentul ca pachetul sǎ continǎ douǎ ciocolate, douǎ cutii de bomboane si o cutie de biscuiti, atunci numǎrul cazurilor favorabile acestui eveniment este . Intr-adevǎr, cele douǎ ciocolate de sortimente diferite se pot lua din cele 6 sortimente in . La fel se rationeazǎ pentru cele douǎ sortimente de bomboane si pentru cutia de biscuiti. Rezultǎ cǎ

b) Fie evenimentul ca pachetul sǎ continǎ trei ciocolate de sortimente diferite si douǎ cutii cu bomboane de sortimente diferite. Rationand ca mai inainte, se obtine cǎ

5. Se aruncǎ trei zaruri, fiecare avand o fata coloratǎ alb, una coloratǎ negru si cate douǎ colorate in rosu si respectiv in galben. Sǎ se determine probabilitatea ca:

a)      cel putin un zar sǎ arate culoarea rosie,

b)      cel putin douǎ zaruri sǎ arate culoarea albǎ.

Solutie. Fie evenimentul ca cel putin unul din cele trei zaruri sǎ arate culoarea rosie. Dacǎ se noteazǎ cu evenimentul ca zarul aratǎ culoarea rosie, atunci , unde evenimentele reuniunii sunt independente. Prin urmare, folosind formula lui Poincar, se obtine c

Deoarece zarurile sunt identice, avem , deci

b) Fie evenimentul ca cel putin douǎ zaruri sǎ arate culoarea albǎ, atunci este evenimentul ca cel putin un zar sǎ arate culoarea albǎ. Daca notǎm cu evenimentul ca nici un zar sǎ nu arate culoarea albǎ, respectiv prin evenimentul ca exact un zar din cele trei sǎ arate culoarea albǎ, atunci . Deoarece evenimentele si sunt incompatibile, avem cǎ

Pe de altǎ parte, se obtine cǎ , iar . Prin urmare, avem cǎ , de unde

Dacǎ o familie are 5 copii, se cere sǎ se calculeze probabilitatea ca:

a)      patru din cei cinci copii sǎ fie bǎieti,

b)      b)cel putin doi din cei cinci copii sǎ fie bǎieti.

Solutie. Pentru rezolvarea problemei se aplicǎ schema lui Bernoulli cu bila intoarsǎ, unde , .

a) Fie evenimentul ca familia sǎ aibǎ exact patru bǎieti. Luand in schema lui Bernoulli cu bila intoarsǎ, rezultǎ cǎ

b) Dacǎ notǎm cu evenimentul ca familia sǎ aibǎ cel putin doi bǎieti, atunci este evenimentul ca familia sǎ aibǎ un bǎiat sau nici unul. Prin urmare, se poate scrie

Asadar, avem cǎ

7. La un magazin se gǎsesc articole de imbrǎcaminte dintre care 90% satisfac standardele, 7% prezintǎ defectiuni retusabile, iar 3% prezintǎ defectiuni neretusabile. Sǎ se calculeze probabilitatea ca din sase articole luate la intamplare, trei sǎ satisfacǎ standardele, douǎ sǎ fie retusabile si unul sǎ fie neretusabil.

Solutie. Rezolvarea se bazeazǎ pe schema lui Bernoulli cu bila intoarsǎ cu mai multe stǎri (trei), unde , , ,, , , .

Astfel se obtine probabilitatea cerutǎ ca fiind

8. Pe un raft, intr-un magazin, se aflǎ 50 de piese de acelasi tip, care provin de la douǎ fabrici, respectiv 20 de la una dintre ele si 30 de la cealaltǎ. Intr-o zi s-au vandut sase astfel de piese. Sǎ se calculeze probabilitatea sǎ se fi vandut acelasi numǎr (cate trei) de piese de la cele douǎ fabrici.

Solutie. Se aplicǎ schema lui Bernoulli cu bila neintoarsǎ, unde , , , . Prin urmare, probabilitatea cerutǎ este

9. Intr-o cutie sunt 12 bile marcate cu 1, 8 sunt marcate cu 3 si 6 cu 5. O persoanǎ extrage la intamplare din cutie 4 bile. Sǎ se calculeze probabilitatea ca suma obtinutǎ sǎ fie cel mult 13.

Solutie. Dacǎ notǎm cu evenimentul ca suma obtinutǎ pe cele patru bile sǎ fie cel mult 13, atunci evenimentul contrar este evenimentul ca cele patru bile sǎ fie cel putin 14. Se vede cǎ suma maximǎ ce se poate obtine este 45=20. De asemenea, avem c 5+13=18, 35+11=16, 25+23=16, 25+13+11=14, 15+33=14. Alte posibilitǎti de a obtine suma cel putin 14 din patru bile nu existǎ.

Asadar, pentru a obtine suma 14 trebuie luate douǎ bile marcate cu 5 din cele sase existente, una marcatǎ cu 3 din cele opt si respectiv una marcatǎ cu 1 din cele 12, respectiv una marcatǎ cu 5 si 3 marcate cu 3. Folosind schema lui Bernoulli cu bila neintoarsǎ cu trei stǎri se obtine c

Analog, avem cǎ

Asadar, avem cǎ , de unde

10. Cinci masini, care produc acelasi tip de piese, dau rebuturi in procente 2%, 1%, 5%, 4%, 6% respectiv. Se ia cate o piesǎ produsǎ de la fiecare. Sǎ se calculeze probabilitatea ca din cele cinci piese luate, exact douǎ sǎ fie rebut, precum si probabilitatea ca cel putin una sǎ fie rebut.

Solutie. Se aplicǎ schema lui Poisson, unde , iar

Probabilitatea ca din cele cinci piese douǎ sǎ fie rebut se obtine ca fiind coeficientul lui al polinomului

adic

Dacǎ este evenimentul ca cel putin una din cele cinci piese sǎ fie rebut, atunci este evenimentul ca nici o piesǎ sǎ nu fie defectǎ. Deci , de unde

11. Doi jucǎtori sunt angrenati intr-un joc format din mai multe partide. Primul jucǎtor castigǎ o partidǎ cu probabilitatea si o pierde cu probabilitatea . Sǎ se calculeze probabilitatea ca:

a)      prima partidǎ castigatǎ de primul jucǎtor sǎ se producǎ dupǎ cinci partide pierdute,

b)      a treia partidǎ castigatǎ de primul jucǎtor sǎ se producǎ dupǎ un total de sase partide pierdute.

Solutie. a) Se aplicǎ schema geometricǎ. Prin urmare, probabilitatea cerutǎ este datǎ prin

b) Se utilizeazǎ schema lui Pascal (binomialǎ cu exponent negativ),unde , , ,. Astfel probabilitatea cerutǎ este

12. Intr-o cutie se aflǎ 15 mingi de tenis, din care 9 sunt noi. Pentru primul joc sunt luate la intamplare trei mingi, dupǎ care se depun in cutie. Pentru al doilea joc sunt luate din nou trei mingi la intamplare. Sǎ se calculeze probabilitatea ca:

a)      pentru jocul al doilea sǎ fie luate trei mingi noi,

b)      pentru primul joc sǎ se fi luat trei mingi noi, dacǎ se stie cǎ la jocul al doilea au fost luate trei mingi noi.

Solutie. a) Notǎm cu evenimentul ca la jocul al doilea sǎ fie l;uate trei mingi noi si cu evenimentul ca la primul joc sǎ fie luate mingi noi. Evenimentele , , , formeazǎ un sistem complet de evenimente. Folosim formula probabilitǎtii totale

Pe de altǎ parte, folosind schema lui Bernoulli cu bila neintoarsǎ se obtine:

, ,

,

Deoarece cele trei mingi folosite la primul joc s-au uzat si sunt puse inapoi in cutie, structura cutiei se schimbǎ, cu exceptia cazului cand la primul joc s-au folosit numai mingi uzate. Asadar, probabilitǎtile conditionate din formula probabilitǎtii totale se calculeazǎ tot cu schema lui Bernoulli cu bila neintoarsǎ, adicǎ

, ,

,

Prin urmare avem cǎ

b) Cu notatiile de la punctul precedent, se cere calculatǎ probabilitate conditionatǎ . Pentru aceasta se foloseste formula lui Bayes, anume

Astfel, se obtine cǎ

13. Un motor genereazǎ energie electricǎ ce este folositǎ intermitent de cǎtre 10 muncitori, care lucreazǎ independent. Fiecare muncitor utilizeazǎ energie timp de 12 minute intr-o orǎ. Se noteazǎ cu numǎrul muncitorilor ce utilizeazǎ energie la un moment dat. Sǎ se scrie distributia variabilei aleatoare .

Solutie. Valorile pe care le ia variabila aleatoare sunt 0,1,,10, adicǎ la un moment dat se poate ca nici unul din muncitori sǎ nu foloseascǎ energie, sau unul, sau asa mai departe 10 muncitori sǎ foloseascǎ energie electricǎ produsǎ de motor.

Prin urmare, distributia variabilei aleatoare este

sau prescurtat ,

unde

Pentru a calcula probabilitatea , avem in vedere cǎ un muncitor, la un moment dat, foloseste energie electricǎ cu probabilitatea (12 minute dintr-o orǎ), iar aceastǎ probabilitate este aceeasi pentru fiecare din cei 10 muncitori. Prin urmare, probabilitatea se calculeazǎ cu ajutorul schemei lui Bernoulli cu bila intoarsǎ, adicǎ

, , , sau

,

Retinem, deci, cǎ variabila aleatoare urmeazǎ legea binomialǎ.

14. La o unitate hotelierǎ clientii doresc camere dotate cu televizor sau nu cu aceeasi probabilitate. Se considerǎ primii patru clienti ai zilei si se noteazǎ cu si respectiv respectiv numǎrul clientilor ce solicitǎ camerǎ cu televizor si numǎrul maxim ai clientilor consecutiv inregistrati, care solicitǎ camerǎ cu televizor. Sǎ se scrie distributiile

a)      variabilelor aleatoare si ,

b)      vectorul aleator ,

c)      variabilelor aleatoare si .

Solutie. Pentru a calcula probabilit tile din distributiile variabilelor aleatoare considerate, vom scrie pentru inceput spatiul probelor. Dacǎ marcǎm prin si respectiv prin N faptul cǎ un client solicitǎ, respectiv nu solicitǎ camerǎ cu televizor, atunci spatiul al probelor este

Deoarece, clientii preferǎ sau nu televizor cu aceeasi probabilitate, avem cǎ probabilitatea ca un client sǎ solicite televizor este si sǎ nu solicite televizor este

a) Valorile pe care le ia variabila aleatoare sunt 0, 1, 2, 3, 4, adicǎ din cei patru clienti pot dori camerǎ cu televizor 0, 1, 2, 3, respectiv 4 clienti. Asadar avem cǎ

, unde ,

si care se calculeazǎ cu schema lui Bernoulli cu bila intoarsǎ. Prin urmare, se obtine cǎ

, pentru

Calculand pe rand aceste probabilitǎti, rezultǎ cǎ

Variabila aleatoare poate sǎ ia una din valorile 0, 1, 2, 3, 4, adicǎ din cei patru clienti se poate ca 0, 1, 2, 3, 4 sǎ fie numǎrul maxim al clientilor consecutivi ce solicitǎ camerǎ cu televizor. Distributia variabilei aleatoare este

, unde

Pentru a calcul probabilitatile distributiei lui , urmarim spatiul al probelor.

De exemplu, evenimentul () este favorizat de proba , deci . Apoi, evenimentul () este favorizat de probele , , , , , , deci . Analog, se obtine ca si . Prin urmare, distributia variabilei aleatoare este

b) Distributia vectorului este datǎ prin tabloul

unde . Pentru a calcula aceste probabilitǎti, urmǎr,im in spatiul al probelor acele probe care favorizeazǎ evenimentele

Astfel, evenimentul este favorizat de proba , deci . Apoi, evenimentul nu este favorizat de nici o probǎ, deci

Sǎ mai considerǎm, de exemplu evenimentul , care este favorizat de probele , , , prin urmare . Prin rationament analog se obtine tabloul distributional al vectorului aleator :

Prin calcul direct, se vede c

, , , .

c) Dacǎ variabilele aleatoare si iau valorile 0, 1, 2, 3 si 4, atunci variabila aleatoare poate lua una din valorile 0, 1, , 8. Mai trebuie precizate probabilitǎtile cu care sunt luate aceste valori. Aceste probabilitǎti se calculeazǎ dupǎ cum urmeazǎ:

In acest fel se obtine distributia variabilei aleatoare , anume

Deoarece si , deci este imposibil ca sǎ aibǎ aceste valori, acestea se eliminǎ din tabloul distributional obtinandu-se

Pentru a scrie distributia variabilei aleatoare , se procedeazǎ in mod analog, anume poate lua una din valorile 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 1 De asemenea, probabilitǎtile se calculeazǎ dupǎ cum urmeazǎ:

s.a.m d.

Se obtine in acest fel distributia vectorului aleator produs

sau

15. La trei unitǎti se gǎsesc articole ce provin de la douǎ fabrici, in urmǎtoarele proportii: la prima unitate de la prima fabricǎ, la a doua unitate de la prima fabricǎ, iar la a treia unitate de la prima fabricǎ. Un client cumpǎrǎ cate un articol de la fiecare unitate. Fie numǎrul articolelor cumpǎrate de client si care provin de la fabricǎ. Sǎ se scrie distributia variabilei aleatoare , functia de repartitie corespunzǎtoare lui , iar apoi sǎ se reprezinte grafic functia de repartitie.

Solutie. Variabila aleatoare poate lua una din valorile 0, 1, 2, 3, iar probabilitǎtile cu care sunt luate aceste valori sunt date de schema lui Poisson, unde , , , , , , . Prin urmare, variabila aleatoare are distributia

,

unde .

Avem pe rand cǎ

deci distributia variabilei aleatoare este

Pornind de la definitia functiei de repartitie se obtine cǎ:

Modul cum a fost determinatǎ expresia functiei de repartitie il exemplificǎm prin cazul . Astfel avem cǎ

Graficul functiei de repartitie este dat in fig.1.

Fig.1

1 Un sofer amator intentioneazǎ sǎ circule cu masina neinmatriculatǎ panǎ cand va ajunge la a treia sanctiune primitǎ din partea agentilor de circulatie. Fie numǎrul zileler in care circulǎ panǎ la a treia sanctiune. Sǎ se scrie distributia variabilei aleatoare , stiind cǎ soferul poate fi controlat in fiecare zi cu aceeasi probabilitate , iar apoi sǎ se scrie functia de repartitie corespunzǎtoare variabilei aleatoare

Solutie. Variabila aleatoare poate lua una din valorile 0, 1, Prin urmare, variabila aleatoare are distributia

sau prescurtat

unde . Probabilitatea se calculeazǎ folosind schema lui Pascal cu , , adicǎ

De exemplu, avem cǎ

Functia de repartitie se scrie pornind de la definitie. Dacǎ , atunci

Dacǎ , atunci

Dacǎ , atunci

In general, dacǎ , avem cǎ

17. Se considerǎ variabila aleatoare de tip continuu, care are densitatea de probabilitate , pentru orice , unde este un parametru real. Sǎ se determine

a) parametrul real ,

b) functia de repartitie a variabilei aleatoare ,

c) probabilitǎtile si

Solutie. a) Deoarece functia este o densitate de probabilitate, rezultǎ cǎ , de unde

De asemenea, se impune ca

Observǎm cǎ functia care se integreazǎ este functie parǎ, iar intervalul de integrare este simetric fata de origine, astfel cǎ

Dacǎ se inlocuieste mai sus, avem cǎ , .

b) Intre densitatea de probabilitate si functia de reartitie

avem relatia

Dacǎ , atunci implicit avem cǎ , deci

Dacǎ , integrala se descompune in suma a douǎ integrale, anume:

Prin urmare, avem functia de repartitie

c)Folosind functia de repartitie avem cǎ

A doua probabilitate este o probabilitate conditionatǎ, prin urmare

Ca mai inainte, avem cǎ

Prin urmare, se obtine cǎ

18. Vectorul aleator are densitatea de probabilitate

Se cere:

a)      sǎ se determine constanta ,

b)      densitǎtile de probabilitate pentru variabilele aleatoare componente si ,

c)      probabilitǎtile si

Solutie. a) Din proprietǎtile densitǎtii de probabilitate, avem cǎ , de unde, in mod necesar,

Pe de altǎ parte se impune ca

Pentru calculul acestei integrale duble scriem succesiv

Asadar, avem cǎ , de unde

b) Pentru determinare densitǎti de probabilitate a variabilei aleatoare , folosim formula

, pentru .

Dacǎ , atunci , deci

Dacǎ , atunci avand in vedere cǎ , pentru , putem scrie

Prin urmare, avem cǎ

Analog se obtine cǎ

d)Avand in vedere cǎ densitatea de probabilitate a vectorului aleator , putem calcula probabilitatea cerutǎ cu formula

, unde

Astfel avem

de unde

Folosind definitia probabilitǎtii conditionate, avem cǎ

Pe de o parte, avem succesiv

Pe de altǎ parte avem cǎ

Folosind aceste douǎ probabilitǎti calculate, avem cǎ

19. Se considerǎ variabila aleatoare ce urmeaza legea normalǎ , adicǎ are densitatea de probabilitate

, pentru orice

Sǎ se determine densitatea de probabilitate pentru variabilele aleatoare ,

(, ) si

Solutie. Se stie cǎ dacǎ intre douǎ variabile aleatoare de tip continuu existǎ o legǎturǎ liniarǎ, adicǎ (), atunci intre densitǎtile corespunzǎtoare existǎ relatia

Deoarece, in cazul de fata, , iar , avem cǎ

deci variabila aleatoare urmeazǎ legea normalǎ

Pentru a determina densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare , determinǎm, prima datǎ functia de repartitie pentru aceasta. Se porneste de la definitia functiei de repartitie, adic

Deoarece , rezultǎ cǎ pentru avem

Dac , putem scrie cǎ

Prin derivarea functiei de repartitie se obtine densitatea de probabilitate, adic

Asadar, s-a obtinut cǎ

20. La patru unitǎti de oras consumul de apǎ este normal cu probabilitǎtile 0,9, 0,8, 0,85 si respectiv 0,7. Se noteazǎ cu numǎrul unitǎtilor, din cele patru, la care consumul este normal intr-o zi fixatǎ din sǎptǎmanǎ. Sǎ se scrie distributia variabilei aleatoare , iar apoi sǎ se calculeze valoarea medie, dispersia, abaterea standard, mediana si modul variabilei aleatoare .

Solutie. Variabila aleatoare poate sǎ ia una din valorile 0, 1, 2, 3, 4, dupǎ cum numǎrul unitǎtilor la care consumul este normal, in ziua precizatǎ, este normal in 0, 1, 2, 3,respectiv 4 unitǎti. Prin urmare, variabila aleatoare are distributia

, unde ,

Probabilitǎtile se calculeazǎ cu schema lui Poisson. Pentru aceasta avem , , , , , , , , , adicǎ este probabilitatea sǎ fie consumul normal la unitatea , iar este probabilitatea sǎ fie consum anormal la unitatea

In acest fel se obtine:

Astfel, distributia variabilei aleatoare este

Valoarea medie a variabilei aletoare se calculeazǎ cu formula

Pentru a calcula dispersia, folosim formula

Dar avem cǎ

deci si de asemenea, avem imediat abaterea standard

Mediana este datǎ de dubla inegalitate

Avem cǎ

si in consecintǎ se obtine

Modul este definit ca fiind punctul de extrem local al distributiei lui , adic , deoArece variabila aleatoare ia valoarea 4 cu probabilitatea maximǎ

21. O persoanǎ, de fiecare datǎ cand se deplaseazǎ in orasul apeleazǎ la serviciile unitǎtii hoteliere . Se stie cǎ serviciile unitǎtii sunt ireprosabile in 80% din cazuri. Persoana respectivǎ intentioneazǎ sǎ apeleze la serviciile unitǎtii panǎ cand este servit ireprosabil. Fie numǎrul de zile cat a fost servitǎ persoana respectivǎ ireprosabil. Sǎ se scrie distributia aleatoare , iar apoi sǎ se determine valoarea medie, dispersia, mediana si modul variabilei aleatoare .

Solutie. Probabilitatea ca o persoanǎ care face apel la serviciile unitǎtii sǎ fie servitǎ ireprosabil este , iar probabilitatea ca sǎ nu fie servitǎ in mod ireprosabil este

Deoarece este numǎrul servirilor ireprosabile panǎ la o servire nemultumitoare pentru clientul respectiv, avem cǎ aceasta este o variabilǎ aleatoare ce urmeazǎ legea geometricǎ. Distributia variabilei aleatoare este

sau

Cateva din primele probabilitǎti sunt:

Valoarea medie a variabilei aleatoare este

Seria care apare in calculul valorii medii este o serie geometricǎ, avand ratia , deci este convergentǎ. Prin urmare, se poate scrie

Deoarece si , rezultǎ cǎ . Aceasta ne spune sǎ ne asteptǎm ca o persoanǎ sǎ fie servitǎ ireprosabil de patru ori consecutiv.

Pentru calculul dispersiei folosim formula Pentru aceasta, calculǎm

Din nou avem o serie geometricǎ cu ratia , deci convergentǎ, drept urmare se poate scrie

adicǎ . Astfel se ajunge la

In cazul de fatǎ, avand si ,se obtine

Mediana o determinǎm din conditia

adicǎ va fi cel mai mic intreg, pentru care Deoarece, avem cǎ

in conditiile problemei va trebui sǎ calculǎm cel mai mic astfel ca sau Astfel se obtine

Se vede din distributia variabilei aleatoare cǎ cea mai mare probabilitate este 0,2, deci modul este

Timpul de de asteptare intr-o statie de servire urmeazǎ legea exponentialǎ de parametru Sǎ se determine valoarea medie, dispersia, abaterea medie pǎtraticǎ si mediana pentru variabila aleatoare .

Solutie.Dacǎ variabila aleatoare urmeazǎ legea exponentialǎ de parametru , atunci are densitatea de probabilitate

Valoarea medie se obtine din

Deci timpul mediu de asteptare in statia de servire este

Pentru dispersie folosim formula

Dacǎ, mai jos, se integreazǎ de douǎ ori prin pǎrti, se obtine c

prin urmare, , iar

Pentru a determina mediana , determinǎm mai intai functia de repartitie, anume

Pentru , avem , deoarece , cand .

Pentru obtinem

Asadar, rezultǎ cǎ

Mediana este datǎ de ecuatia , deci sau , de unde

23. Variabila aleatoare urmeazǎ legea gamma. Sǎ se calculeze momentele initiale, iar apoi valoarea medie, disp[ersia, asimetria si excesul variabilei aleatoare .

Solutie. Dacǎ variabila aleatoare urmeazǎ legea gamma, atuncia are densitatea de probabilitate

unde parametrii , iar este functia lui Euler de speta a doua.

Pentru calculul momentelor initiale scriem

Aducem aceastǎ integralǎ la functia gamma, prin schimbarea de variabilǎ , astfel rezultǎ cǎ

Aplicǎm formula de recurenta pentru functia gamma sia avem

Avand momentele initiale se obtin

Pentru a calcula asimetria si excesul, trebuie sǎ calculǎm momentele centrate de ordinele 3 si 4. Dar avem cǎ momentul centrat de ordin , se exprimǎ cu momentele initiale prin formula

de unde si

Astfel, in cazul de fatǎ, rezultǎ cǎ

Obtinem, in acest fel, asimetria si excesul variabilei aleatoare

24. Dacǎ este numǎrul mǎrcilor apǎrute in trei aruncǎri cu o monedǎ, iar este numǎrul maxim de mǎrci consecutive apǎrute in cele trei aruncǎri, sǎ se determine coeficientul de corelatie dintre variabilele aleatoare si .

Solutie. Scriem la inceput distributiile variabilelor aleatoare si , precum si a vectorului aleator

Pentru variabila aleatoare avem distributia de la legea binomialǎ cu si , adicǎ , iar prin calcul direct, se obtine distributia variabilei aleatoare , anume

De asemenea, distributia vectorului aleator este

Coeficientul de corelatie il calculǎm cu formula

unde noteazǎ corelatia dintre variabilele aleatoare X si Y.

Pentru aceasta avem cǎ si in mod analog

Pentru dispersie folosim formula In primul rand avem ,deci dispersia va fi

In mod analog, avem , deci

Valoarea medie a variabilei aleatoare produs se obtine prin

Prin urmare, pentru coeficientul de corelatie se obtine

25. Variabila aleatoare urmeazǎ legea normalǎ si fie variabial aleatoare Sǎ se determine coeficientul de corelatie dintre variabilele aleatoare si

Solutie. Pentru a calcula coeficientul de corelatie dintre variabilele aleatoare si , folosim formula

Se stie cǎ o variabilǎ aleatoare ce urmeazǎ legea normalǎ are valoarea medie . In cazul de fatǎ , deci Prin urmare, avem cǎ , si de asemenea Asadar, se obtine cǎ

Avem nevoie de momentele initiale ale variabilei aleatoare , motiv pentru care calculǎm toate momentele initiale. Pentru aceasta scriem

Dacǎ este impar, atunci functia ce se integreazǎ este functie imparǎ, iar intervalul de integrare fiind simetric fatǎ de origine, rezultǎ cǎ integrala este zero. Prin urmare, momentele initiale de ordin impar sunt zero, deci si

In cazul in care este par, adicǎ , atunci functia ce se integreazǎ este o functie parǎ, deci

Efectuǎm schimbarea de variabilǎ datǎ prin , deci Astfel, rezultǎ cǎ

Dacǎ se are in vedere cǎ integrala la care s-a ajuns este functia gamma si dacǎ se aplicǎ in mod repetat formula de recurentǎ pentru funtia gamma, rezultǎ cǎ

Dacǎ avem cǎ si dacǎ notǎm se obtine cǎ

Prin urmare, avem ca si Astfel, coeficientul de corelatie dintre variabilele aleeatoare si este

2 Folosind inegalitatea lui Cebisev, sǎ se calculeze probabilitatea ca o variabilǎ aleatoare ce urmeazǎ legea normalǎ sǎ se abatǎ de la valoarea medie:

a)      mai putin de trei ori abaterea medie pǎtraticǎ,

b)      mai mult de patru ori abaterea medie pǎtraticǎ.

Solitie. a) Variabila aleatoare urmand legea normalǎ , se stie cǎ si , iar abaterea medie pǎtraticǎ este Prin urmare, inegalitatea lui Cebisev devine

pentru orice

Dacǎ se ia , rezultǎ cǎ

b) Dacǎ se considerǎ cealaltǎ formǎ a inegalitǎtii lui Cebisev, avem cǎ pentru orice care pentru devine

27. Se cunoaste cǎ o unitate de desfacere a produselor alimentare poate deservi zilnic un numǎr de 3000 clienti, Stiind cǎ un client care intrǎ in unitate devine cumpǎrǎtor cu probabilitatea sǎ se evalueze probabilitatea ca

a)      numǎrul cumpǎrǎtorilor sǎ fie cuprins intre 1800 si 2400,

b)      numǎrul cumpǎrǎtorilor sǎ fie mai mic decat 2150.

Solutie. a)Numǎrul cumpǎrǎtorilor este o variabilǎ aleatoare ce urmeazǎ legea binomialǎ cu parametrii si . Se cunoaste cǎ iar

Folosind inegalitatea lui Cebisev obtinem

pentru orice

sau

Dacǎ se ia rezultǎ cǎ

De asemenea, se poate folosi teorema Moivre-Laplace, adicǎ

adicǎ

este functia lui Laplace definitǎ prin care este tebelatǎ in Anexa I. In cazul de fatǎ de gǎseste cǎ prin urmare

b) Folosim din nou teorema Moivre-Laplace si avem

Din tabele avem cǎ

iar

prin urmare

28. Se iau la intamplare persoane din populatia unui oras pentru a determina fractia a fumǎtorilor. Fie numǎrul fumǎtorilor gǎsiti intre cele persoane considerate si frecventa relativǎ a fumǎtorilor intalniti. Sǎ se determine cat de mare trebuie sǎ fie numǎrul al persoanelor considerate, astfel incat cu o probabilitate mai mare decat 0,95. De asemenea sǎ se determine dacǎ se stie cǎ

Solutie. Variabila aleatoare urmeazǎ legea binomialǎ, adicǎ are distributia

Din inegalitatea lui Cebisev, deoarece si avem cǎ pentru orice Aceastǎ inegalitate se mai poate scrie sub forma

Dacǎ luǎm rezultǎ cǎ

Dar se cere sǎ calculǎm pe astfel ca aceastǎ probabilitate sǎ fie mai mare decat 0,95, adicǎ

sau

Pe de altǎ parte, avem cǎ deci il determinǎm pe din inecuatia

adic

Dacǎ se stie c atunci iar se determinǎ din inegalitate obtinandu-se

Rezultate mai bune se obtin dacǎ se foloseste teorema Moivre-Laplace.

In primul rand, avem c

Determinǎm valoarea lui n din inegalitatea

sau

Din Anexa I se aflǎ cǎ deci avem de rezolvat inecutia Dacǎ se tine seama de faptul cǎ avem cǎ sau de unde

Dacǎ se stie cǎ atunci avem inecuatia sau adicǎ de unde se obtine

29. Se consider sirul de variabile aleatoare independente douǎ cate douǎ si care au distributiile

Sǎ se verifice dacǎ sirul de variabile aleatoare se supune legii numerelor mari.

Solutie. Din propriet tile unei distributii rezultǎ cǎ

De asemenea avem cǎ

Dispersiile nefiind egal mǎrginite, nu se poate aplica teorema lui Cebisev.

Incercǎm sǎ aplicǎ teorema lui Markov. Pentru aceasta, folosind faptul cǎ variabilele aleatoare sunt independente douǎ cate douǎ, putem scrie

Dacǎ avem Prin urmare se poate scrie

Din acest sir de relatii rezultǎ cǎ , deci conditia din teorema lui Markov este indeplinitǎ. In consecintǎ sirul de variabile aleatoare se supune legii numerelor mari.

Fie sirul de variabile aleatoare de variabile aleatoare independente, carea au distributiile pentru iar Sǎ se arate cǎ sirul de variabile aleatoare considerat urmeazǎ legea numerelor mari.

Solutie. Se vede imediat cǎ Pentru dispersie avem

dacǎ , iar Prin urmare pentru orice deci dispersiile sunt egal mǎrginite. Se poate aplica teorema lui Cebisev, drept urmare sirul de variabile aleatoare considerat urmeazǎ legea numerelor mari, adicǎ

pentru orice