Vectori si operatii

1. Adunarea vectorilor

Fie u si v doi vectori in plan de directii diferite . Fie O un punct in plan . Construim OA=u si OB=v . Fie S un al patrulea varf opus lui O al paralelogramului cu trei varfuri in O,A si B .

OS = u + v ( regula paralelogramului )

Daca u si v sunt doi vectori de aceeasi directie si acelasi sens atunci u+v este vectorul de aceeasi directie si sens si de lungime | u |+| v | .

Daca u si v au aceeasi directie si sensuri opuse atunci daca | u |>| v | vectorul u+v are aceeasi directie cu vectorii u si v , are sensul vectorului u si lungimea | u |-| v | .

Daca u si v au aceeasi directie , sensuri opuse si | u |<| v | atunci u+v este vectorul de aceeasi directie cu sensul vectorului v si cu lungimea | v | - | u | .

Se stie ca intr-un Δ , AC < AB + BC si atunci | u+v | < | u | + | v | .

Cand A,B,C sunt colineare si vectorii AB si BC au acelasi sens atunci | u+v | = | u | + | v | . Deci in general | u+v | ≤ | u | + | v | pentru orice 2 vectori u si v egalitatea avand loc numai daca u si v sunt coliniari si au acelasi sens .

Proprietetile adunarii :

(u+v) +w = u+ (v+w) - asociativitate ;

u+v = v+u - comutativitate ;

exista 0 , a.i. oricare ar fi v , v+0 = 0+v = v - element neutru ;

oricare ar fi vectorul v exista (-v) a.i v+(-v)=(-v)+v=0 - element sincretic ;

(- v) = opusul lui v , are aceeasi directie , lungime dar sensul e opus .

| u | + | v | = √(u+v+2uv*cos α) ;

2. Inmultirea unui vector cu un scalar

Fie α care apartine lui R , v- vector => αv se obtine din v astfel :

a)    pentru >0 vectorul v are aceeasi directie cu v , acelasi sens si lungimea = |v| ;

b)   pentru <0 vectorul v are aceeasi directie cu v , sens opus acestuia si lungimea | |*|v| ;

c)    pentru α=0 => 0*v = 0 ;

Proprietatile inmultirii unui vector cu un scalar :

Fie apartin lui R , u,v = 2 vectori ;

βv )v

v+u αv + αu

1* (v) = v ;

0* (v) = 0 ;

- Daca =-1 vectorul (-v) se numeste opusul vectorului v si se obtine din acesta pastrandu-i directia si modulul , dar schimbandu-i sensul .

Teorema : 2 vectori nenuli sunt paraleli ( sau coliniari ) daca unul se obtine din celalalt prin inmultire cu un scalar nenul .

u,v ≠ 0

u || v <=> exista α apartinand lui R a.i. u = αv ;

Daca A',B',C', sunt mijloacele laturilor ABC atunci AA'+BB'+CC'=0

Intr-un patrulater segmentul ce uneste mijloacele a doua laturi este egal cu semisuma bazelor ( EF=1/2(AB+DC));

-Daca in rel. demonstrata trecem la norme ||EF||=1/2 (||AB|+|DC||)≤1/2(||AB||+||DC||);

-Egalitatea are loc<=> vectorii AB si CD sunt coliniari si de acelasi sens <=> AB || DC <=> ABCD - trapez ;

-In general FE ≤1/2(AB+DC) - intr-un patrulater ;

-Egalitatea are loc in trapez .

Intr-un patrulater segmentul ce uneste mijloacele celor doua diagonale este egal cu semidiferenta bazelor ( MN=1/2(BC-AD));

Intr-un ABC , M apartine BC a.i. MB/MC=k => AM=1/(k+1)AB-k/(k+1)AC ;

- Caz particular MB=MC => mediana AM=1/2(AB+AC) ;

Fie G = c.g. Δ ABC , M - un punct in plan , atunci MA+MB+MC=3MG ;

Fie H= ortocentrul Δ inscris in C(O,r) , atunci HA+HB+HC= HO

H,G,O-coliniare si OH=3OG ;

- Dreapta care contine aceste trei puncte ( c.c.circumscris - O , centrul de greutate - G si ortocentrul - H ) se numeste dreapta lui Euler .

Intr-un , G=c.g. , M apartine lui AB , N apartine lui AC , si MN trece prin G => MB/MA + NC/NA =1 .

Teorema lui Menelaus si a lui Ceva

1.Teorema lui Menelaus

O dreapta d care nu trece prin nici un varf al ABC intersecteaza dreptele suport ale laturilor ABC in punctele A',B',C' . Atunci A'B/A'C*B'C/B'A*C'A/C'B=1

Reciproca : Daca A' apartine lui BC , B' apartine lui CA , C' apartine lui AB si daca A',B',C' sunt situate doua pe laturi si unul pe prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca A'B/A'C*B'C/B'A*C'A/C'B=1 atunci punctele A',B',C' sunt coliniare .

2. Teorema lui Ceva

Se da ABC si dreptele concurente AA',BB',CC' ≠ laturi atunci A'B/A'C*B'C/B'A*C'A/C'B=1 .

Reciproca : Se da ABC , A' apartine lui BC , B' apartine lui CA , C' apartine lui AB ≠ varfuri , situate pe laturi sau un punct pe o latura si doua pe prelungirile laturilor . Daca A'B/A'C*B'C/B'A*C'A/C'B=1 => dreptele AA' , BB' , CC' sunt concurente .

OBSERVATIE !

Dreptele concurente A'A , B'B , C'C se numesc ceviene .

2. Reciproca Teoremei lui Ceva este utila in rezolvarea problemelor de concurenta .

Geometria analitica a dreptei

1. Geometria analitica a dreptei - distanta dintre doua puncte

AB=√[(xA-xB)+(yA-yB)]

2. Elemente de geometrie analitica

Se numeste versor al dreptei d un vector de lungime 1 , care are directia dreptei d . Daca A apartine lui d ii asociem un numar real , unic x , numit coordonata sa . Atunci OA=x*i . Daca x>0 atunci A este in sensul pozitiv al axei Ox . Daca x<0 atunci A este in sensul negativ al axei Ox .

Fie xOy un sistem de axe ortogonale . Fie i si j versorii axelor . Fie u un vector in plan . Orice vector u poate fi scris in mod unic u=xi+yj ;

AB = (xB-xA)i + (yB-yA)j ;

3. Modulul uni vector

u = xi + yj => |u| = √(x+y)

|AB|=||AB||=AB

|u|=||u||=u

4. Suma a doi vectori

u=x1i+y1j

v=x2i+y2j

u+v = (x1+x2)i+(y1+y2)j

5. Conditia de paralelism

u||v <=> x1/x2=y1/y2 , pt. x2,y2 ≠0

6. Conditia de coliniaritate a 3 puncte

A,B,C - coliniare <=> AB||AC => (x2-x1)/(x3-x1)=(y2-y1)/(y3-y1)

7. Conditia de perpendicularitate

u┴v <=> x1*x2+y1*y2 = 0

8. Coordonatele mijlocului unui segment

xM=(xA+xB)/2

yM=(yA+yB)/2

9. Coordonatele centrului de greutate al unui

xG=(xA+xB+xC)/3

yG=(yA+yB+yC)/3

10. Ecuatia dreptei in plan

Graficul functiei de gradul I , f : R → R , f(x) = ax + b , cu a≠0 este o dreapta formata din punctele de coordonatele (x,y) unde y=ax+b . Orice dreapta este bine determinata de doua puncte distincte ale sale .

- Daca a=0 , dreapta de ecuatie y=b este orizontala dusa prin b ;

- Daca a≠0 dreapta de ecuatie y=ax+b este oblica ;

- Mai exista dreapta verticala de ecuatie x=c .

11. Ecuatia dreptei care trece printr-un punct dat si are o directie data

Ecuatia dreptei care trece printr-un punct A(x0,y0) si are directia vectorului u=pi+qj este (x-x0)/p=(y-y0)/q , p,q ≠0

Daca p=0 => u=qj => d||Oy si dreapta este verticala cu ecuatia x=x0

Daca q=0 => u=pi => d||Ox si dreapta este orizontala cu ecuatia y=y0

12. Coeficientul unghiular . Panta unei drepte .

Fie d o dreapta in sistemul de axe xOy . Unghiul format de dreapta d cu sensul pozitiv al axei Ox se numeste coeficientul unghiular al dreptei d .

Dreapta d:y=mx+n are panta m=tg. , unde = unghiul format de dreapta d cu sensul pozitiv al axei Ox .

Ecuatia dreptei care trece printr-un punct dat A(x0,y0) si are panta data m , este y--y0=m(x-x0).

13. Conditia de paralelism a doua drepte

d1 : y=m1x+n1

d2 : y=m2x+n2

d1||d2

d1||d2 <=> m1=m2 ( au aceeasi panta )

14. Conditia de perpendicularitate a doua drepte

d1 : y1=m1x+n1

d2 : y2=m2x+n2

d1┴d2 <=> m1*m2 = -1

15. Ecuatia dreptei care trece prin 2 puncte date

Ecuatia dreptei care trece prin 2 puncte date A,B = AB : (y-yA)/(yB-yA)=(x-    -xA)/(xB-xA)

CONCLUZIE : Ecuatia generala a dreptei d : ax+by+c=0 unde a+b≠0 .