Planul si dreapta in spatiu

Planul si dreapta in spatiu

Planul

Teorema 1.1 (Ecuatia planului ce trece printr-un punct dat si este perpendicular pe o directie data): Daca este un punct fix in spatiu, iar un vector dat, atunci ecuatia planului ce trece prin si este perpendicular pe vectorul are forma:

. (1)

Demonstratie: Fie planul cautat si consideram un punct arbitrar in planul . Apartenenta punctului la planul este echivalenta cu perpendicularitatea vectorilor si , deci cu relatia . Deoarece , tinand cont de expresia analitica a produsului scalar obtinem ca .

Asadar, un punct apartine planului daca si numai daca

Definitia 1.2: Orice vector perpendicular pe un plan dat se numeste vector normal la planul respectiv.

Observatie: Din demonstratia Teoremei 1.1 reiese ca, dat fiind un plan de ecuatie , atunci este un vector normal la planul considerat.

Teorema 1.3 (Ecuatia generala a planului): Orice plan din spatiu este definit de o ecuatie de forma:

, (2)

cu anumite constante reale astfel ca

Demonstratie: Fie un plan arbitrar. Alegand un punct in planul si un vector normal la planul, conform Teoremei 1.1 obtinem ca ecuatia planului este , adica , unde s-a notat Datorita faptului ca un vector normal la un plan este nenul, obtinem conditia aditionala

Teorema 1.4: Orice ecuatie de gradul intai in x,y,z defineste un plan din spatiu.

Demonstratie: O ecuatie de gradul intai in x,y,z este de forma

(3)

cu constante reale date si (pentru ca ecuatia sa fie de gradul intai). O astfel de ecuatie are o infinitate de solutii reale (se dau valori arbitrare la doua dintre necunoscute si se determina cea de-a treia necunoscuta). Fie o solutie a acestei ecuatii. Evident tripletul de numere reale corespunde punctului din spatiu si

(4)

Scazand relatia (2) din relatia (1) obtinem ca

(5)

Ecuatiile (1) si (3) sunt echivalente (se poate obtine ecuatia (3) din (1) - asa cum am vazut mai sus - si invers putem ajunge la ecuatia (1) pornind de la (3), tot cu ajutorul relatiei (2)). Pe de alta parte, dupa cum rezulta din Teorema 1.1, ecuatia (3) defineste un plan (planul ce trece prin punctul si este perpendicular pe vectorul ). Deci si ecuatia (1) va reprezenta un plan din spatiu.

Teorema 1.5 (Ecuatia planului paralel cu doua directii neparalele): Daca este un punct fix in spatiu, iar si sunt doi vectori neparaleli, atunci ecuatia planului ce trece prin

si este paralel cu vectorii si are forma:

. (6)

Demonstratie: Fie planul ce trece prin si este paralel cu vectorii si . Consideram un punct arbitrar in planul . Vectorii liberi si fiind paraleli cu planul , pot fi considerati ca inclusi in , de unde obtinem coplanaritatea vectorilor , si , adica Cum tinand cont de expresia analitica a produsului scalar, obtinem ecuaa dorita.

Teorema 1.6 (Ecuatia planului ce trece prin trei puncte necoliniare): Daca , , sunt trei puncte necoplanare, atunci ecuatia planului determinat de cele trei puncte este:

. (7)

Demonstratie: Asa cum se stie, din axiomele de incidenta ale spatiului si consecintele lor, trei puncte necoliniare determina un plan si numai unul. Fie ce trece prin punctele , .

Daca notam si , este clar ca vectorii si sunt inclusi in planul , deci paraleli cu planul , iar punctul apartine planului . Putem astfel aplica Teorema 1.4. Avand in vedere ca

,

,

relatia (6) conduce la ecuatia dorita.

Corolar 1.7 (Ecuatia planului prin taieturi): Planul care intersecteaza axele sistemului cartezian ortogonal in punctele si respectiv (diferite de originea O a sistemului cartezian) are ecuatia

(8)

Demonstratie: Punctele A,B,C fiind diferite de originea O, ele sunt necoplanare. Conform Teoremei 1.5, ecuatia planului determinat de punctele A,B,C este:

.

Dezvoltand acest determinant dupa prima linie obtinem

.

Daca se imparte relatia precedenta prin , obtinem ecuatia (8).

Observatie: Teoremele 1.1, 1.5, 1.6 precum si Corolarul 1.7 prezinta situatii favorabile determinarii ecuatiei unui plan in spatiu. Intr-o problema de geometrie analitica avand drept concluzie determinarea ecuatiei unui anumit plan se va reduce situatia prezentata in problema la unul din rezultatele teoretice mentionate anterior si se foloseste ecuatia corespunzatoare.

Dreapta

Definitia 2.1: Fie (d) o dreapta data din spatiu. Se numeste vector director al dreptei (d) orice vector avand directia paralela cu dreapta (d). Daca este un vector director al dreptei (d), atunci l, m, n se numesc parametri directori ai dreptei.

Teorema 2.2 (Ecuatia vectoriala a dreptei): Daca este un punct fixat arbitrar in spatiu, iar un vector nenul, atunci ecuatia vectoriala a dreptei ce trece prin si are pe vector director este

, (1)

unde este vectorul de pozitie al unui punct oarecare de pe dreapta, este vectorul de pozitie al lui , iar un parametru real.

Demonstratie: Fie (d) dreapta care trece prin si are directia data de vectorul . Consideram M un punct oarecare pe dreapta (d). Deoarece vectorii si sunt coliniari, conform , Cap. , exista un scalar astfel incat . Pe de alta parte, din regula triunghiului . Obtinem deci sau, echivalent .

Teorema 2.3 (Ecuatiile parametrice ale dreptei): Ecuatiile parametrice ale dreptei care trece prin punctul si are vectorul director sunt:

, (2)

unde este un parametru real.

Demonstratie: Daca (d) este dreapta care trece prin si are vectorul director , iar este un punct arbitrar pe dreapta (d), atunci, conform Teoremei 2.2, ecuatia vectoriala a dreptei (d) este , unde este vectorul de pozitie al punctului M , iar este vectorul de pozitie al lui . Tinand cont de expresiile analitice ale vectorilor si respectiv , obtinem ca , adica . Folosind unicitatea descompunerii unui vector dupa trei vectori necoplanari, rezulta ca

.

Teorema 2.4 (Ecuatiile canonice ale dreptei): Ecuatiile canonice ale dreptei care trece prin punctul si are vectorul director sunt:

. (3)

Demonstratie: Din Teorema 2.3, ecuatiile parametrice ale dreptei care trece prin punctul si are vectorul director sunt date de sistemul (2). Explicitand din fiecare dintre cele trei ecuatii ale sistemului se obtine sirul de trei rapoarte egale din relatia (3).

Teorema 2.5 (Ecuatiile dreptei care trece prin doua puncte date): Daca si sunt doua puncte distincte din spatiu, atunci ecuatiile dreptei care trece prin cele doua puncte sunt:

. (4)

Demonstratie: Daca notam , este clar ca reprezinta un vector director al dreptei deteminate de punctele si . Tinand cont ca

, din Teorema 2.4 se obtine imediat relatia dorita.

Din geometria euclidiana se stie ca doua plane neparalele se intersecteaza dupa o dreapta. Fie si doua plane neparalele si . Vectorii si sunt vectori normali pentru planele si respectiv . Cum cele doua plane sunt neparalele, vectorii si vor fi necoliniari, adica . Deoarece

, conditia este echivalenta cu . Am obtinut astfel urmatorul rezultat:

Teorema 2.6 (Ecuatiile dreptei ca intersectie de doua plane): O dreapta (d) din spatiu are ecuatii de forma

, (5)

cu .

Observatie: Asa cum vom vedea in paragrafele urmatoare, in formulele legate de unghiuri si distante la drepte intervin parametrii directori ai acestora. Astfel, devine importanta aflarea parametrilor directori ai unei drepte (d) date sub forma (5). Vom utiliza notatiile premergatoare Teoremei 2.6.

Avem si , de unde . Similar obtinem . Aceste relatii de perpendicularitate asigura ca dreapta este perpendiculara pe planul determinat de vectorii si . Cum si vectorul este perpendicular pe planul determinat de vectorii si , obtinem ca este vector director al dreptei . Deoarece

,

rezulta ca parametrii directori ai dreptei sunt:

(6)

Fascicol de plane

Definitia 3.1: Fie (d) o dreapta din spatiu. Totalitatea planelor care contin dreapta (d) se numeste fascicol de plane determinat de dreapta (d). In acest caz, dreapta (d) se numeste axa fascicolului.

Teorema 3.2: Fie (d) o dreapta din spatiu avand ecuatiile

.

Atunci orice plan din fascicolul de axa (d) are o ecuatie de forma

(1)

cu astfel incat .

Reciproc, orice ecuatie de forma (1), cu , defineste un plan din fascicolul de axa (d).

Demonstratie: Fie (P) un pan oarecare din fascicolul de axa (d). Atunci (P) va avea o ecuatie de forma , cu astfel ca . Dreapta (d) este data ca intersectie a doua plane: de ecuatie si respectiv de ecuatie .

Deoarece , sistemul

este compatibil nedeterminat. Combinand Teorema Kronecker-Cappelli si Teorema lui Cramer, rezulta ca

. (2)

Pe de alta parte, deoarece avem

. (3) Din relatiile (2) si (3) obtinem ca matricea are rangul 3, iar ultima linie a matricei este o combinatie liniara a primelor doua. Asadar exista astfel incat

sau, echivalent

.

Conditia este evidenta deoarece .

Reciproc, ecuatia (1) se poate scrie sub forma

. (4)

Coeficientii nu se pot anula simultan (in caz contrar, deoarece , obtinem sirul de rapoarte egale , ceea ce contrazice ). Deci ecuatia (4) este o ecuatie de gradul intai si reprezinta, conform Teoremei 1.4, un plan. Pe de alta parte, coordonatele punctelor de pe dreapta (d) verifica atat ecuatia planului cat si a lui , deci verifica si ecuatia (1). Astfel planul dat de ecuatia (1) contine dreapta (d).

Unghiuri

In geometria euclidiana prin unghi dintre doua plane se intelege unghiul diedru al planelor.

Definitia 4.1: Unghiul dintre doua plane si , notat , este unghiul format de doi vectori normali ai celor doua plane.

Observatie: Unghiul dintre doua plane, definit anterior, este egal sau suplementar unghiului diedru (acest lucru depinzand de sensurile vectorilor normali).

Teorema 4.2 (Unghiul dintre doua plane): Fie si doua plane din spatiu. Atunci

. (1)

Demonstratie: Fie si . Atunci si sunt vectori normali pentru planele si respectiv si in plus, din Definitia 4.1 . Dar

,

de unde se obtine rezultatul dorit.

Cazuri particulare importante:

1. daca si numai daca (conditia de perpendi-cularitate dintre doua plane).

Avand in vedere ca masura unghiului dintre doua plane perpendiculare este si , din relatia (1) obtinem imediat echivalenta dorita.

2. daca si numai daca (conditia de paralelism dintre doua plane).

Intr-adevar, daca si numai daca vectorii normali si sunt coliniari sau echivalent exista si este unic un scalar astfel incat . Aceasta egalitate are loc daca si numai daca .

Definitia 4.3: Unghiul dintre doua drepte arbitrare din spatiu si , notat , este unghiul format de doi vectori directori ai celor doua drepte.

Teorema 4.4 (Unghiul dintre doua drepte): Fie si doua drepte din spatiu. Atunci

. (2)

Demonstratie: Vectorii si sunt vectori directori ai dreptelor si . Deoarece

,

din Definitia 4.3 se obtine relatia (2).

Cazuri particulare importante:

1. daca si numai daca (conditia de perpendi-cularitate dintre doua drepte).

2. daca si numai daca (conditia de paralelism dintre doua dreptee).