Extreme conditionate (legate)

Extreme conditionate (legate)

Fie o functie reala definita pe o multime si . Functia are in un extrem relativ la daca restrictia lui la are in un extrem obisnuit. In este un maxim (minim) relativ la daca exista o vecinatate a lui astfel incat (respectiv ) pentru orice punct . Extremele functiei relative la submultime se numesc extreme conditionate (legate).

Fie , functii reale care definesc multimea prin multimea solutiilor sistemului restrictiilor:

Asadar . In acest caz extremele functiei relative la se numesc extreme conditionate de sistemul (1).

Aceasta arata ca cele variabile sunt legate intre ele prin cele relatii ale sistemului (1), de aceea le mai numim si extreme legate.

Teorema. Fie o solutie a sistemului (1). Sa presupunem ca functiile , au derivate partiale, continue intr-o vecinatate a lui si matricea functionala are in punctul rangul . Daca este un punct de extrem al functiei conditionat de sistemul (1) atunci exista numere (multiplicatorii lui Lagrange) astfel incat

Orice solutie a sistemului (2) se numeste punct stationar al functiei . Orice punct de extrem conditionat este un punct stationar conditionat, reciproca nu este adevarata.

Etape de calcul ale extremelor legate:

Se formeaza functia auxiliara (ajutatoare)

cu coeficientii nedeterminanti.

Se formeaza sistemul celor ecuatii

cu necunoscute , si se cauta solutiile acestui sistem care sunt puncte critice (stationare).

Daca , este o solutie a acestui sistem, atunci punctul este punct stationar conditionat al functiei .

Printre punctele stationare conditionate astfel obtinute se afla si punctele extrem conditionat. Vom cauta conditii suficiente care sa permita sa se identifice dintre punctele stationare punctele de extrem conditionat.

Fie punctul stationar , deci ,    si numere astfel incat sa fie satisfacut sistemul (2). Pentru a vedea daca este sau nu punct de extrem conditionat de sistemul (1), se va studia semnul diferentei pentru punctele care verifica sistemul (1), ( , deci ), se reduce la studiul semnului diferentei .

Punctul verificand sistemul (2) este punct stationar pentru , deci derivatele sale partiale de ordinul I se anuleaza in . Pe de alta parte, functia are derivate partiale continue intr-o vecinatate a lui , deci se poate scrie formula lui Taylor de ordinul doi:

unde , si , .

Dupa cum forma patratica pastreaza in jurul lui acelasi semn sau nu pastreaza acelasi semn, punctul este sau nu punct de extrem conditionat.