AJUSTAREA SERIILOR CRONOLOGICE

AJUSTAREA SERIILOR CRONOLOGICE

Seria cronologica poate fi definita ca o succesiune de valori numerice ordonate In timp, valori care se modifica datorita influentelor de natura sistematica si a altora de tip aleator.

Componentele sistematice ale unei serii cronologice sunt:

tendinta centrala sau trendul;

oscilatii (variatii) periodice datorate diferitelor cauze dintre care cele mai frecvente sunt oscilatiile sezoniere care se repeta ritmic cu o periodicitate constanta mai mica de un an (semestru, trimestru, luna, decada);

ciclicitatea care se prezinta sub forma de fluctuatii In jurul tendintei, Inregistrate la perioade mai mari de un an.

Componentele aleatoare se manifesta ca devieri de la linia evolutiei sistematice, ca efect al actiunii unor factori accidentali, spontani, imprevizibili, etc.

Valoarea ajustata este acea valoare obtinuta prin calcul pe baza unei functii matematice de ajustare.

Dispersia totala se noteaza si se defineste astfel :

Dispersia termenilor seriei de la valorile ajustate sintetizeaza influenta factorilor reziduali (factori neInregistrati care la seriile cronologice sunt toti cei care produc modificari cu exceptia factorului timp) si se calculeaza dupa formula:

unde este valoarea teoretica a variabilei y obtinuta prin ajustare In raport cu timpul. Dispersia valorilor ajustate de la valoarea medie se noteaza cu care sintetizeaza numai variatia produsa de modificarea factorului timp.

Metodele de ajustare pot fi simple (metoda mediilor mobile, metoda grafica, metoda modificarii medii absolute, metoda indicelui mediu de dinamica) sau analitice si au la baza un model matematic.

1 METODE SIMPLE DE AJUSTARE

I. Metoda mediilor mobile este specifica seriilor care prezinta oscilatii sezoniere sau ciclice.

Mediile mobile sunt medii aritmetice simple calculate dintr-un numar prestabilit de termeni (par sau impar) In functie de periodicitatea influentei factorilor sezonieri.

Ajustarea cu medii mobile dintr-un numar par de termeni se face In doua trepte:

medii mobile provizorii

medii mobile definitive (sau centrate), care se plaseaza In dreptul termenilor seriei si reprezinta valorile ajustate ale termenilor respectivi din seria initiala.

II. Metoda grafica este un procedeu care consta In reprezentarea grafica a seriei de date empirice prin cronograma (historiograma). Se traseaza vizual, dreapta sau curba care uneste cele doua puncte extreme ale seriei dinamice, astfel Inc`t sa aiba abateri minime fata de pozitia valorilor reale In grafic.

III. Metoda modificarii medii absolute.

Procedeul se utilizeaza atunci c`nd sirul de date privind nivelurile fenomenului se aseamana cu o progresie aritmetica, deci modificarile absolute cu baza In lant au valori aproape constante.

Functia de ajustare :

u.m., unde

sau

unde :

reprezinta termenul luat ca baza de ajustare (acea valoare care se apropie cel mai mult de dreapta sau curba trasata vizual pe

grafic);

reprezinta variabila timp In raport cu baza de ajustare folosita (pozitia pe care o are termenul respectiv fata de cel ales ca baza de ajustare).

IV. Metoda indicelui mediu de dinamica

Ajustarea prin acest procedeu se utilizeaza In cazul In care sirul termenilor urmeaza aproximativ o progresie geometrica.

Functia de ajustare :

u.m., unde

sau

u.m.,

unde , sunt cei din si respectiv

2 METODE ANALITICE DE AJUSTARE

Metodele analitice sunt folosite pentru estimarea cat mai corecta a tendintei generale descrise de fenomene In timp si In acest scop s-a apelat la conceptul de functie de ajustare :

unde :

t - reprezinta valorile variabilei independente (timpul);

y - reprezinta valorile variabilei dependente (fenomenele) care sunt prezentate In seria cronologica.

Criteriile folosite pentru alegerea tipului de functie care se potriveste cel mai bine pentru exprimarea trendului, aplicabile optional :

criteriul bazat pe reprezentarea grafica: se construieste cronograma si forma ei sugereaza un model matematic de functie;

criteriul diferentelor : se calculeaza diferentele absolute cu baza In lant de ordinul unu din termenii seriei de ordinul doi etc. p`na obtinem diferentele de ordin k aproximativ constante si se apreciaza ca seria cronologica are o tendinta ce poate fi modelata printr-un polinom de gradul k ;

daca indicii cu baza In lant sunt constanti, se admite ca seria cronologica prezinta o tendinta exponentiala.

Dupa stabilirea modelului de ajustare se trece la estimarea parametrilor calculati pe principiul ca suma patratelor diferentelor dintre valorile empirice () si cele teoretice () sa fie minime (metoda celor mai mici patrate) :

I. Modelul liniar. , , unde:

, , sunt valorile caracteristicii factoriale, care In cazul seriilor cronologice este timpul;

a este parametrul care are valoarea egala cu media seriei si arata ce nivel ar fi atins y daca influenta tuturor factorilor cu exceptia celui Inregistrat ar fi constanta pe toata perioada;

b sintetizeaza numai influenta caracteristicii factoriale;

sunt valorile ajustate calculate In functie de valorile caracteristicii factoriale .

Se considera . Conform metodei celor mai mici patrate punctul stationar al functiei realizeaza minimul functiei. Solutia este a sistemului:

sistem liniar , care admite solutia:

unde:

, , ,

stabilind In prealabil numarul de cifre care vor fi luate in considerare dupa virgula, atunci c`nd este cazul. Valorile ajustate ale caracteristicii rezultative sunt :

Analiz`nd gradul de dependenta dintre caracteristica de timp si caracteristica rezultativa , se poate constata ca nu depinde de codificarea aleasa pentru timp. }n general, orice fenomen social-economic depinde de mai multi factori a caror influenta este prezenta In toate unitatile de timp. Astfel, productia depinde printre altele de gradul de Inzestrare tehnica, de gradul de calificare a muncii, de modul de organizare a procesului de munca etc. Pentru a anula influenta variatiei de timp, se pune conditia

II. Modelul parabolic , .

Folosind , se obtine sistemul :

numit ca si In cazul modelului liniar, sistem de ecuatii normale. Solutia lui permite calculul valorilor ajustate .

III. Modelul hiperbolic are sistemul de ecuatii normale:

IV. Modelul exponential prin logaritmare se transforma Intr-un model liniar , iar sistemul de ecuatii normale este :

Cu solutia sistemului anterior se determina: si prin antilogaritmare se afla .

3 CRITERII DE ALEGERE A PROCEDEELOR DE AJUSTARE

Criterii de alegere a procedeelor de ajustare:

Se calculeaza si se considera ca modelul care corespunde este acela pentru care suma calculata are valoarea cea mai mica.

Se determina In prealabil abaterea medie liniara a valorilor reale de la valorile ajustate

si se calculeaza coeficientul de variatie :

Alegerea modelului se face pe acelasi principiu ca mai sus.

4 EXTRAPOLAREA SERIILOR CRONOLOGICE

Metodele si procedeele folosite pentru ajustarea termenilor unei (SCR) sunt folosite si pentru extrapolare. Termenii ce urmeaza a fi calculati sunt valori teoretice si se vor nota cu pentru a se distinge de , iar variabila timp va fi

Prognozele sunt fundamentate atunci c`nd numarul de termeni este suficient de mare (cel putin 6-7 termeni) si la culegerea datelor se tine seama de evolutia fenomenului In timp.

Formulele de calcul sunt :

pe baza sporului mediu,

pe baza indicelui mediu de crestere,

- pentru modelul liniar,

- pentru modelul parabolic.

2. PROBLEME REZOLVATE

1. Analiza statistica a unei serii cronologice de intervale.

Evolutia productiei fizice (mii de bucati) la societatea "MEDIMPACT" S.A. pentru perioada 1990-1999 la produsul de baza (Incaltaminte), se prezinta In tabelul nr.1.

Tabelul nr. 1

Se cere: a) sa se caracterizeze evolutia productiei fizice (mii buc.) folosind indicatorii absoluti, relativi, medii;

b) sa se reprezinte grafic seria valorilor

c) folosind metodele mecanice si analitice, determinati trendul de evolutie;

d) alegeti metoda cea mai adecvata care ajusteaza fenomenul si sa se extrapoleze seria pentru anii 2000, 2001, 2002.

Rezolvare

a) Calculul indicatorilor absoluti:

-nivelul absolut este reprezentat de termenii seriei din tabelul nr. 1 r`ndul 2. Facem mentiunea ca mii bucati, deci .

nivelul totalizat : mii bucati

modificari absolute (

cu baza fixa mii bucati (tabelul 2, col.2

mii bucati

mii bucati

.

mii bucati

cu baza In lant mii bucati (tabelul 2, col.3)

mii bucati.

mii bucati.

..

mii bucati

Relatii Intre si :

mii bucati

mii bucati

mii bucati

mii bucati

mii bucati

Calculul indicatorilor absoluti Tabelul nr.2

Calculul indicatorilor relativi :

Indicele de dinamica (crestere/descrestere) :

cu baza fixa - (tabelul nr.3 col.2)

..

cu baza In lant tabelul nr. 3 col. 3

Relatiile de legatura :

Calculul indicatorilor relativi Tabelul nr.3

Ritmul de modificare (crestere/descrestere) :

cu baza fixa (vezi tabelul nr.3 col. 4)

100-100 0

57,63 - 100 -42,37

35,36 - 100 -64,64

cu baza In lant (vezi tabelul nr. 3 col. 5)

57,63 - 100 -42,37

77,82 - 100 - 22,18

.

102,8 - 100 2,08

Valoarea absoluta a unui procent din ritmul modificarii (A) :

cu baza fixa     mii bucati (vezi tabelul nr. 3 col. 6)

19,4 mii bucati

19,4 mii bucati

cu baza In lant mii bucati (vezi tabelul nr. 3 col. 7)

19,4 mii bucati

11,18 mii bucati

.

6,72 mii bucati

Calculul indicatorilor medii

Nivelul mediu absolut () : seria cronologica din acest exemplu este o serie pe intervale pentru care nivelul mediu se calculeaza aplic`nd formula mediei aritmetice:

mii bucati.

Productia fizica medie anuala a fost de 88,35 mii bucati.

Modificarea medie absoluta () :

mii bucati.

}n medie s-a inregistrat In perioada 1990-1999 o descrestere anuala de 139,33 mii bucati.

Indicele mediu ( ) :

sau

,

Ritmul mediu () :

, , .

b) Graficul seriei cronologice este cronograma (historiograma):

Fig. Nr. 1 Reprezentarea grafica a productiei fizice

c) Metode mecanice pentru determinarea tendintei generale (a trendului)

Metoda modificarii medii absolute

mii bucati,

Metoda indicelui mediu

mii bucati,

Valorile ajustate prin aceste doua metode sunt prezentate In tabelul nr. 4 coloanele 3 respectiv 4.

Tabelul nr. 4

Metode analitice

Cronograma din fig. nr. 1 indica o evolutie parabolica sau hiperbolica. Pentru ajustarea parabolica , iar sistemul de ecuatii normale este:

}n tabelul nr. 5 sunt efectuate calculele necesare rezolvarii sistemului, dar si valorile ajustate . Seria are 10 ani, deci mijlocul seriei este Intre 1994 si 1995, adica

Tabelul nr. 5

Sistemul de ecuatii normale este :

Deci

Tabelul nr. 5- continuare

Pentru trendul hiperbolic calculele necesare determinarii solutiei a sistemului de ecuatii normale si valorile ajustate sunt prezentate In tabelul nr. 6.

Tabelul nr. 6

Sistemul are solutia:

d) Compar`nd cu , se observa ca pentru valorile ajustate dupa modelul hiperbolic, deci acesta ar fi cel care corespunde.

}n tabelul nr. 7 vom calcula lu`nd valorile ajustate cu fiecare dintre modelele utilizate.

Tabelul nr. 7

Tabelul nr. 7 - continuare

Calculul coeficientilor de variatie

Tabelul nr. 8

- compararea abaterilor absolute ale valorilor teoretice (ajustate) fata de cele empirice conduce la alegerea modelului parabolic.

- compararea patratelor abaterilor dintre valorile empirice si cele ajustate conduce la aceeasi alegere ca mai sus.

- compararea coeficientilor de variatie calculati dupa relatiile :

(vezi tabelul nr. 8 coloana 4), sau

(vezi tabelul nr. 8 coloana 5), conduce la alegerea modelului parabolic.

Extrapolam productia fizica pentru urmatorii doi ani, consider`nd ca sunt aceleasi conditii si prezentam rezultatele In tabelul nr. 9.

Tabelul nr. 9

2. Se cunosc urmatoarele date privind importurile de calculatoare In perioada 1992-2000.

Tabelul nr. 10

Se cere:

a) reconstituirea seriei de valori absolute, stiind ca valoarea importului a crescut In perioada 1992-2000, In medie cu 21,25%;

b) sa se calculeze indicatorii medii si sa se interpreteze rezultatele;

c) sa se ajusteze seria printr-un procedeu analitic adecvat;

d) sa se calculeze coeficientul de variatie.

Rezolvare. a) }n r`ndul 2 din tabelul nr. 10 sunt prezentate av`nd ca baza de comparatie anul 1992.

Valoarea importului a crescut In perioada 1992-2000, In medie cu 21,25%, adica

Dar

Asadar,

Folosim modificarile absolute cu baza In lant ca sa determinam termenii initiali ai seriei:

Seria cautata este prezentata In tabelul nr. 11.

Tabelul nr. 11

b) Indicatorii medii :

nivelul mediu , adica s-au importat In medie, anual, calculatoare In valoare de

modificarea medie absoluta:

ritmul mediu a fost dat si pe baza lui s-a determinat indicele mediu de crestere

c) }ntocmim cronograma si In functie de forma sa alegem modelul analitic.

Graficul sugereaza o evolutie liniara, deci alegem , . Sistemul ecuatiilor normale:

Pentru determinarea parametrilor modelului liniar Intocmim tabelul nr. 12.

Tabelul nr. 12

Sistemul devine :

d) Calculam ambii coeficienti de variatie:

Valoarea lor este mica, deci apreciem ca aproximeaza teoretic destul de bine valorile empirice.

3. Se cunosc urmatoarele date cu privire la numarul de hoteluri si moteluri in Rom`nia In perioada 1988-1995:

Tabelul nr.13

Se cere: a) sa se reconstituie seria de valori

b) sa se calculeze toti indicatorii absoluti si relativi.

Rezolvare a) Cunoastem modificarile absolute fata de anul precedent, adica 1988,1989,,1995 si modificarile relative fata de anul precedent (%) adica , t 1988, 1989, , 1995, deci putem defini valoarea absoluta a unui procent de dinamica cu baza In lant ():

t 1988, 1989,,1995.

Calculele sunt prezentate In tabelul nr.14.

Determinarea valorilor absolute.

Tabelul nr.14.

Pentru folosim:

Þ

si completam In tabelul nr.14 coloana 4 ultima rubrica.

Cunosc`nd putem determina:

, adica Þ

Þ

b) Indicatorii absoluti si relativi pentru seria reconstituita sunt prezentati In tabelul nr.15.

Tabelul nr.15

. Situatia stocului de marfa In anul 2000 la societatea comerciala "X" se prezinta In tabelul urmator :

Tabelulnr.16

Precizati tipul seriei si determinati indicatorii medii ai acestei serii.

Rezolvare : Se constata ca Inregistrarea valorii stocului de marfa s-a facut regulat la inceputul fiecarei luni, deci este o serie de momente cu intervale egale. Valoarea stocului mediu se determina folosind media cronologica simpla :

mil.lei/luna.

Modificarea medie absoluta (sau sporul mediu) :

mil

lei/luna

Indicele mediu de dinamica (sau indicele mediu lunar) :

Calculam logaritmul zecimal din I :

de unde antilog 0,00141 Þ sau .

Ritmul mediu lunar :

sau .

. Stocul unui grup omogen de marfuri a Inregistrat urmatoarea evolutie In semestrul I al anului 2001 :

Tabelul nr.17

Precizati tipul seriei si determinati nivelul mediu al seriei.

Rezolvare Seria prezentata este o serie de momente cu intervale neegale. Pentru usurinta rezolvarii vom considera luna egala cu 30 de zile. Nivelul mediu se va calcula folosind media cronologica ponderata, 45 zile, 45 zile, 30 zile, 60 zile, deci :

mil.lei/luna

1720,83 mil.lei/luna.

. Valoarea v`nzarilor de marfuri alimentare In 2000 a fost de 1580 mld.lei, iar dinamica acestora In fiecare an fata de 1994 a Inregistrat urmatoarele valori :

Tabelul nr.18

N.E Date conventionale

Sa se reconstituie seria de valori absolute si sa se reprezinte grafic aceasta.

Rezolvare Dinamica v`nzarilor fata de 1994 reprezinta indicii de dinamica cu baza fixa :

Þ 1,2985 Þ 1,2985

Þ 1,36915 Þ 1,36915

Þ 1,3915 Þ 1,3915 Þ 1580 1,3915 Þ mld.lei 1135,46 mld.lei

Cu ajutorul lui 1135,5 mld.lei se vor obtine valorile v`nzarilor de marfuri pentru fiecare an :

1,2985 1474,44 mld.lei.

1,3915 1554,66 mld.lei

1135,5 1,3845 1572,09 1572,1 mld.lei.

1,3852 1572,89 mld.lei.

1135,5 1,4020 1591,97 1592,0 mld.lei.

Seria reconstituita este :

Tabelul nr.19

Graficul seriei este :

Fig.nr. 3 Reprezentarea grafica a v`nzarilor de marfuri alimentare.

7. }n anul 2000 v`nzarile de marfuri alimentare au fost mai mari fata de 1994 cu 39,848%, iar modificarile absolute In fiecare an fata de 1994 sunt prezentate In tabelul nr. 20.

Tabelul nr. 20

Reconstituiti seria valorilor absolute si utilizati un procedeu mecanic si unul analitic pentru ajustarea valorilor seriei reconstituite. (Justificati alegerea modelului de ajustare).

Rezolvare V`nzarile de marfuri alimentare fiind In anul 2000 mai mari fata de 1994 cu 39,848% Inseamna ca se cunoaste ritmul de dinamica:

39,848% Þ%139,848% Þ 1,398481,39848.

Baza de comparatie fiind anul 1994, rezulta si apoi , deci 1,39848. Din tabelul nr. 20 avem

mld.lei, adica 152. Formam un sistem de ecuatii din care determinam 0,1,, 6 si vom exprima valorile lor cu numere intregi.

Þ Þ Þ 381 mld.lei Þ 1,39848 381532,8

mld.lei. Folosind modificarile absolute fata de 1994 obtinem :

48 Þ 38148429 mld.lei,

125 Þ 381125506 mld.lei

170 Þ 381170551 mld.lei

174 Þ 381174555 mld.lei

145 Þ 381145526 mld.lei

152 Þ 381152533 mld.lei

Fig.nr. 4 Reprezentarea grafica a v`nzarilor de marfuri alimentare.

Graficul sugereaza o evolutie parabolica sau exponentiala si ca urmare vom determina diferentele absolute cu baza In lant si indicii de dinamica cu baza In lant (vezi tabelul nr. 21).

Tabelul nr. 21

Diferentele absolute cu baza In lant de ordinul 2, dupa cum se observa In tabelul nr. 21 coloana 3, nu au valori aproape constante deci nu putem utiliza un polinom de gradul doi pentru ajustarea valorilor seriei cronologice.

Se observa ca valorile indicilor de dinamica cu baza In lant (vezi tabelul nr.21 coloana 4) au valori apropiate, deci se justifica alegerea modelului exponential ca model analitic si metoda indicelui mediu de dinamica ca procedeu mecanic.

Ecuatia modelului exponential este: .

Prin logaritmare obtinem:

Sistemul de ecuatii normale este:

Calculul valorilor ajustate prin cele doua procedee.

Tabelul nr. 22.

Tabelul nr. 22. Continuare

Folosind datele din tabelul nr. 22 sistemul de ecuatii normale devine :

Þ Þ

Þ

Þ

Alegem o exprimare cu doua cifre dupa virgula, deci si , asadar ecuatia modelului exponential este mld.lei, . Valorile ajustate sunt :

Prin procedeul mecanic definim valorile ajustate prin mld.lei, valori care sunt prezentate In tabelul nr. 22 coloana 3.

8. Valoarea absoluta a 1% din ritmul de crestere In 1995 fata de 1994 a fost de 3,81 mld.lei, modificarile relative In fiecare an In perioada 1995 - 2000 fata de anul anterior sunt prezentate In tabelul nr. 23.

Tabelul nr.23

Sa se reconstitue seria de date privind valoarea v`nzarilor de marfuri alimentare Intre anii 1995 - 2000.

Rezolvare Deoarece valoarea absoluta a 1% din ritmul de crestere In 1995 fata de 1994 a fost de 3,81 mld.lei, deducem ca:

Þ mld.lei

Din tabelul nr. 23 se observa ca:

Þ Þ Þ Þ 428,99838 mld.lei.

Analog se obtin valorile :

506 mld.lei

551 mld.lei

555 mld.lei

526 mld.lei

533 mld.lei

9. Ritmul mediu de crestere al v`nzarilor de marfuri alimentare a fost de 5,75% In perioada 1994 - 2000, iar modificarile absolute In fiecare an fata de 1994 au Inregistrat valorile ce sunt prezentate In tabelul nr. 24.

Tabelul nr. 24

Sa se reconstituie seria valorilor absolute privind v`nzarea marfurilor alimentare In fiecare an In perioada 1995 - 2000.

Rezolvare Se cunoaste ritmul mediu de crestere Þ .

Dar la care se adauga 152 mld.lei (din tabelul nr. 24) si obtinem un sistem din care calculam si :

Þ Þ 381,3 381 mld.lei si 1,39856 38 532,8 mld.lei

Din :

mld.lei Þ 429 mld.lei

125 mld.lei Þ 506 mld.lei

mld.lei Þ mld.lei

mld.lei Þ mld.lei

mld.lei Þ mld.lei

10. Valoarea v`nzarilor de marfuri In judetul "X" a fost In anul 2001 cu 187 mld. lei mai mare fata de anul 1994, ceea ce reprezinta o crestere relativa cu 38,975%. Determinati valoarea v`nzarilor de marfuri In anii 1994 si 2001 si indicatorii medii ce caracterizeaza v`nzarile de marfuri In perioada 1994-2001.

Rezolvare Cunoastem modificarea absoluta a v`nzarilor din anul 2001 fata de anul 1994 :

187 mld.lei Þ 187 mld.lei

si cresterea relativa cu 38,975% adica 38,975 Þ 0,38975 Þ 0,38975 Þ Þ 479,79 479,8 mld. lei.

Dar 666,8 mld. lei.

Deci valoarea v`nzarilor de marfuri In anul 1994 este 479,8 mld. lei iar In anul 2001 este 666,8 mld. lei.

Indicatorii medii ce pot fi determinati folosind nivelul absolut si sunt:

sporul mediu ( ) :

26,71 26,7 mld.lei.

indicele mediu de crestere () :

sau % 104,81%.

ritmul mediu de crestere () :

1,0481 - 10,0481 sau

- 1004,81%.

3. PROBLEME REZOLVATE

1. Pretul unui produs de panificatie a Inregistrat urmatoarea evolutie In ultimii ani:

Tabelul nr. 25

Se cere:

a)      sa se reprezinte grafic seria cronologica;

b)      sa se calculeze indicatorii absoluti, relativi si medii ce

caracterizeaza seria cronologica;

c)      folosind metode mecanice si analitice sa se ajusteze seria cronologica;

d)      alegeti metoda cea mai buna care ajusteaza tendinta de evolutie a fenomenului.

2. Se cunosc urmatoarele date privind populatia ocupata (total) a Rom`niei:

Tabelul nr. 26

Se cere:

a)      sa se reconstitue seria valorilor absolute stiind ca ritmul mediu

de crestere a fost de -2,768% In perioada 1990-1999;

b)      sa se reprezinte grafic seria;

c)      sa se calculeze indicatorii medii;

d)      sa se ajusteze seria printr-o metoda analitica si sa se calculeze

coeficientul de variatie.

3. Dinamica consumului mediu anual de lapte si produse lactate din Rom`nia a Inregistrat urmatoarea evolutie prezentata In tabelul nr. 27.

Tabelul nr. 27

+tiind ca consumul mediu anual de lapte si produse lactate (l/locuitor) In anul 1994 a fost de 179,5 l se cere:

a)      sa se reconstitue seria de date;

b)      sa se calculeze toti indicatorii absoluti, relativi si medii;

c)      sa se ajusteze seria folosind procedee mecanice;

d)      sa se aleaga modelul cel mai bun de ajustare si sa se extrapoleze seria pentru anii 1999, 2000 si 2001.

4. Veniturile unei societati comerciale In perioada 1994-2001 se prezinta prin "cresterea fata de anul precedent" In tabelul nr. 28.

Tabelul nr. 28

Se cere:

a)      sa se reconstitue seria de valori absolute stiind ca valoarea veniturilor a crescut In anul 1997 fata de anul 1994 cu 26,24%;

b)      sa se calculeze indicatorii medii si sa se comenteze rezultatele;

c)      folosind un procedeu mecanic si unul analitic sa se ajusteze seria cronologica, justific`nd procedeul ales;

d)      sa se precizeze care din cele doua modele de ajustare caracterizeaza cel mai bine evolutia veniturilor In perioada analizata.

5. Consumul mediu pe familie pentru produsul "X" din judetul "Y" a Inregistrat urmatoarea evolutie prezentata In tabelul nr. 29.

Tabelul nr. 29

Se cere:

a)      sa se reprezinte grafic seria cronologica;

b)      sa se calculeze indicatorii ce caracterizeaza evolutia consumului mediu pe familie;

c)      sa se ajusteze seria folosind metode mecanice si sa se aleaga cel mai bun model;

d)      sa se estimeze consumul mediu pe familie pentru anii 2001 si 2003.

6. }n semestrul II al anului 2001, stocul de marfuri Inregistrat la un magazin alimentar este prezentat In tabelul nr. 30.

Tabelul nr . 30

Precizati tipul seriei si calculati nivelul mediu al seriei.

7. Stocurile de marfa la societatea comerciala "X" au inregistrat In cursul anului 2000 urmatoarele valori prezentate In tabelul nr. 31.

Tabelul nr. 31

Se cere:

a)      sa se precizeze tipul seriei;

b)      sa se calculeze indicatorii medii ai acestei serii.